2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式，通过二次函数图像衔接方程与不等式，构建“定义-解法-应用”知识支架，涵盖基础概念、含参数问题及实际应用，帮助学生建立三者内在联系。 其亮点在于融合数形结合思想，通过思维导图整合知识，分层例题（如例1多解法、例16实际问题）与高考对接训练，培养数学思维与应用意识。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可实现一体化教学，提高课堂效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 本节结合二次函数图像研究一元二次方程与不等式，理解三者内在联系，掌握一元二次不等式解法，能求解对应参数问题，体会数形结合的数学思想。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括113张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的 不等式，称为一元二次不等式 一元二次不等式的一般形式是或,其中,, 均为常 数， （重点关注）. 教材帮 4 2 一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式或的实数 组 成的集合叫做一元二次不等式或 的 解集（解集一定是集合的形式，不能写成不等式）,即 或 . 教材帮 5 3 一元二次不等式的解法 以求解可化成 形式的不等式为例，其求解过程用框图表示如下： 教材帮 6 例1 不等式 的解集为________________. 教材帮 7 图2.3-2 【解析】方法1：（图解法） 方程的两根分别为 ,2，二 次函数 的图象为开口向上的抛物线（如图2.3-2）, 结合图象得不等式的解集为 . 方法2：（转化法） 由得 , 所以或 解得 ， 所以不等式的解集为 . 方法3：（配方法）即，所以 ， 由绝对值的几何意义得 ， 所以不等式的解集为 . 教材帮 配方法解一元二次不等式： 或 或 ； . 教材帮 9 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数 叫做二 次函数的零点.二次函数的零点（【明易错】注意零点是实数 ,不是 一个点）个数可以为2，1或0. 教材帮 10 2 三个“二次”之间的关系 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 （即二次函数 的零点） 有两个不相等的实数根 , 有两个相等的实 数根 没有实数 根 教材帮 11 一元二次 不等式的 解集 或 （简记：大于取两边） （简记：小于取中间） 续表 教材帮 知识剖析 三个“二次”关系的理解 （1）三个“二次”关系的实质可结合数形结合的思想进行解读： 的解的图象与轴交点的横坐标 函数 的零点； 的解集的图象上的点在轴上方时，对应 的取值集合; 的解集图象上的点在轴下方时，对应 的 取值集合.#1.1.2.3 教材帮 13 （2）三个“二次”的关系如图2.3-1：#1.1.3 图2.3-1 教材帮 14 图2.3-3 例2 ［多选题］(2026·江苏省高邮中学月考)已知函数 的部分图象如图2.3-3所示，函数的零点为 和1，则 ( ) ACD A. B. C.关于的不等式的解集为 D.关于的不等式的解集为 教材帮 15 【解析】由题意得方程的两根分别为 和1，由根与系数的关系可 知,，又函数图象开口向下，所以,, . 对于A， ，A选项正确； 对于B， ，B选项错误； 对于C，由图可知不等式的解集为 ，C选项正确； 对于D，不等式,所以 , 所以，解集为 ，D选项正确. 故选 . 教材帮 16 方法帮丨解题突破 题型1 解一元二次不等式 类型1 解不含参数的一元二次不等式 例3 解下列不等式： （1） ； 方法帮 17 【解析】因为 （判别式是判断一元二次方程是否有实根 的理论依据，故应先计算 的值），所以方程 有两个不等实根， （ 十字相乘即可得 ）. 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为 或 . 方法帮 18 （2） ； 【解析】原不等式可化为 （一般要先将一元二次不等式的二次项 系数转化为正数，再进行求解）,即 ， 所以原不等式的解集为 }. （3） ； 【解析】原不等式可化为，因为 ，所以 方程无实根,又二次函数 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为（若不等式对应的方程的判别式，则相应不等式的解集为 或 者为 ）. 方法帮 19 （4） ； 【解析】原不等式可化为，因为 ，所以 方程无实根,又二次函数 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为 . 方法帮 20 （5） ; 【解析】将 直接去掉绝对值符号, 得或 , 即或 , 所以（十字相乘法）或 （配方法）， 解得或或 . 故原不等式的解集为或 . 方法帮 21 （6） . 【解析】当时,原不等式为,所以 ； 当时,原不等式为 , 即,解得或,所以 . 