27.3实际问题与反比例函数（第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题) （教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象在实际问题中的应用，通过物理功的实例导入，知识回顾从生活反比例模型、图像性质到建模步骤，搭建学习支架衔接新知。 其亮点是以数形结合和模型思想为核心，通过力与位移、行程问题等实例，引导学生经历“审题建模-画图识图-用图解题”过程，课堂小结结构化梳理知识与方法，提升学生几何直观和模型意识，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

27.3实际问题与反比例函数 第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题 第二十七章 反比例函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题. 经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力. 通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维. 知识回顾 1.生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？ 2.反比例函数y=(k>0)的图像和增减性是什么？ 压力=压强×面积 两个变量的乘积为定值 总工程量=人数×效率 路程=速度×时间 电压=电流×电阻 函数 图象 图象的位置 函数值增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 第一、第三象限 第二、第四象限 k＞0 k＜0 • • • • • • 知识回顾 3.用反比例函数建模解决实际问题的一般步骤： 实际问题 建立反比例函数模型求解 确定实际问题的解 设 列 写 解 验 答 根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示 由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围 检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结果 写出实际问题的答案，保证解题的完整性 用反比例函数的图象与性质解决实际问题 审 审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系 导入新课 问题：在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 问题条件用函数图像展示，观察图像， 这是什么函数？ 能确定函数解析式吗？ 能通过图像解决函数的变化情况吗？ 很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。 通过图像直观解读实际问题的变化规律. 数形结合 上节课我们通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。 今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律. 5 新知探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 议一议 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 分析问题 1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？ 函数图像过点（10,50）， 即当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m， 此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 新知探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 议一议 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 分析问题 2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？ 由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s=. 3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？ 因为s随着F的增大而减小，可以确定力F范围. 将s=100代入s=，可求F的值, 7 新知探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 议一议 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 规范解答 解:(1)由图可知，函数图像过点（10,50）， ∴当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m， ∴F所做的功：W=Fs=10×50=500(J). 8 新知探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 议一议 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 规范解答 (2)∵ F所做的功W(单位:J)满足：W=Fs ∴当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系. 由(1)可知W=500J，即Fs=500 ∴解析式为：s=. 9 新知探究 探究点1 从函数图象中探究力F所做的功W 议一议 在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 规范解答 (3)将s=100代入s= 得： 100= ，解得：F= 5(N). ∵s随着F的增大而减小， ∴要使物体在力的作用下的位移小于100 m，力F要大于5N. 10 新知探究 探究点2 从函数图象中探究行程问题 议一议 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位: km/ h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 分析问题 1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系? 2.怎样确定t的取值范围 平均速度v=路程（定值）÷行驶全程所用时间t. 根据函数值取值范围看自变量取值范围 由60≤v≤120，结合图像与函数的增减性质确定. 3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？ 根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围. 新知探究 探究点2 从函数图象中探究行程问题 议一议 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位: km/ h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 规范解答 解: (1)∵甲地到乙地的路程为定值，∴vt=定值 ∴结合图像可以用反比例函数描述v与t之间的关系. 由图可知，当t=2时，v=120， ∴从甲地行驶到乙地距离=vt=2×120=240（km） ∴函数解析式：v = . ① 由图像得：60≤v≤120， 当v=60时，代入①得：t=4. ∵平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小， ∴2≤ t ≤4. 12 新知探究 探究点2 从函数图象中探究行程问题 议一议 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位: km/ h)与行驶全程所用时间t(单位:h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 规范解答 (2)由（1）得：v = ∵客车上午8时从甲地出发， 若当天10时40分到达乙地， ∴行驶全程所用时间： t=h= h ， 代入得： = ， 解得：v=90(km/h)； 若当天11时到达乙地， 则行驶全程所用时间t=3h， 代入v = ，解得v=80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小， 所以客车平均速度v的范围是：80 ≤v≤90. 