27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数实际应用，通过拉面制作情境导入，结合港口卸货、杠杆原理等实例，搭建从生活现象到数学建模的学习支架，帮助学生掌握实际问题中反比例关系的分析与求解。 其亮点在于以情境化问题链驱动教学，引导学生用数学眼光观察生活，通过运输货物、销售利润等实例培养数学思维与模型意识，当堂检测和举一反三强化应用能力。学生能提升问题解决与建模能力，教师可借助完整教学流程高效开展教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第27章 反比例函数 27.3 第1课时 利用反比例关系解决实际问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/22 27.3第1课时 利用反比例关系解决实际问题专项练习 核心考点：实际问题中的反比例函数建模、利用反比例函数求解实际最值、取值范围、生活场景应用计算（满分100分） 一、选择题（每题6分，共30分） 1. 路程一定时，行驶速度\(v\)与行驶时间\(t\)的函数关系是（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 2. 已知长方形的面积为24，若长方形的长为\(x\)，宽为\(y\)，则\(y\)关于\(x\)的函数解析式为（） A. \(y=24x\) B. \(y=\frac{24}{x}\) C. \(y=12x\) D. \(y=\frac{12}{x}\) 3. 某工程队完成一项工程的工作总量固定，工作效率\(p\)与工作时间\(t\)成反比例，若效率\(p\)提高，则工作时间\(t\)会（） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 4. 已知压力一定时，压强\(p\)与受力面积\(S\)成反比例函数关系，当\(S=2m²\)时，\(p=10Pa\)，则当\(S=4m²\)时，压强\(p\)为（） A. 5Pa B. 10Pa C. 20Pa D. 40Pa 5. 购买总价固定的文具，单价\(x\)（元）与购买数量\(y\)（件）成反比例，下列说法正确的是（） A. 单价越大，购买数量越多 B. 单价越小，购买数量越多 C. 单价和数量成正比 D. 数量固定不变 二、填空题（每题6分，共30分） 6. 一定质量的气体，压强\(p\)与体积\(V\)成反比例，若函数解析式为\(p=\frac{80}{V}\)，则气体质量固定的常量为________。 7. 已知矩形面积为定值36，矩形宽\(y\)与长\(x\)的函数关系式为________。 8. 运输货物总量一定，货车载重为\(x\)，运输次数为\(y\)，若\(xy=120\)，则货物总质量为________吨。 9. 已知电费总额固定，用电量与电价成反比例，若电价为0.5元/度时，用电量200度，电价调整为0.4元/度时，用电量为________度。 10. 圆柱体积一定时，圆柱的底面积\(S\)与高\(h\)成________比例关系。 三、解答题（共40分） 11.（12分）某工地需要运送总量为60吨的砂石，现有若干货车运送，设每辆货车载重为\(x\)吨，所需车辆数为\(y\)辆。（1）求\(y\)与\(x\)的函数解析式；（2）若每辆货车最大载重为5吨，至少需要多少辆货车？ 12.（14分）某商店销售一批纪念品，销售总利润固定为480元，设单件利润为\(x\)元，销售数量为\(y\)件。（1）写出\(y\)关于\(x\)的反比例函数解析式；（2）若单件利润最低为8元，最多可销售多少件纪念品？ 13.（14分）一定质量的物体，密度\(\rho\)与体积\(V\)成反比例函数关系，当体积\(V=10cm³\)时，密度\(\rho=2g/cm³\)。（1）求密度\(\rho\)关于体积\(V\)的函数解析式；（2）当体积增大到\(20cm³\)时，物体的密度是多少？ 参考答案与解析 1.B 解析：路程\(s=vt\)，路程一定时，\(v=\frac{s}{t}\)，符合反比例函数定义。 2.B 解析：矩形面积=长×宽，即\(xy=24\)，变形得\(y=\frac{24}{x}\)。 3.B 解析：反比例函数中\(k>0\)时，一个量增大，另一个量随之减小。 4.A 解析：设\(p=\frac{k}{S}\)，代入\(S=2、p=10\)得\(k=20\)，解析式为\(p=\frac{20}{S}\)，代入\(S=4\)得\(p=5\)。 5.B 解析：总价固定，单价与数量成反比例，单价越小，购买数量越多。 6.80 7.\(y=\frac{36}{x}\) 8.120 9.250 10.反 11.解析：（1）由总吨数=载重×车辆数，得\(xy=60\)，解析式为\(y=\frac{60}{x}(x>0)\)；（2）代入\(x=5\)，得\(y=12\)，至少需要12辆货车。 12.解析：（1）总利润=单件利润×销售数量，得\(xy=480\)，解析式为\(y=\frac{480}{x}(x>0)\)；（2）\(x=8\)时，\(y=60\)，最多可销售60件。 13.解析：（1）设\(\rho=\frac{k}{V}\)，代入数据得\(k=20\)，解析式为\(\rho=\frac{20}{V}(V>0)\)；（2）\(V=20\)时，\(\rho=1g/cm³\)。 （字数：1122） 情境导入 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点) 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点) 学习目标 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？ 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？ 情境导入 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度  (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间  (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 例1 分析：根据“平均装载速度×装载总时间 = 货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量； 再根据“平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9=6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 探究新知 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕.那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 例1 解：(2)把 t=6 代入，得 1 050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数，当t >0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物. 探究新知 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系. 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数. 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. 