第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式章节复习，涵盖不等式性质、基本不等式、一元二次不等式解法及实际应用，通过知识网络梳理一元一次方程、二元一次方程组等旧知，搭建从方程到不等式的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是结合例题与变式训练，突出数学抽象和逻辑推理素养，如作差法比较大小、参数分类讨论解不等式培养推理能力，实际应用问题（如利润计算）发展数学建模素养。学生能提升解题与应用能力，教师可借助资料系统教学，提高课堂效率。

章末复习 知识网络 不等式及其性质 1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位. 2.掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 【例1】 (1)(2026云南玉溪期中)若a>b>0,m<0,下列结论正确的是(　　) A.b2>ab B. C.a-m<b-m D. B 解析 对于A,a>b>0时,b2-ab=b(b-a)<0,则b2<ab,故A错误; 对于B,由a>b>0,则,而m<0,因此,故B正确; 对于C,若a>b>0,m<0,则a-m>b-m,故C错误; 对于D,若a>b>0,m<0,<0,所以,故D错误.故选B. (2)已知1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,则3a+4b的最大值为(　　) A. B.15 C. D.13 A 解析 由题意设3a+4b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b, 则解得 因为-1≤-(a-b)≤-(a+b)≤14, 所以-1=≤3a+4b=-(a-b)+(a+b)≤-+14=,则3a+4b的最大值为.故选A. 变式训练1 (1)(2026江苏无锡期中)(多选题)若<0,则下列不等式正确的是(　　) A.|a|>|b| B. C.a+b>ab D.a2-a<b2-b BD 解析 由<0可知,b<a<0,所以-b>-a>0,即|b|>|a|,故A错误; ,故B正确; a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,故C错误; a2-a-b2+b=(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1), 由以上可知,a-b>0,a+b-1<0,所以a2-a-b2+b<0,即a2-a<b2-b,故D正确. 故选BD. (2)已知-12<a<8,4<b<6,则的取值范围是　　 　　　.  {|-3<<2} 解析 因为4<b<6,所以, 当0≤a≤8时,0≤<8×,即0≤<2, 当-12<a<0时,-12×<0,即-3<<0. 综上,-3<<2. (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法. 不等式及其性质的两个关注点 反 思 感 悟 基本不等式及应用 1.基本不等式：(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 【例2】 (1)(多选题)若实数x,y满足x2+y2-xy=2,则下列选项正确的有(　　) A.x2+y2≤3 B.xy≥ C.x+y≥- D.y-x≤ ACD 解析 对于A,x2+y2-xy=2可化为x2+y2-2=·2xy. ∵x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时,等号成立), ∴x2+y2-2=·2xy≤(x2+y2), ∴(x2+y2)≤2,∴x2+y2≤3,故A正确. 对于B,由x2+y2-xy=2得(x-y)2+xy=2, ∴(x-y)2=2-xy≥0,∴xy≤,故B错误. 对于C,由x2+y2-xy=2得(x+y)2-xy=2,∴(x+y)2-2=xy. ∵xy≤(当且仅当x=y时,等号成立), ∴(x+y)2-2=xy≤, ∴(x+y)2≤6,∴-≤x+y≤,故C正确. 对于D,由x2+y2-xy=2得(x+y)2-xy=2,∴(x+y)2=2+xy≥0,∴xy≥-. 由x2+y2-xy=2得(y-x)2+xy=2, ∴(y-x)2=2-xy≤2-×(-)=3, ∴-≤y-x≤,故D正确.故选ACD. 6 变式训练2 (1)已知a>0,b>0,且a+b=+4,则a+b的最小值为(　　) A.2-2 B.2-1 C.1+2 D.2+2 D 解析 因为a>0,b>0,所以()(a+b)=10+≥10+2=16, 当且仅当,即b=3a时,取等号. 令s=a+b,则=s-4,所以(s-4)s≥16,即s2-4s-16≥0, 解得s≤2-2或s≥2+2, 又因为a>0,b>0,所以s=a+b>0, 故s=a+b≥2+2,当且仅当 即a=,b=时,取等号.故选D. (2)若x>2,y>-2,x+2y=0,则的最小值为　　　　　.  