综上,原不等式的解集为或 }. 方法帮 22 求解方程 根的方法： （1）公式法： . （2）配方法：方程化为顶点式 . （3）十字相乘法：过程如下， 则 . 方法帮 23 解题通法 解一元二次不等式的步骤 方法帮 24 练变式1 [教材改编P55习题2.3 T3](2026·江西省宜春市期末)设集合 ，，则 ( ) C A. B. C.，， D.，1， 【解析】 ， ，，，， ， 则，， ． 方法帮 25 练变式2 (2026·重庆市巴蜀中学校月考)设，则“”是“ ” 的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由得，则，由 得到 ，解得 ， 因为集合是集合 的真子集， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 方法帮 26 类型2 解含参数的一元二次不等式 例4（1）解关于的不等式： . 【解析】将不等式变形为 （因式分解， 得出对应方程的两根为, ）. 当（【会分类】根据与的大小关系分类讨论），即或 时，不等 式的解集为 或 ； 当，即或时,不等式的解集为 ； 当，即时，不等式的解集为或 . 方法帮 27 （2）解关于的不等式: . 【解析】若 （【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论），则原不等式为 ，故解集为 . 若， . ①若 ， 当,即时，方程的两根为, , 原不等式的解集为 ｝； 当，即时，原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 方法帮 28 ②若 ， 当,即时，原不等式的解集为或 ｝； 当,即时，原不等式可化为, 原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 方法帮 29 综上所述，当 时（【会总结】在总结时，解集相同的情况要注意合并），原不 等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为或 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . 方法帮 30 若与不等式对应的方程的根确定，但其大小不确定，则通过讨论根 的大小去求不等式的解集；若一元二次方程的根不确定，则往往通过讨论根的判别 式符号（分,, 进行讨论）去求不等式的解集. 方法帮 31 解题通法 解含参数的一元二次不等式的步骤 注意:确定对应方程的根优先考虑因式分解，不能分解时再求判别式 ，用求根公式 计算. 方法帮 32 练变式3 (2026·湖南省邵阳市第二中学月考)已知关于 的不等式 恰有三个整数解，则实数 的取值范围是( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 方法帮 33 【解析】，由题意得 ， 当时，解得 , 若不等式恰有三个整数解，即为2，3，4（因为 ,若恰有 三个整数解，则为2,3,4）， 则 ; 当时，解得 ， 若不等式恰有三个整数解，即为， ，0， 则 . 综上，的取值范围是或 . 方法帮 34 类型3 利用换元法转化为一元二次不等式求解 例5 解下列不等式： （1） ； 【解析】原不等式可化为，令 （【警示】注意换 元后新元的范围）， 则不等式可化为,解得 ， 又,,即, ． 故原不等式的解集为 }． 方法帮 35 （2） ； 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得 , 又，,即, ． 故原不等式的解集为 ． 方法帮 36 （3） ． 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 , 解得或 （舍去）, ,或 ． 故原不等式的解集为或 . 方法帮 37 本题通过换元，令分别等于,, ，将所求解的不等式转化为 关于的一元二次不等式进行求解.要注意这里，，均为非负数，故均有 ， 求出 的取值范围，进而可确定原不等式的解集． 方法帮 38 题型2 解分式不等式 例6 不等式 的解集为________________． 先把不等式转化为 的形式，再把不等式转化为整式不等 式或不等式组求解． 方法帮 39 【解析】原不等式可化为，即 ． 方法1：原不等式等价于 （【明易错】此处不要忽略分母不为0的限制） 即故 . 故原不等式的解集为 ． 方法2：原不等式等价于或 解得 ． 故原不等式的解集为 ． 方法帮 40 例7 不等式 的解集为________________________． 或 【解析】方法1：（不等式组法） 原不等式可化为 或 即或 解得或 . 故原不等式的解集为或 . 方法帮 41 方法2：（列表法） 原不等式可化为 .列表如下. （通过列表判断各个因式的正负） - 由上表可知，原不等式的解集为或 ． 方法帮 42 方法3： （穿根引线法） 方程 的 根为，， ． 图2.3-4 将， ，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数 轴右端的上方起，依次穿过这些点，则不等式的解集即 为曲线在数轴上方的部分对应的 的取值范围（如图 2.3- 4所示）． 