2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式，系统讲解一元二次不等式的概念、解法及三者关系。课堂导入通过矩形面积问题建立函数模型，转化为不等式，搭建从实际情境到数学问题的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以数形结合为核心，分Δ>0、Δ=0、Δ<0及a<0情况讨论，表格化梳理关系，结合商品定价等实际例题。通过生活问题培养数学眼光，分类讨论训练数学思维，模型建立提升数学语言表达。助力学生掌握解题方法，教师可高效开展教学。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一章 一元二次函数、方程和不等式 亮亮图文旗舰店 https://liangliangtuwen.tmall.com 目录 contents 1 一元二次不等式的概念 2 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 3 提分训练 课程导入 生活中的数学问题：矩形面积与边长的关系 01. 问题情境引入 一个矩形的周长为20米，设其一边长为x米，面积为S平方米。 04. 转化为数学不等式 将文字条件转化为不等式：-x²+10x>24 整理后得到核心问题：x²-10x+24<0。 03. 提出面积约束要求 如果实际需求中该矩形面积必须大于24平方米，此时边长x需要满足怎样的条件？ 02. 建立函数模型 由周长公式得另一边长为(10-x)米，因此面积函数为：S=x(10-x)，即S=-x²+10x。 如何解一元二次不等式？ 新知探究 1. 一元二次不等式的概念： 定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 核心特征：该类不等式需同时具备“含一个未知数”“最高次数为2”和“不等号连接”三个条件。 ax2+bx+c>0 二次：未知数的最高次项次数为2，且二次项系数≠0 一元：仅含一个未知数（如x），无其他未知字母 不等式：必须用＞、＜、≥、≤连接，区别于等式 新知探究 核心思想：数形结合 本质：解一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0），等价于求二次函数y=ax2+bx+c中，函数值y满足条件时自变量x的取值范围。 规律：y>0对应图像在x轴上方的部分； y<0对应图像在x轴下方的部分。 2. 解一元二次不等式： 新知探究 情况一 (Δ>0, a>0) ①条件与图像：Δ=b²-4ac>0，抛物线开口向上且与x轴交于两点 (x1, 0)、(x2, 0)(x1<x2)。 ②方程根的情况：对应一元二次方程有两个不相等的实数根x1和x2。 ③函数值符号：当x<x1或x>x2时，y>0；当x1<x<x2时，y<0。 前提：二次函数y=ax²+bx+c(a>0)与x轴有两个交点x1, x₂ (x1<x₂) ④不等式ax²+bx+c>0 的解集：{x|x<x1或x>x2} ⑤不等式ax²+bx+c<0 的解集：{x|x1<x<x2} 新知探究 情况二：Δ=0(a>0) ①条件特征：Δ=b²-4ac=0，抛物线开口向上(a>0) ②图像性质：抛物线与x轴有唯一交点（顶点在x轴上），坐标为 (x0, 0) ③方程根解：对应一元二次方程有两个相等实根，即x1=x2=- 当一元二次函数y=ax²+bx+c满足a>0且Δ=0时： ④不等式ax²+bx+c>0的解集为：{x|x≠x0, x∈R} ⑤不等式ax²+bx+c<0的解集为：∅（空集） 新知探究 情况三：Δ<0(a>0) ①条件特征：判别式Δ=b²-4ac<0，且二次项系数a>0 ②图像性质：抛物线开口向上，与x轴无交点，图像整体完全位于x轴上方 ③方程与不等式：方程ax²+bx+c=0无实数根；不等式ax²+bx+c>0的解集为全体实数R ④对于一元二次不等式ax²+bx+c>0(a>0, Δ<0)： 解集为全体实数R，即不等式恒成立； ⑤对于不等式ax²+bx+c<0：解集为空集∅，即没有实数能满足该不等式。 新知探究 当a<0时： 处理策略：当二次项系数a<0时，在不等式两边同时乘以-1，将其转化为a>0的常规形式。 ⚠核心易错点：不等式两边同乘（或除以）负数时，不等号方向必须改变！ 💡 实战演练：解不等式-x²+2x-3>0 ① 变形：两边同乘-1（变号）→x²-2x+3<0 ② 判别：Δ=(-2)²-4×1×3=-8<0，且a=1>0，故恒正 ③ 结论：原不等式无解，解集为∅（空集） 知识总结 Δ 符号 根与图像特征 不等式解集 (a>0) Δ>0 有两个不等实根x1, x2；图像与x轴交于两点。 ax²+bx+c>0：x<x1或x>x2 ax²+bx+c<0：x1<x<x2 Δ=0 有两个相等实根x0；图像与x轴相切(一个交点)。 ax²+bx+c>0：x≠x0 ax²+bx+c<0：无解 (∅) Δ<0 无实数根；图像与x轴无交点。 ax²+bx+c>0：全体实数R ax²+bx+c<0：无解 (∅) 判别式与二次不等式解集： 核心点拨 1. 判别式Δ是“桥梁”：它决定了方程根的情况，进而决定了函数图像与x轴的位置关系。 2. 数形结合思想：开口向上时，图像在x轴上方的部分对应正解集，下方对应负解集。 3. 注意系数符号：若二次项系数a<0，建议先将其化为a>0 的形式，避免解集方向出错。 小试牛刀 例1、解不等式x²-5x+6>0 解题思路： 求根：解方程 x²-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得根为x1=2，x2=3。 画图：二次项系数为正，函数y=x²-5x+6的图像是开口向上的抛物线，与x轴交于点(2,0)和(3,0)。 定解：观察图像，当x<2或x>3时，抛物线位于x轴上方（y>0） 小试牛刀 例1、解不等式x²-5x+6>0 【解析】 ①求解方程根：对方程x²-5x+6因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得根为x1=2，x2=3 ②分析函数图像：二次函数y=x²-5x+6的二次项系数为正，图像开口向上，且与x轴交于点(2,0)和(3,0) ③结合图像判区间：由图像特征可知，当x<2或x>3时，函数图像位于x轴上方，即满足y>0。 ④确定不等式解集：综上，不等式x²-5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}。 目录 contents 1 一元二次不等式的概念 2 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 3 提分训练 新知探究 3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2且x1≤x2，设△=b2-4ac，它的解按照△＞0，△=0，△＜0可分三种情况，相应地y=ax2+bx+c（a＞0），二次函数的图象与x轴的位置关系也分为三种情况. 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2+bx+c＜0或ax2+bx+c＞0的解集。 新知探究 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象       ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集     R  ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集   ∅  ∅ 小试牛刀 例2、实际应用——商品定价与利润分析 某商店销售一种商品，进价为每件20元。当销售单价定为x元时，每天的销售量为(100-x)件。若商店每天想要获得大于1000元的利润，试求销售单价x的取值范围。 解题思路： 明确公式：利润=(单价-进价)×销售量 建立不等式：(x-20)(100-x)>1000 整理变形：化简为x²-120x+3000<0 小试牛刀 【解析】 ①求解方程根 对方程x²-120x+3000=0求解，得根为x=60±10； 取近似值计算：x1≈35.5，x2≈84.5。 ②确定不等式解集 由于二次项系数a=1>0，抛物线开口向上，因此不等式x²-120x+3000<0的解集为两根之间，即35.5<x<84.5。 ③结合实际的结论 将数学解还原为实际问题：当该商品的销售单价控制在35.5元到84.5元之间时，每天的销售利润将大于1000元。 目录 contents 1 一元二次不等式的概念 2 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 3 提分训练 提分训练 题型1 一元二次不等式的解法 1、已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B=(　　) A.{1,2,3}　　　　 B.{1,2}　　 C.{x|0<x≤3}　　　　D.{x|3<x≤4} A 【解析】 解：由题意得A={x∈N*|x≤3}={1,2,3}, B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4}, ∴A∩B={1,2,3}, 故选A． 提分训练 题型1 一元二次不等式的解法 2、若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　) A.-2≤m<-1 B.-2<m≤-1 C.-2≤m<-1或3<m≤4 D.-2<m≤-1或3≤m<4 C 【解析】 解：不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1. 当m>1时,-m<-1,解不等式得-m<x<-1, 当m<1时,-m>-1,解不等式得-1<x<-m. 由不等式的解集中恰有两个整数可得-4≤-m<-3或1<-m≤2,解得3<m≤4或-2≤m<-1.故选C． 提分训练 题型1 一元二次不等式的解法 3、求下列关于x的不等式的解集： x2+(a-1)x-a>0(a∈R). 【解析】 解：由x2+(a-1)x-a>0,可得(x+a)(x-1)>0①, 则当-a<1,即a>-1时,解不等式①,得x<-a或x>1; 当a=-1时,解不等式①,得x≠1; 当-a>1,即a<-1时,解不等式①,得x<1或x>-a. 综上所述,当a>-1时,不等式的解集为{x|x<-a或x>1}, 当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1}, 当a<-1时,不等式的解集为{x|x<1或x>-a}. 提分训练 题型2 三个“二次”之间的关系 4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是(　　) A.{x|-2<x<1}　　　　 B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1}　　　　D.{x|x≤-2或x≥1} A 【解析】 解：由题图易知y>0对应的x的范围是{x|-2<x<1}. 故选A． 提分训练 题型3 一元二次不等式的实际应用 5、某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁,若每套礼服每天的租价为200元,则所有礼服均被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20,x∈Z),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为(　　) A.220元　　B.240元　　C.250元　　D.280元 C 提分训练 题型3 一元二次不等式的实际应用 【解析】 解：依题意得每天有(300-10x)套礼服被租出, 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为: (300-10x)·(200+10x)=(-100x2+1000x+60000)元. 由题意知-100x2+1000x+60000>62400, 即x2-10x+24<0,解得4<x<6. 因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5, 故要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则每套礼服每天的租价应定为250元. 故选C． 追求卓越 $