2 解析 由题意x-2>0,2y+4>0, 又x+2y=0,所以(x-2)+(2y+4)=x+2y+2=2, 所以=()· (2+)≥(2+2)=2, 当且仅当时,等号成立, 所以的最小值为2. (1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”. (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 基本不等式的关注点 反 思 感 悟 一元二次不等式的解法 1.掌握一元二次不等式及分式不等式的解法. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 【例3】 解关于x的不等式x2-2mx+m+1>0. 解 方程x2-2mx+m+1=0的判别式Δ=(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1), 当Δ>0,即m>或m<时,x<m-或x>m+; 当Δ=0,即m=时,若m=,则x≠,若m=,则x≠; 当Δ<0,即<m<时,不等式的解集为R. 综上,当m>或m<时,原不等式的解集是{x|x<m-或x>m+};当m=时,不等式的解集为{x|x≠};当m=时,不等式的解集为{x|x≠};当<m<时,不等式的解集为R. 变式训练3 (2026山东省实验中学期中)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围; (2)若实数m<0,解关于x的不等式y<m-1. 解 (1)当m=0时,不等式为x≥0不恒成立,不符合题意; 当m≠0时,则解得m≥. 综上,实数m的取值范围为{m|m≥}. (2)y<m-1即mx2+(1-m)x-1<0,即(mx+1)(x-1)<0, 又m<0,所以(x+)(x-1)<0,所以当-1<m<0时,->1,解得x<1或x>-; 当m=-1时,-=1,解得x≠1;当m<-1时,-<1,解得x<-或x>1. 综上,当-1<m<0时,原不等式的解集为{x|x<1或x>-};当m=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当m<-1时,原不等式的解集为{x|x<-或x>1}. (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是一元二次方程的根. 反 思 感 悟 不等式的实际应用 本专题主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模和数学运算素养,不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题. 【例4】 某种饲料原来每袋成本为10元,售价为15元,每月销售8万袋. (1)若售价每袋提高1元,月销售量将相应减少2 000袋,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饲料每袋售价最多为多少元? (2)厂家决定下月进行营销策略改革,计划每袋售价x(x≥16)元,并投入 9(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,若每袋售价每提高1元,月销售量将相应减少万袋.则当每袋售价为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润. 解 (1)设饲料每袋售价为x元, 则(x-10)×[80 000-(x-15)×2 000]≥(15-10)×80 000, 解得15≤x≤50,故饲料每袋售价最多为50元. (2)设月总利润为W万元, 则W=(x-10)×[8-(x-15)]-9(x-16)=48.55-[(x-15)+] ≤48.55-2=45.55,当x-15=,即x=16.5时等号成立,此时W=45.55.故当售价为16.5元时有最大利润为45.55万元. 变式训练4　某市为迎接马上到来的运动会,对体育场进行了改造翻新,在改造体育场时需更新所有座椅,并要求座椅的使用年限为15年.已知每千套座椅建造成本是8万元,设每年的使用管理费用为y万元,总座椅数为x千套,两者满足关系式:y=(0≤x≤8).15年的总维修费用为80万元,记w为15年的总费用.(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用).请问当设置多少套座椅时,15年的总费用w最小,并求出最小值. 随堂演练 1.[2026河北冀州中学月考]设集合, ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，所以 . ，所以 .所以 . 34 2.[2026广东深圳南山区期末]已知,，且，则“ ”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 35 【解析】 .若 ，则，又，则 ，因此 ，故 ，充分性成立. 若，则，由于 ， 则，故，则，必要性成立.故“ ”是“ ”的充要条件. 36 3.[2026福建福州月考]关于的不等式 的解集 为，则 的最小值是( ) A A.4 B. C.2 D. 【解析】 ，所以不等式的解集为，所以 , ，所以 ,当且仅 当 时,等号成立. 37 4.[2026江苏苏大附中月考]计划用 的材料制造某种长方体车厢 （无盖），若车厢的宽为 ，则车厢的最大容积是( ) D A. B. C. D. 38 【解析】 设长方体车厢（无盖）的长为，高为，, ，则 由题意得，即 ，所以 ，即 ，当且仅当时等号成立，由, ， 解得，即.