故原不等式的解集为或 . 方法帮 43 解题通法 分式不等式的求解方法 解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解. 化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为 的形 式. 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表.#3.1.3 分式不等式 整式同解不等式 分式不等式 整式同解不等式 或 或 方法帮 44 特别地，形如的分式不等式，可同解变形为 ，故可转化为解 .#3.1.4 方法帮 45 利用穿根引线法解不等式的步骤 分解因式 将不等式转化为一端为0，另一端为若干个因式（一次或二次不可约因 式）的乘积的形式，并将各因式中最高次数的项的系数化为“ ”. 求根 求出相应方程的根，并在数轴上表示出来. 穿线 由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点.穿线时要遵循“奇过偶不 过”的原则（即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿到数轴的另一 侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴）. 得解 若不等式（最高次数的项的系数符号化为“”后）“ ”，则找“线”在 数轴上方对应的的取值范围；若不等式“ ”，则找“线”在数轴下方对 应的 的取值范围. 方法帮 46 练变式4 (2026·湖南省长沙市第一中学月考)不等式 的解集为_____________ ___. 【解析】因为 ， 所以解得 ， 所以不等式的解集为 . 方法帮 47 题型3 三个“二次”之间的关系 例8 (2026·安徽省六安市期中)不等式的解集为 ，则 函数 的图象大致为( ) C A. B. C. D. 方法帮 48 【解析】因为的解集为 ，所以方程 前的系数为,的两根分别为 和1，且 ， 则变形可得 故函数 的图象开口向下，且与 轴的交点坐标为和 . 故C选项的图象符合. 方法帮 49 例9（1）(2026·甘肃省白银市月考)若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是( ) C A. B. C.} D. 【解析】因为不等式的解集为 ，所以方程 的两实数根分别为和3，且，（由解集的形式得出 的正 负） 所以解得 代入不等式，得 ， 即，解得 ， 所以不等式的解集为 }． 方法帮 50 （2）(2026·安徽省马鞍山二中月考)若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( ) A A. B.或 C. D.或 方法帮 51 【解析】因为不等式的解集为 ， 所以且和2是方程 的解，（三个“二次”之间的关系） 由根与系数的关系知， 解得 所以不等式可化为 ，即 ， （之所以变号是因为 ，此处易错） 即，解得，所以不等式 的 解集为 ． 方法帮 52 方法帮 53 解题通法 若已知一元二次不等式的解集，则由一元二次不等式的解集可逆向推知它的系数所 满足的条件（即相应的一元二次方程的根、根的判别式的情况及二次项系数的正负 等），再利用根与系数的关系即可解决问题. 方法帮 54 练变式5 (2026·广东省广雅中学月考)甲、乙分别解关于 的不等式 ．甲抄错了常数,得到解集为；乙抄错了常数 ,得到 解集为 ．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式 解集应为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得,，所以， ，故原不等式为 ，解得 ． 故所求解集为 . 方法帮 55 练变式6 [多选题](2026·广东省汕头市质检)已知关于的不等式 的 解集为或 ，则下列说法正确的是( ) AC A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 D. 方法帮 56 【解析】 关于的不等式的解集为或， 二次函 数的图象开口向上，即 ，选项A正确； 由题可知方程的两个实数根为 ，4， 解得 则等价于 ， 又，， 不等式的解集为, 选项B错误； 不等式等价于，即 ，解得 或 ， 方法帮 57 不等式的解集为或 ， 选项C正确； ， 选项D错误．故选 ． 方法帮 题型4 一元二次不等式恒（能）成立问题 类型1 在 上恒成立问题 例10 若关于的不等式的解集是 ，则实数 的取值范围是 ___________. } 方法帮 59 【解析】因为关于的不等式的解集是 ，则不等式 的解集为 ，（【巧转化】转化为不等式恒成立问题） 则，解得 ， 所以实数的取值范围为 }. 方法帮 60 例11 ［教材改编P58 T6］若对任意实数,关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_ _______________. 