结 小 纳 归 新知探究 探究点2 从函数图象中探究行程问题 1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量； 2. 建立函数关系式，确定反比例关系； 3. 设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式； 4. 结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题. 结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤： 典例分析 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为　 　． (2)求当时，物体所受的压强是　 　． (3)当时，求受力面积S的变化范围． （1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式． （2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强． （3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【分析】 典例分析 例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为　 　 ． (2)求当时，物体所受的压强是　 　． (3)当时，求受力面积S的变化范围． （1）解：设，由图象可知： 点在函数图象上， ∴， ∴； ∴； 注明自变量取值范围 （2）当，； 400 （3）当时， ； 当时，； ∴当时， ． 新知巩固 1.近视眼镜镜片的度数y(单位:度)是关于镜片焦距:x(单位:m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式； 【教材第78页 】 (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 解: (1)设y关于x的函数解析式为y= . 将(0.25，400)代入，得： k=0.25×400=100， ∴近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式为y= . (2)将y=500代入， 得=500，解得x=0.2. ∴其焦距为0.2m. 新知巩固 3.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节.某用电器内置可变电阻R的范围为110～220Ω，电压U为220 V. 已知功率P=，回答下列问题: (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系? (2)这个用电器的功率P的范围是多少? 解: (1) 功率P与电阻R成反比例函数关系，P=. (2) 对于P= ，当R=110时，P=440， 当R=220时，P=220. ∴这个用电器的功率Р的范围为220~440 W. 【教材第78页 】 拓展提升 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ （1）解：开机加热时每分钟上升， 水温从加热到， 所需时间为， 拓展提升 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ （2）解：水温是通电时间的反比例函数， 设水温下降过程中， y与x的函数关系式为：， ∵由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴ ， 解得：， ∴ 水温下降过程中，y与x的函数关系式是． 拓展提升 1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 真题感知 1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 解：根据图象，当R＞9时，I＜4， ∴当电阻R大于9Ω时， 电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A， ∴A符合题意，BCD不符合题意． A (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 真题感知 2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示： 解：（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为, ∵函数图象过点（9，4）， ∴，解得：， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为． （2）解：∵限制电流不能超过， ∴，解得：， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 23 真题感知 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ （1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为，把和代入，得： ，解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为： ， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为，把代入， ∴，∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为： ； 24 真题感知 3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题： (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， ∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里． 课堂小结 （1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围； （2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义； （3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题； （2）模型思想： 提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题； （3）转化思想： 将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题. 思想与方法 课堂小结 （1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支； （2）直接套用纯函数增减性，不考虑实际取值范围，导致结论不符合生活实际； （3）由图像范围解题时，混淆自变量与函数值的增减对应关系，最值判断错误； （4）求解实际问题后，不检验结果是否符合实际意义. 易错点提醒 课后练习 4.在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强p(单位:Pa)是受力面积S(单位:m2)的反比例函数，请填下表: p/Pa 400 300 200 150 120 100 S/m2 0.5 0.6 1 1.2 1.5 1200 1000 600 500 2 3 4 5 6 习题 27.3 课本p80页 5.已知甲、乙两地相距s(单位:km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶全程所用时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是( ). C 课后练习 7.某棉花种植大户准备用4台同型号的大型棉花采摘机采摘600hm2棉花. (1)采摘完该农场棉花所需时间y(单位:天)与每台棉花采摘机的工作效率x(单位:hm2/天)有怎样的函数关系? (2)4台棉花采摘机全部投入工作，每天最多共可采摘60hm2棉花，预计棉花采摘最快可在几天内完成? 习题 27.3 课本p81页 解：（1）∵4台同型号的大型棉花采摘机采摘600hm2棉花 ∴ 4xy=600 解得（x＞0） （2）由（1）得： （x＞0） ∵工作时间y是工作效率x的反比例函数， ∴当x＞0时，工作效率x增大，工作时间y减少 ∵x= 60÷4=15 ∴当x=15时，代入得：y=10 ∴当x ≤ 15时，y≥10 ∴最快可在10天内完成 30 谢谢聆听 $