27.3实际问题与反比例函数（第1课时 建立反比例函数模型)（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”第1课时，核心内容为从实际情境中建立反比例函数模型。通过路程与时间、货物装载等生活情境导入，结合反比例函数性质与解析式的知识回顾，引导学生识别定量与变量，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“分析情境—寻找关系—抽象模型—求解验证”为主线，通过货物装载、杠杆原理等实例，培养学生用数学眼光观察（识别乘积定值关系）、数学思维推理（推导函数关系）、数学语言表达（列写解析式）的核心素养。课堂小结归纳建模步骤与易错点，典例和真题结合，助力学生掌握建模方法，也为教师提供结构化教学流程与丰富素材。

27.3实际问题与反比例函数 第1课时 建立反比例函数模型 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能准确识别生活中乘积为定值的反比例数量关系，理解实际问题中反比例函数的现实意义；掌握实际问题建立反比例函数模型的基本步骤，能熟练求解反比例函数解析式；能根据实际情境限制条件，正确确定自变量和函数值的取值范围，并利用模型解决简单实际求值问题. 经历“分析实际情境—寻找定量与变量—抽象函数关系—建立模型—求解验证”的完整探究过程，掌握实际问题建模的通用方法，提升信息提取、抽象概括和运算求解能力. 感受反比例函数在生产、生活、工程中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，破除函数学习的抽象感，培养主动用数学解决实际问题的意识，养成严谨的解题习惯. 知识回顾 函数 图象 图象的位置 函数值增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 第一、第三象限 第二、第四象限 k＞0 k＜0 反比例函数的性质 反比例函数解析式的三种形式： 场景 固定不变量 变化的量 场景② 场景① 导入新课 一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样的数量关系？ 1. 两个情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？ 场景① 总路程为600m 场景② 货物总质量（固定） 行走速度x 行走时间y 车辆数x 每辆车装载质量y 场景② 场景① 导入新课 一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样的数量关系？ 2. 变量之间的乘积是否为定值？符合我们学过的哪种函数关系？ 行走速度x×行走时间y=总路程600m x y=600 车辆数x×每辆车装载质量y=总质量 xy=总质量 反比例函数关系 3. 能否用含x的式子表示y？ x = x = 导入新课 两个场景均满足“两个变量的乘积为定值”，变量成反比例函数关系. 生活中大量“总量固定、此增彼减”的问题，都可以用反比例函数刻画.今天我们重点学习如何从实际问题中建立反比例函数模型，用函数知识解决生活问题. 场景② 场景① 一段总路程为600m的道路，行走速度x（m/min）和行走时间y（min），二者存在怎样的数量关系？ 一批总质量固定的货物，平均分派给运输车辆，车辆数x（辆）和每辆车装载质量y（t），存在怎样的数量关系？ x = x = 新知探究 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 议一议 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ 分析问题 1. 怎样求出轮船装载货物的总量？ 2.怎样建立起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间 t（单位：h）之间的函数关系？ 3.轮船上的货物不超过6h卸载完毕，怎样求出起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 平均装载速度×装载总时间=货物总量， 平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间， 根据函数的增减性来确定. 得到v关于t的函数解析式. 新知探究 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 议一议 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解:（1）轮船上的货物总量为： 700×9= 6300(t)， ∴ v关于t的函数解析式为： v. 新知探究 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 议一议 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. （1）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t（单位：h）之间有怎样的函数关系？ （2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解: 把t=6代入v， 得v=1050(t/h). 对于函数v=， 当t>0时，t越小，v越大. 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050 t. 对于函数v= ，当t>0时，t越小，v越大，因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 结 小 纳 归 新知探究 探究点1 探究货物装载问题，总结建模通用步骤 1. 审：审题，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 判：判断变量乘积为定值，确定反比例关系； 3. 列：设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 定：结合实际，确定自变量、函数值取值范围. 建模通用步骤 新知探究 探究点2 探究并应用“杠杆原理” 小知识 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 “杠杆原理”简介 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现： 若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡 杠杆原理 新知探究 探究点2 探究并应用“杠杆原理” 议一议 (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 1. 动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？ 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴F关于l的函数解析式:1200×0.5= F• l 2.想使动力F不超过（1）中所用力的一半，怎样求动力臂1至少要加长多少? 结合函数解析式，根据函数的增减性来确定. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. 分析问题 只要求出（1）中所用力的一半F对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 新知探究 探究点2 探究并应用“杠杆原理” 议一议 (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. (1)解：根据“杠杆原理”，得 Fl = 1200×0.5 Fl = 600 ∴F 关于 l 的函数解析式为：F= 　　当 l = 1.5 m 时，F = =400 (N). ∵对于函数F=当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡. ∴ 撬动石头至少需要400N的力. 新知探究 探究点2 探究并应用“杠杆原理” 议一议 (1）动力F（单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少? 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5 m. (2) 对于函数F=，当l>0时，F随l的增大而减小. 由题意得：F=400×=200, 代入F=得： 200= 解得：l==3 (m) ∴若想用力不超过400N的一半， ∴动力臂的长度就应该不小于3m， ∵ 3-1.5=1.5（米） ∴ 动力臂至少要加长1.5 m. 