方法帮 61 【解析】（1）若（【明易错】此处易被忽略，当 时，所给不 等式对应的方程并不是一元二次方程），则 . 当时，原不等式为，解集为,满足题意；当 时，原不等式为 ，解集为 },与题意不符. （2）若，即 ， 则当时，不等式的解集为，解得 . 综上，实数的取值范围是 . 方法帮 62 解题通法 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间 上全部在轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 轴下 方.因此对于在 上的恒成立问题，主要有以下几种： （1）一元二次不等式对任意实数恒成立且 ; （2）一元二次不等式对任意实数恒成立且 ; （3）一元二次不等式对任意实数恒成立且 ; （4）一元二次不等式对任意实数恒成立且 . 注意:当不等式未说明为一元二次不等式时，对任意实数 恒成立应 满足的条件为且或且 . 方法帮 63 练变式7 (2026·山西省运城市期末)“”是“ ， 是假命题”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 方法帮 64 【解析】由“，是假命题”可得“ ， 是真命题”. 当，即时，不等式 恒成立； 当，即 时， 则满足解得 . 综上可得， . 又“”是“ ”的必要不充分条件， 所以“”是“， 是假命题”的必要不充分条件. 方法帮 65 类型2 在给定范围内恒成立问题 例12 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. 思路1 思路2 方法帮 66 【解析】方法1:当时,不等式恒成立， 只需求出函数 的最小值，令最小值大于0即可.（转化为熟悉的二次函数求 最值问题，这也是非常常见的求解方法，后续会逐步学习） 二次函数的图象的对称轴方程为 . 当，即时，函数在处取得最小值,则, , . 当，即时，函数在处取得最小值 , ，解得, . 综上，实数的取值范围为 . 方法帮 67 方法2：（分离参数法）（利用分离参数法可避免分类讨论） , 由恒成立得 恒成立. ,当且仅当 ， 即 时等号成立， 的最大值为, . 故的取值范围为 . . . 方法帮 类型3 在给定范围内能成立（有解）问题 例13 (2026·天津市第四十七中学月考)若关于的不等式 在 时有解，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 方法帮 69 图2.3-5 【解析】不等式在 时有解， 等价于当时， . 由二次函数 的图象（如图2.3-5所示）知，当 时，，所以 . 方法帮 70 解题通法 一元二次不等式在给定范围内的恒成立（有解）问题的处理策略 1.转化为相应二次函数在该范围内的最值问题（令 ）. （1）对任意，恒成立 ； 对任意，有解 . （2）对任意，恒成立 ； 对任意，有解 . 2.当不等式中的参数容易分离时，也可采用分离参数法求参数的取值范围. 方法帮 71 练变式8 若对于任意的，恒成立，则实数 的取值范围 为( ) D A. B. } C.或} D. } 方法帮 72 【解析】令, , 若, 恒成立； 当时，函数图象的对称轴方程为 , 若,当时最大，且 , 解得， ； 若,当时最大，且 , 解得， . 综上所述，实数的取值范围为 }. 方法帮 73 练变式9 (2026·福建省莆田市月考)设，若关于的不等式 在 上有解，则 的取值范围为( ) B A. B. C.} D. } 方法帮 74 【解析】方法1:在上有解，即当 时,函数 的最小值小于或等于0. 二次函数图象的对称轴方程为 , 当，即时，，则 ，无解； 当，即时,,则，所以 ； 当，即时，，解得或 ， 所以 . 综上所述，的取值范围为 ，故选B. 方法帮 75 方法2：（分离参数法） 转化可得在 上有解，只需 ，又，当且仅当时等号成立，所以 的 取值范围为 ，故选B． 方法帮 类型4 给定参数范围的恒成立问题 例14 若不等式对任意的恒成立，则 的取值范围 为( ) A A.或 B.或 C. D. 方法帮 77 【解析】由题得不等式对任意恒成立，将 视为主元，构造关于的函数（此时将 看为参数，该函 数一定在端点处取得最值）， 当时， ； 当时， . 因为对任意 恒成立，所以 解得或 . 所以的取值范围为或 . 方法帮 78 解题通法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选 谁当主元,求谁的范围,谁就是参数，即把变量与参数交换位置,构造以参数为变量的 函数,根据原变量的取值范围列式求解.若构造的函数为一次函数，则可以直接把所给 范围的两个端点值代入，化简求解即可. 方法帮 79 练变式10 (2026·河南省南阳地区十校联考)人工智能的某神经元输出函数可表示为 （为权重参数，为输入特征值），当输出值 时会触 发过滤机制.若对任意权重参数 ，该神经元都会触发过滤机制，则输入特 征值 的取值范围是( ) B A. B.} C.} D. 方法帮 80 【解析】将输出函数整理为关于的一次函数 ， 因为当时，恒成立，所以需满足和 时的函数值均小于0. 当时，，解得 ； 当时， ， 因式分解得，解得 . 所以的取值范围为 }.