因为车厢的容积为 且 ，当且仅当, 时等号成立，所以车厢的最大容积是 . 5.[2026江苏苏州吴江高级中学月考]在上定义运算： .已 知时，存在使不等式成立，则实数 的 取值范围为( ) C A. B. C. D. 40 【解析】 依题意得 .因为 时，存在使不等式 成立，所以存在 ，使不等式成立，即当 时， .因为，所以当时， 取最大值6，所以，解得 . 41 6.已知正数,满足，则 的最小值为( ) B A.2 B. C.3 D. 42 【解析】 由,得 ,则 , 当且仅当,即时，等号成立.所以 的最小值 为 . 由，即 ,得 ，由基本不等式可得 ，即 ,所以 ，当且仅当 ,即，时取等号,所以 的最小值 为 . 44 7.[2026上海建平中学质量检测]已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则实数 的取值范围为 ( ) D A. B. C.或 D.或 45 【解析】 由，得，解得 或 .由，得.当 时， 不等式为，无解；当 时，不等式 的解集为 ，结合题意，此时原不等 式组的解集为 ，且仅有一个整数解，所以 ，即；当时，不等式 的 46 解集为 ，结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，则 ，即.综上所述，的取值范围为 或 . 8.[2026河北唐山十一中月考]若关于的不等式 的解集为空集，则 的最小值为( ) D A. B.2 C. D.4 48 【解析】 因为关于的不等式 的解集为空集， 所以，，得 ，所以 .令，则 ，所以 ，当且仅当 ,即 时，等号成立，所以 的最小值为4. 49 9.已知 ，则( ) BC A. B. C. D. 【解析】 由得.当时， ，A错误； 由不等式的性质，得 ，B正确； ，则，C正确；当, , 时，满足条件，但 ，D错误. 50 10.已知正数,满足 ，则( ) ABC A. B. C. D. 【解析】 A √ 由,可得,即 . B √ 2 ,当且仅当 时,等号成立. C √ ,当且仅当 时,等号成立. 51 D 由，,均为正数，可知, .由A知 ，则 ，所以 ,当 且仅当,即 时,等号成立. 续表 52 11.已知关于的一元二次不等式的解集为 ，则下列说 法正确的是( ) ACD A.若 ，则且 B.若，则关于的不等式的解集也为 C.若，则关于 的不等式 的解集为或 D.若,为常数，且，则的最小值为 53 【解析】 若 ，即一元二次不等式 无解，则一元 二次不等式恒成立，所以且 ，A正确； 令，则,,，所以 可化为，当时， 可化为 ，其解集不为，B错误；若 ，则 ，且和2是一元二次方程 的两根，所以 ，且，所以，，所以关于 的不等 式， 即，因为 ，所以，解得或 ， 即不等式的解集为或 ， C正确；因为,为常数，所以且 ，所以 ，（ 消元，减少参数的个数.）因为 ， 所以,令 ,则 . . ， （ 通过换元，使结构简洁，便于发现求解方法.）当且仅当 ，即,，且 为正数时，等号成立，D 正确. 12.已知,,,则 的取值范围是 _______________. 【解析】 ,因为 ,所以 ,又,所以，即 的取值范围为 . 57 13.[2026江苏徐州期末]若关于的不等式 的解集为 ，则关于的不等式 的解集为________________. 或 【解析】 由不等式的解集为，得关于 的方程的解为或2，且，则 ， .不等式等价于 ，不等式两边 同时除以，且,所以,即 ，解 得或，所以所求不等式的解集为或 . 58 14.已知,，且恒成立，则 的最大值为___. 4 【解析】 因为,，所以, , ，又恒成立，所以 恒成立.又 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最大值为4. 59 （权方和不等式）因为 ,当且仅当 ,即时取等号，所以,又,所以 ， 所以 的最大值为4. 60 15.（13分）已知,, 均为正实数，求证： . 【证明】 因为,, 均为正实数, 所以（当且仅当 时等号成立）,（2分） （当且仅当 时等号成立）,（4分） （当且仅当 时等号成立）,（6分） 61 将上述三式相加得 （当且仅当 时等号成立）,（9分） 所以 （当且仅当 时等号成立）,（11分） 即（当且仅当 时等号成立）. （13分） 16.（15分）已知关于的不等式 . （1）当，, 时，求该不等式的解集; 【解析】 当,,时，不等式为 ,（2分） 即,解得 ,（4分） 所以不等式的解集为 ｝.（5分） 63 （2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集. ①,, ; ②,, . 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 64 【解析】 方案一 选择条件①. 当,,时,不等式为 ,即 .（8分） 当时,不等式的解集为或 , 当时，不等式的解集为 , 当时，不等式的解集为或 .（14分） 综上,当时，不等式的解集为或；当 时，不等 式的解集为;当时，不等式的解集为或 .（15分） 65 方案二 选择条件②. 