专题02 基本不等式（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题02 基本不等式（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、拼凑法求最值（常考点） 2 题型三、常数“1”的妙用（重点） 4 题型四、二次（一次）的商式求最值 8 题型五、消元法求最值（重点） 10 题型六、换元法求最值（重点） 11 题型七、实际问题中的基本不等式 13 题型八、基本不等式与恒（能）成立问题（重点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接法求最值 1．若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据基本不等式得到函数的最小值，即可得到命题为假命题时求解. 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 2．已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2． 故答案为：2 3．已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 4．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式直接求解． 【详解】因为，所以， 则，等号成立时，， 得函数的最小值为: 故答案为： 5．已知，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由可知， ，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为5. 故答案为：5 题型二、拼凑法求最值（常考点） 6．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 7．已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 8．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】利用基本不等式结合配凑法计算即可得. 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. 9．已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 10．若，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】把题干函数变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】 由可知， ，当且仅当时，等号成立， 即函数的最小值为7. 故答案为：7 题型三、常数“1”的妙用（重点） 11．已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 12．已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 13．已知正数满足，则取到最小值时， ； 【答案】 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以取到最小值时，. 故答案为：. 14．已知，，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】根据基本不等式求和的最小值. 【详解】由. （当且仅当即时取“”） 故答案为：9 15．若正数满足，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为正数满足， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为25， 故答案为：25 16．若正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】根据“”的代换以及基本不等式来求得正确答案. 【详解】正数x，y满足，， 则， 当且仅当时，时等号成立. 所以的最小值为 故答案为：16 17．已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 18．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 题型四、二次（一次）的商式求最值 19．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 20．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 21．已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】D 【解析】先将解析式化为，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值3. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型. 22．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】设，将关于的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设， 当时，， 当且仅当时等号成立； 同理当时，， 当且仅当时等号成立； 所以函数的值域为. 故答案为: . 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题. 23．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】 ， 当时，，当即时取等号， 当时，，当即时取等号， 则函数的值域为 题型五、消元法求最值 24．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 25．已知，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过等式代入消元，构造“”的型式后用基本不等式得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵，∴ 则 当且仅当时取“=” 故答案为：2 26．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【分析】由已知条件可得，代入并利用基本不等式求解即得. 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 7．若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 题型六、换元法求最值 27．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式，然后再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】因为是正数，所以，令， 则不等式可化为， 即，所以，取等条件为，. 故答案为： 28．已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 29．已知，，且，则的最小值是 【答案】/ 【分析】借助基本不等式可将原等式化为与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，，则，当且仅当时，等号成立， 故，即， 令，即，则有或（负值舍去）， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 30．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 31．已知，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得且，从而将目标式化为，再换元，利用基本不等式计算可得. 【详解】∵，，，∴，且， 则 令， 原式 ， 当且仅当，即取等号，故的最小值为. 故答案为： 32．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 题型七、实际问题中的基本不等式 33．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 34．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 【答案】米，米；立方米 【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解. 【详解】由题意，，即，， 所以，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以. 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米. 35．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 36．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 题型八、基本不等式与恒（能）成立问题 37．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 38．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 39．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由题意知，对任意，， 即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 即实数的取值范围为． 故答案为：． 40．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 41．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 2．已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则， 当且仅当，且满足， 即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 3．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为在上恒成立，又， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 5．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知正实数a，b；若，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由得，则，，代入后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，得，则，即，同理可得； 因此，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为： 7．（24-25高三上·上海·期中）已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可求出结果. 【详解】依题意，正数满足， 则，当且仅当时取等号， 由不等式对任意的正数恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 【答案】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题设，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 【答案】50 【分析】依据题意建立函数关系，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设汽车速度为千米/时，运输成本为， ∴当且仅当，即时，运输成本最小． 故答案为：50 10．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件. 【详解】由题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故只需， 而由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 基本不等式（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直接法求最值 1 题型二、拼凑法求最值（常考点） 2 题型三、常数“1”的妙用（重点） 4 题型四、二次（一次）的商式求最值 8 题型五、消元法求最值（重点） 10 题型六、换元法求最值（重点） 11 题型七、实际问题中的基本不等式 13 题型八、基本不等式与恒（能）成立问题（重点） 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直接法求最值 1．若命题“”是假命题，则可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，若，则的最大值为 ． 3．已知，，且，则的最大值为 ． 4．函数的最小值为 ． 5．已知，则的最小值为 . 题型二、拼凑法求最值（常考点） 6．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 8．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 9．已知，则的最小值为 ． 10．若，则函数的最小值为 ． 题型三、常数“1”的妙用（重点） 11．已知，，且，则的最小值是 ． 12．已知且满足，则的最小值为 ． 13．已知正数满足，则取到最小值时， ； 14．已知，，则的最小值为 . 15．若正数满足，则的最小值为 . 16．若正数x，y满足，则的最小值为 . 17．已知且，则的最小值为 ． 18．已知，，且，则的最小值为 . 题型四、二次（一次）的商式求最值 19．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 21．已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 22．函数的值域为 ． 23．函数的值域是 ． 题型五、消元法求最值 24．已知，，且，则的最小值为 . 25．已知，若，则的最小值为 ． 26．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 7．若正数x，y满足，则的最小值是 . 题型六、换元法求最值 27．已知正数a，b满足，则ab的最大值为 ． 28．已知，满足，则的最小值为 29．已知，，且，则的最小值是 30．若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为 ． 31．已知，，，则的最小值为 . 32．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 题型七、实际问题中的基本不等式 33．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 34．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 35．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 36．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      题型八、基本不等式与恒（能）成立问题 37．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 38．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 39．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 40．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 41．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 1．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，，且，则的最小值是 . 2．已知，则的最小值为 ． 3．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 5．（24-25高三上·上海·期中）已知 ，则 的最大值为 ． 6．（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知正实数a，b；若，则的最小值为 . 7．（24-25高三上·上海·期中）已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米/时． 10．（23-24高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$