故选B. 方法帮 81 类型5 在 上有解问题 例15 (2026·广东省华南师大附中检测)若, ，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C.或 D.或 方法帮 82 【解析】当时，不等式为，即，显然在 上 有解，符合题意； 当时，抛物线 开口向下，显然 在 上有解，符合题意； 当时，抛物线 开口向上， 只需，解得或 ， 又，所以或 . 综上，实数的取值范围是或 .（取并集） 故选D. 方法帮 83 解题通法 （1）不等式（,不同时为0）能成立（有解）的条件是 或 （2）不等式（,不同时为0）能成立（有解）的条件是 或 方法帮 84 练变式11 (2026·上海市宜川中学期中)若关于 的不等式 的解集不为空集，则实数 的取值范围为( ) C A.} B. } C.或} D.或 } 方法帮 85 【解析】根据题意，分三种情况讨论： ①当，即 时， 若，原不等式为，解得 ， 则不等式的解集为 ，不是空集， 若，原不等式为 ，无解，不符合题意； ②当，即或 时，对应抛物线的开口向上， 的解集一定不是空集； ③当，即 时，对应抛物线的开口向下， 若 的解集不为空集， 方法帮 86 则有 ， 即 ， 解得或，又，所以 . 综上可得，实数的取值范围为或 }. （也可根据解题通法直接列式，或但是需要排除 的情 况，此时一次项和二次项系数同时为0） 方法帮 题型5 一元二次不等式的实际应用 图2.3-6 例16 某单位在对一个长,宽 的矩形空地进行绿化，设计 方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图 2.3-6所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则 花坛宽度 的取值范围为_______________． 方法帮 88 【解析】由题意知绿草坪的长为,宽为 , 则绿草坪的面积为 ， 令，化简整理得 ，解 得或 ， 由题意知（由得到的范围），所以 不符 合题意，舍去，所以 ， 故花坛宽度的取值范围为 ． 方法帮 89 解题通法 应用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，搞清量与量之间的关系，即找准 不等关系； （2）引进数学符号，建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题， 即构造一元二次不等式模型； （3）解这个不等式，得到实际问题的解. 方法帮 90 练变式12 (2026·天津经济技术开发区第一中学月考)某文具店购进一批新型台灯，每 盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销 售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则 这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知，，即 ，解得 ，又每盏最低售价为15元（不要忘记实际问题的限制条件），所以所求 取值范围为 ． 方法帮 91 高考帮丨考向追踪 考向1 一元二次不等式的解法 例17（1）(2023· 新课标Ⅰ卷)已知集合,,0,1,， ， 则 ( ) C A.,,0, B. C. D. 【解析】因为或，所以 . （2）(2024·上海)不等式 的解集为________________. 【解析】由，得 ，故不等式的解集为 . 高考帮 92 考向2 分式不等式的解法 例18（1）(2025· 全国二卷)不等式 的解集是( ) C A. B. C. D. 【解析】由，得，得,得 得 ，故选C. 高考帮 93 （2）(2025·上海)不等式 的解集为______________. 【解析】方法1：原不等式等价于解得 ，所以不等式的 解集为 . 方法2：由题意得或解得 ，所以不等式的解集为 . 高考帮 94 训练题丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·湖南省长沙市期中)设集合,,则 ( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】易得集合或，结合数轴，可得 或 . 练习帮 95 2.(2026·四川省成都市月考)不等式 成立的一个必要不充分条件是( ) C A. B. C. D. 【解析】解不等式得，，因为要寻找不等式 成立 的一个必要不充分条件，所以 是选项对应集合的真子集，结合选项可 知只有C符合． 3.不等式 的解集是( ) B A. B. C.或} D. } 【解析】不等式，即，则，且 （分母不为 零），解得，则原不等式的解集为 . 练习帮 96 4.［多选题］(2026·四川省仁寿第一中学校期末)对于给定的实数 ,不等式 的解集可能是( ) AB A.} B. C. D. 【解析】当时，不等式可化为，解得 . 当时，原不等式可化为 ， 当时，解得 ; 当时，解得或 ; 当时，解得 ; 当时，解得或．故选 ． 练习帮 97 5.［多选题］(2026·湖北省荆州中学月考)已知关于的不等式 的解 集为或 ,则( ) BC A. B.