解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性. 实际问题 建立反比例函数模型求解 实际问题的解 自变量的取值范围一般有两个方面的限制： 一是解析式本身的限制， 二是实际问题的具体要求. 探究新知 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （1）写出v关于t的函数解析式. （2）若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？ 跟踪训练 解：（1）v关于t的函数解析式为v=. （2）把v=80代入v=，得80=， 解得t=5. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A地匀速行驶到B地至少要5 h. 探究新知 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （3）若此人上午7点开车从A 地出发，他能否在上午10点40分之前到达B 地？请说明理由． 跟踪训练 解：（3）把v=100代入v=，得100=， 解得t=4. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴速度不超过100 km/h的条件下，此人从A地出发至少用4 h才能到达B地. 又∵从上午7点到上午10点40分，间隔3 h，3 h＜4 h， ∴他不能在上午10点40分之前到达B地． 探究新知 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）. 探究新知 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 例2 解： (1) 根据“杠杆原理”，得 1 200×0.5. 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l=1.5 m 时，400 (N). 对于函数 ，当 l=1.5 m 时，F=400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 探究新知 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 例2 解： (2) 对于函数 F，当 l >0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F200 代入 ，得 200 l3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 探究新知 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 思考 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 探究新知 1.当电压为220V时(电压＝电流×电阻)，通过 电路的电流I(A)关于电路中电阻R(Ω)的函数解析式 为(　A　) A. I＝ B. I＝220R C. I＝ D. R＝220I A 当堂检测 2. 若购买 x kg 的水果需要 24 元，则购买该水果 的单价 y (单位：元/kg) 与 x 之间的关系式是(　A　) A. y＝ (x＞0) B. y＝ (x为自然数) C. y＝ (x为整数) D. y＝ (x为正整数) A 当堂检测 3. 收音机刻度盘的波长 λ 和频率 f 分别是用米和 千赫兹为单位标刻的，波长 λ 和频率 f 满足函数解析 式 f＝，这说明波长 λ 越大，频率 f 就越 ⁠. 4. 在一定范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为 800 t 时，市场供应量为 10000 t，则当市场供应量为 16000 t 时的需求量 是 ⁠. 小　 500t　 当堂检测 5. [教材变式]某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 m3的生活垃圾运走. (1)假如每天能运 x m3，所需时间为 y 天，写出 y 关于x 的函数解析式； 解：(1)∵xy＝1200，∴y＝(x＞0). (2)若每辆拖拉机一天能运 12 m3，则 5 辆这样的拖拉 机要多少天才能运完？天才能运完. 解：(1)∵xy＝1200，∴y＝(x＞0). (2)x＝12×5＝60，代入函数解析式得 y＝＝20. 答：5 辆这样的拖拉机要 20 天才能运完. 当堂检测 1. 返回 [河北模拟一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为P＝ ，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为(　　) A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 D 举一反三 17 返回 2. 四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.分别往这四个容器中注入300 cm3的水，分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系为(　　) C 举一反三 返回 3. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)与液体的密度ρ(单位：g/cm3)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量ρ，h的部分对应值如下表： ρ/(g/cm3) 2.5 4 5 8 10 h/cm 8 5 4 2.5 2 (1)求h关于ρ的函数解析式； 解：由题表可知ρ与h的积是定值，即ρh＝20， ∴h关于ρ的函数解析式为h＝ 举一反三 返回 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，浸在液体中的高度为25 cm，求该液体的密度． 解：把h＝25代入h＝ 解得ρ＝0.8. 答：该液体的密度为0.8 g/cm3. 举一反三 返回 4. 已知杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为5 000 N和0.2 m，动力臂为4 m，则撬动这块大石头至少需要的动力是(　　) A．200 N B．250 N C．300 N D．350 N B 举一反三 某城市引入了智能交通管理系统，通过实时监控交通流量来优化信号灯的配时．假设某条主干道的交通流量Q(单位：辆/时)与车辆的平均速度v(单位：千米/时)之间的关系可以用反比例函数来描述．已知当车辆的平均速度为40千米/时时，交通流量Q为1 200辆/时．如果交通管理部门希望将交通流量控制在1 000辆/时以内，车辆的平均速度应至少达到________千米/时． 返回 5. 48 举一反三 一工程中，工程队工人每天需要挖掘20吨土，整个工程完毕恰好用了6天． (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位：吨/天)与回填天数t之间有怎样的函数关系？ 返回 6. 解：设总工作量为k吨，根据已知条件得k＝20×6＝120， ∴v关于t的函数解析式为v＝ 举一反三 (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土？ 返回 举一反三 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝300x . ，得25＝. . 解：∵v＝，∴t＝， ∵t≤4，∴≤4，解得v≥30. 答：平均每天至少要回填30吨土． $