第1章 §3 3.1 不等式的性质(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小是(　　) A．a＞b＞－b＞－a　　 B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 解析　令a＝5，b＝－2满足a＋b＞0，b＜0， 所以a＞－b＞b＞－a. 答案　C 2．(多选)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列结论一定成立的是(　　) A.＜ B．＞0 C.＜ D．＜0 解析　因为c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0，a＞0. 于是＜，＞0，＜0， 但b2与a2的大小关系不确定，故＜不一定成立． 答案　ABD 3．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c 解析　因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac. 答案　C 4．若实数a＞b，则a2－ab________(填“＞”或“＜”)ba－b2. 解析　因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2， 又a＞b，所以(a－b)2＞0， 即a2－ab＞ba－b2. 答案　＞ 5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的有__________． ①若a＞b，c＞b，则a＞c； ②若a＞－b，则c－a＜c＋b； ③若a＞b，c＜d，则＞； ④若a2＞b2，则－a＜－b. 解析　①中，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，③不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；④只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立；②成立． 答案　② 6．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明　证法一　－ ＝ ＝ ＝. ∵a＞b＞0，c＜d＜0， ∴a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0. ∴(a＋b)－(c＋d)＞0，(b－a)＋(c－d)＜0. ∵e＜0， ∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]＞0. 又(a－c)2(b－d)2＞0， ∴－＞0， 即＞. 证法二　 ⇒a－c＞b－d＞0⇒(a－c)2＞(b－d)2＞0 ⇒⇒＞. [关键能力·综合提升] 7．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价(单位：元/升)略有差异，现有以下两种加油方案．方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升．则下列说法正确的是(　　) A．方案一划算 B．方案二划算 C．两种方案一样划算 D．不能确定哪种方案划算 解析　设第一次油价为a元/升，第二次油价为b元/升，a≠b，a，b>0. 方案一的平均油价为＝， 方案二的平均油价为＝. 又－＝＝<0， 故<，故方案一划算． 故选A. 答案　A 8．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和．那么这四名同学中阅读量最大的是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙　　 D．丁 解析　设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1，x2，x3，x4，则x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0. 由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，可得x1＋x3＝x2＋x4，① 由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和，可得x1＋x2＜x3＋x4，② 由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和，可得 x2＞x1＋x4，③ ②－①，得 x2－x3＜x3－x2⇒2(x2－x3)＜0⇒x2＜x3， ②＋①，得 2x1＋x2＋x3＜x2＋x3＋2x4⇒x1＜x4， 由③得x2＞x1，x2＞x4，∴x3＞x2＞x4＞x1， 即阅读量最大的是丙．故选C. 答案　C 9．若a＜b＜0，则下面有六个结论：①a2＞b2，②a3＞b3，③＜，④＞1，⑤＞，⑥|a|＞－b中，正确结论的序号是________． 解析　因为a＜b＜0，则－a＞－b＞0， 所以(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2，故①正确； 由a2＞b2，不等式两边同时乘a时，a3＜b2a，对于a＜b，两边同乘b2，可得b2a＜b3，故a3＜b2a＜b3，即a3＜b3，则②错误； 因为a＜b＜0，所以ab＞0，则＞0， 所以a·＜b·，即＜，则③错误； 由＜，不等式边同时乘a， 得＞＝1，故④正确； 由－＝＝， 因为a－b＜0，a＜0， 所以(a－b)a＞0，又因为b＜0， 所以－＜0，即＜，故⑤错误； 由a＜b＜0可得，|a|＞|b|＝－b，故⑥正确； 因此，正确结论的序号是①④⑥. 答案　①④⑥ 10．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，能组成哪几个正确的不等式？ 解析　由②可知－＞0， ∴＞0，若③式成立，即bc＞ad， 则bc－ad＞0，∴ab＞0，故由②③⇒①正确； 由①ab＞0得＞0， 不等式bc＞ad两边同乘，得＞， ∴＞，故由①③⇒②正确； 由②得－＞0，∴＞0，若①式成立， 则bc＞ad，故由①②⇒③正确． 综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①. [核心价值·探索创新] 11．(2024·安徽部分名校期中联考)在一间窗户面积(a)小于地板面积(b)的房子里，窗户与地板的面积同时增加m(m>0)，则采光条件可变好．根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是________． 解析　－＝＝. 因为0<a<b，m>0， 所以b－a>0，m(b－a)>0，b(b＋m)>0， 因此>0，则－>0， 即>. 答案　>(0<a<b，m>0) 学科网（北京）股份有限公司 $$