不等式的解集为 C. D.不等式的解集为 } 练习帮 98 【解析】 关于的不等式的解集为或， 且 和3是方程 的解， 即, ,故选项A错误； 不等式可化为，故不等式的解集为 ，故选项 B正确； ，故选项C正确； ，，即 （ 恒成立），解集为 ，故选项D错误. 故选 ． 练习帮 99 6.(2026·河北省保定市检测)若关于的不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围为___________. 【解析】①当 时（二次项系数含参时，一定要记得对二次项系数是否为0进行 讨论），不等式为，在 上不恒成立； ②当 时，由二次函数的图象和性质知 解得 , 所以实数的取值范围为 }. 练习帮 100 7.(2026·河北省保定外国语学校月考)已知不等式的解集为 或 ． （1）求, 的值. 【答案】不等式的解集为或 , 所以1和是方程 的实数根, 方程可化为 , 由根与系数的关系知,解得 （2）为何值时，的解集为 ？ 【答案】不等式为 , 令,解得 , 所以当时,不等式的解集为 . 练习帮 101 （3）解不等式 ． 【答案】不等式为 , 即 . 当时,解不等式得 , 当时,不等式 ,不成立, 当时,解不等式得 . 综上所述,当时,不等式的解集为 ; 当时,不等式的解集为 ; 当时,不等式的解集为 . 练习帮 102 8.(2026·山东省济宁市月考)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使年销售收入 不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ 【答案】设每件定价为元，则 （提高价格后的年销售收入） , 整理得, 解得 . 故要使该商品的年销售收入不低于原收入，每件定价最多为40元. 练习帮 103 （2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术 革新和营销策略改革，并将每件商品的价格提高到元，公司拟投入 万 元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用. 试问：该商品明年的销售量 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 【答案】由题意得，当时， 有解，等价于当 时， 有解, 又, 当且仅当, 即时等号成立，所以 . 故当该商品明年的销售量 至少达到10万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元． 练习帮 104 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.(2026·陕西省渭南市期中)若命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为( ) C A. B. } C.或 D.或 练习帮 105 【解析】由题意可得“, ”为真命题， 即（变换主元） 对 恒成立, 则解得或 , 即实数的取值范围为或 . 练习帮 106 10.(2026·辽宁省大连市检测)对于问题“已知关于的不等式 的解集 为，解关于的不等式 ”，给出一种解法：由 的解集为，得 的解集为 ，即关于的不等式的解集为 .类比 上述解法，若关于的不等式的解集为或 ， 则关于的不等式 的解集为( ) D A.或 B.或 C.或} D.或 练习帮 107 【解析】若关于的不等式的解集为或 , 由得 , 可得 或, 则 , 解得或 , 所以关于的不等式的解集为 或 .故选D. 练习帮 108 11.［多选题］(2026·浙江省强基联盟联考)已知关于 的不等式 的解集是，其中 ，则下列结论中正确 的是( ) ACD A. B. C. D. 练习帮 109 【解析】根据不等式解集的形式可知，且， 是一元二次方程 ,即 的解， 所以， ， 所以， ，选项A,D正确． 因为 （【详解】 ） ，所以选项C正确． 方程的解是和1，不等式 的解集为 ，由数形结合可知，选项B错误．故选 ． 练习帮 110 12.［数学文化·高斯函数］(2026·黑龙江省齐齐哈尔市期中)高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三 大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过 的最大 整数，如，，，则关于的不等式 的 解集为________________． 【解析】不等式可化为，解得 ， 即 , 所以不等式的解集为 ． 练习帮 111 13.［共零点高次不等式］ (2026·辽宁省锦州市期末)若不等式 对任意恒成立，则 的最大值为____. 【解析】设,，其中 . 若，则，而对 恒成立， 故对 恒成立, 即对 恒成立， 的图象为开口向上的抛物线， 故在上不恒成立，故 舍去. 若 ， 则当时，，故在 }上恒成立； 练习帮 112 当时，，故在 }上恒成立. 而 的图象为开口向上的抛物线， 当时，,当时， ，即 , ， 故，当且仅当 时等号成立， 故的最大值为 . 练习帮 $