当,,时，不等式为 .（6分） 若，则不等式为,此时不等式的解集为 .（8分） 若,则不等式可化为 ,（9分） 当时，不等式的解集为或 }；（10分） 当时,不等式的解集为 }；（11分） 当时，不等式的解集为 ；（12分） 66 当时，不等式的解集为 .（13分） 综上，当时，不等式的解集为 }； 当时,不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或 }.（15分） 17.（15分）[2026江苏五校联考]为发展空间互联网，抢占 技术制高点， 某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有 100人，年人均投入 万元.现把研发部人员分成两类：技术人员和 研发人员，其中技术人员有名且 ，调整后研发人员 的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为 万元. 68 （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入， 则调整后的技术人员最多有多少人？ 【解析】 依题意可得调整后研发人员的人数为 ，年人均投入为 万元，（2分） 则，解得 ，（4分） 又, ，所以调整后的技术人员的人数最多为75.（6分） 69 （2）是否存在实数 ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始 终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年 总投入？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 70 【解析】 假设存在实数 满足条件. 由技术人员年人均投入不减少，得 , 解得 .（8分） 由调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，得 , 两边同除以,得 , 71 整理得 , 故 .（10分） 因为,当且仅当,即 时等号成 立，所以 ,（12分） 又,，所以当时,取得最大值7，所以 . （14分） 所以存在这样的满足条件， .（15分） 18.（17分）已知不等式 ． （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立?若存在，求出 的取 值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】 原不等式可化为 ． 当时，不等式为 ， 解得 ，不满足题意；（2分） 当时，则 该不等式组无解. 所以不存在实数，使不等式对任意 恒成立．（4分） 73 （2）是否存在实数，使不等式在上有解?若存在，求出 的取值范围； 若不存在，请说明理由. 74 【解析】 原不等式可化为 ． 当时，不等式为 ， 解得 ，满足题意；（6分） 当时，由二次函数的图象知存在实数，使不等式在 上有解； （8分） 当时，则解得 . 综上，存在实数，使不等式在上有解，且的取值范围为 ．（10分） 75 （3）若不等式对于恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】 设，要使时， 恒成 立，可将看成关于的一次函数，只需当 和时， 均成立即可， 即 （14分） 解不等式，得 ；（15分） 解不等式，得或 .（16分） 76 所以，所以实数 的取值范围是 }．（17分） 19.（17分）[2026浙江六校联盟联考]柯西不等式在数学中有广泛应用，其 二阶形式如下：对任意实数,,,，有 ， 当且仅当时，等号成立.柯西不等式的三阶形式为对任意实数, , ,,,，有 ,当且仅当 或存在实数使得,, 时，等号成立. 78 （1）证明二阶柯西不等式： . 【解析】 ， 当且仅当 时等号成立，（2分） 所以 .（3分） 79 （2）若，求 的最小值. 【解析】 由题中信息，得 ， 令,,得 ， （5分） 所以，即，当且仅当 时等 号成立， 结合,得,, ，（7分） 所以 的最小值为3.（8分） 80 （3）若，,, ，求 的取值范围. 【解析】 第1步：利用柯西不等式求 的最大值. 根据柯西不等式得 ， ①（10分） 因为 ， 81 所以①式可化为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，（12分） 即 ， 又 ， 所以 .（13分） 第2步：将平方，先展开，然后结合根式性质求 的最小值. 又 , 当且仅当 ， 即,,中一个为，另两个为 时，等号成立， 所以 .（16分） 综上，得的取值范围为 }.（17分） (2)当x>1时,的最小值是　　　　　.  解析 由题知x-1>0, 所以=(x-1)++2≥2+2=4+2=6, 当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立,所以的最小值是6. 解 由题意得建造成本费用为8x(0≤x≤8),使用管理费为(0≤x≤8), 所以w=8x++80(0≤x≤8),w=8x++80=4(2x+5)++60≥180, 当且仅当4(2x+5)=时,即x=5时,w取得最小值, 即当设置5千套座椅时,15年的总费用w取得最小值为180万元. $