新知探究 探究点2 探究并应用“杠杆原理” 议一议 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 根据“杠杆原理”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，不妨设这个常数为k， ∴F = ， 即 F= ∴动力F是动力臂l的反比例函数. ∵根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小 ∴在使用撬棍时，动力臂越长就越省力. 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 解析: 典例分析 例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/天），完成全部任务所需的天数为y（天）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？ （1）由题意可知：总零件数量固定，可得等量关系： 每天加工数量×加工天数=总零件数，即 xy=1200 ∴y关于x的函数解析式：y=. （2）① 每天加工零件数量不能为0或负数，即x>0； ② 零件为整数个，因此自变量x为正整数； 综上，自变量取值范围：x>0,且x为正整数. （3）已知每天至少加工40个零件，即x=40,将x=40代入解析式： y= = =30 答：需要30天完成任务。 典例分析 拓展追问:若要求工期不超过20天，每天至少需要加工多少个零件？ 例1.某车间需要完成总工作量固定的零件加工任务，总零件数为1200个。设每天加工零件的数量为x（个/天），完成全部任务所需的天数为y（天）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）写出自变量x的取值范围； （3）若车间每天至少加工40个零件，需要多少天完成任务？ 由（1）可知y关于x的函数解析式：y=. 当时，y随x的增大而减小 当y=20时，x=1200÷20=60（个/天） ∴工期不超过20天每天至少需要加工60个零件 20 60 典例分析 例2.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? （1）解：由题意得， ， 整理，得：， 每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得，， 由题意得， 解得， 每天应完成200页． 新知巩固 1.如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3 (不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位:cm2)与漏斗的深h(单位:cm)有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少? 解: (1)由题意得：120= Sh， ∴S= ， ∴S是h的反比例函数. 教材第76页 (2)当S=50 cm2时， =50， 解得： h=7.2 ∵S是h的反比例函数，S越小，h越大 ∴S不超过50cm2 ，漏斗的深至少为7.2 cm. 新知巩固 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元.他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元. (1)y与x有怎样的函数关系? (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元? (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款? 解: (1)由题意，得:y= ， 即y与x的函数关系为： y= （0<x≤36，x为正整数）. (2)将x=20代入y= ，得y= . 所以他平均每月应还款0.6万元. 教材第76页 (3)由题意得y=0. 5万元，代入y= 中得： 0. 5=，解得x=24. ∵y随x的增大而减小 ∴他至少要24个月才能结清余款. 拓展提升 1．反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流I（单位：安培）与电阻R（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． (1)求出函数解析式． (2)当安培时，求出R的值． (3)如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ （1）解：由题意设， ∵当电阻欧姆时， 电流安培， ∴， ∴I与R之间的函数关系式为： ； （2）解：把代入得： ， 解得：（欧姆）； （3）解：∵不得超过10安培， ∴， ∴R的取值范围是：（欧姆）． 真题感知 1．（2025•德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 　　 m． 解：600×1÷1200＝0.5（m）， ∴动力臂是0.5m． 0.5 真题感知 2．（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ 　 　 Pa． 解：设p与V之间的函数关系式为p（k为常数，且k≠0）， 将V＝1.2，p＝20000代入p， 得20000， 解得k＝24000， ∴p与V之间的函数关系式为：p， 当V＝1.5时，p16000， ∴当V＝1.5m3时，p＝16000（Pa） 16000 真题感知 3．（2025·娄底·九年级统考）某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? （1）解：由题意得，， 解得：， 每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得，， 由题意得：， 解得， 每天应完成200页． 课堂小结 （1）模型识别： 实际问题中，两个变量乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系； （2）建模步骤： 审题找定值→判断反比例关系→列写解析式→确定实际取值范围； （3）应用技能： 能利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 知识与技能 课堂小结 （1）数学建模思想： 将生活化的复杂实际问题，抽象为标准化的反比例函数数学模型，用数学方法解决实际问题； （2）对应思想： 数学解析式、变量取值必须与生活实际一一对应，保证结果合理； （3）转化思想： 文字语言描述的数量关系，转化为函数解析式的符号语言. 思想与方法 课堂小结 （1）核心易错： 照搬纯数学函数取值范围，忽略实际情境限制，忘记自变量为正数、整数等实际要求； （2）审题易错： 无法区分题目中的定量与变量，误将变化量当作定值，建模错误； （3）解题易错： 建模成功后，求解结果不检验实际意义，出现负数、小数等不符合生活实际的答案； （4）书写易错： 未将等式整理为标准反比例函数y=的形式，格式不规范. 易错点提醒 课后练习 2.某农业大学计划修建一块面积为2×106m2的矩形试验田. (1)试验田的一边长y(单位:m)关于它的邻边长x(单位:m)的函数解析式是什么? (2)如果试验田的相邻两边长的比为2∶1，那么试验田的两邻边长分别为多少? (2)解：设试验田的相邻两边长分别为2a m，a m. 由(1)可得2a·a=2×106，解得a=103(m)， 所以2a=2×103(m). 因此试验田的两邻边长分别为2×103m，103m. 习题 27.3 课本p80页 课后练习 3.学校食堂一次性购买了3000 kg大米. (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n(单位:kg)有怎样的函数关系? (2)如果食堂平均每天使用大米200 ~250 kg，那么至少多少天后，食堂需再购买大米? 解:(1) (2)当n=200时，m=15； 当n=250时，m=12. 所以至少12天后，食堂需再购买大米. 习题 27.3 课本p80页 课后练习 6.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的容积V(单位:m3)变化时，气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与容积V是反比例函数关系，它的图象如图所示. (1)写出密度ρ关于容积V的函数解析式； 解: (1)由图像得，密度ρ是容积V的反比例函数 设ρ关于容积V的函数解析式为 由图知点A(5，1.98)在函数的图象上， ∴ k=ρV=5×1.98=9.9. ∴密度ρ关于容积V的函数解析式为. (2)当V=9m3时，求二氧化碳的密度ρ. (2)当V=9m3时，=1.1(kg/m3). 习题 27.3 课本p81页 谢谢聆听 $