第26章 二次函数——抛物线与几何定值 题集 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以递进式三问结构整合解析式求解、动点探究及定值证明，强化知识逻辑与解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与几何综合|5题，含解析式、动点、定值等典例|三问递进，基础求解→探究验证→综合应用|函数解析式→几何性质→动态问题，体现模型观念与推理能力|

抛物线与几何定值【题集A】 1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线 上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PFLBC于点F.点D、的坐标分别为(O,6), (-4,0),连接PD,PE,DE B B F D E 备用图 (1）请直接写出抛物线的解析式. (2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对 于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由 (3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PD的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多 个“好点”，且使△PD的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的 个数，并求出△PD的周长最小时“好点”的坐标 【答案】（1）地物线解析式为y=- 0+8 (2)正确.理由见解析 (3)"好点”共有11个，且△PD的周长最小时，"好点”的坐标为(-4,6) 【解析】(1)·.边长为的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A ·C(0,8),A(-8,0) 设抛物线为y=ax2+c, l64a+c=0:解得a=-音 则 c=8 c=8 e2+8 故抛物线解折式为y=一 (2)正确.理由如下： 设Pg,日2+8.则PF=8-(82+8)=百2 PD2=(-+6-(5+8 =+0+4=(2+2 2 .PD= +2 PD-PF=,2+2-82=2 8 ∵猜想正确 (3)△PD5积g=-女2-3z+4=-e+驴+18， 由-8≤x≤0，知4≤S≤13 S的整数值有10个. 由函数图象知，当S=12时，对应的“好点”有2个. .“好点”共有11个 在点p运动时， D大小不变， PE与PD的和最小时，△PD的周张最小. .PD-PF=2, PD=PF+2 .PE+PD=PE+PF+2. 当P,E,F三点共线时，PE+PF最小。 此时P,的横坐标都为一4， 指✉=一代入g=-名女2+8，得影=6， ∴P(-4,6),此时△PD的周张最小，且△PDE的面积为12，点P恰为"好点”· 综上，"好点”共有11个，且△PD的周长最小时，“好点”的坐标为(-4,6) 【标注】【知识点】二次函数与动点问题 2.如图，直线划=-x+3与轴、轴分别交于点B、C,抛物线划=(c一1)2+经过点B、C,并 与轴交于另一点A. .B 备用图 (1)求此抛物线及直线AC的函数表达式. (2)垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x1,1),Q(x2,2),与直线BC交于点N(c3,）,若 3<1<x2,结合函数的图象，求⑦1十x2十3的取值范围 (3) 2 经过点D(0,1的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N.当直线m绕点D旋转时， √10 ，2 是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由， 【答案】 AM y49+3 (1)1<1+2+g<2 (2)1 10 2 AM AN 3. (3) 【解析】 y=-榜值 y B C （B3,庫线C(0,3) 与轴、 轴分别交于点、， (3,0)C庖3) y=a(x-1)2+k 将 ∫4a+k=0代入 a=-1 中 得： a+k=3 解 k=4 y=-(e-1)2+4=-x2+2x+3 ·抛物线的函数表达式 =ba+c(b≠0) 设直线的函数表达式 将，0C03代 y=ba+c中， 「-b+c=0 b=3 得：1c=3 解得：c=3 直线AC的函数表达式为y=3x+3 (2)1=2, .1+c2=2 当直线经过点Q时，1=花3=0，x2=2,此时1十x3十x2=2: 当直线2经过顶点(1,4)时，，直线BC的解析式为y=一x+3, 8=-1'1=2=1y此时1+3+2=1 当 3<x1<x2 时，直线在直线，与直线，之间（如图1）， (3)设直线1市释洁玖<2 当时，有 y=nx+1(n≠0) 解特0 nx+1=0 点 的巫标瓶 N 3 AN=-1+1=n-1,2 2n m n AN=n-Ii 联立直线m与直线AC的函数表达式成方程组， 2 得： y=nx+1 (y=3x+3解得： n-3 3m-3' y= n-3 2 ∴点M的坐标为 3n-3 n-3'n-3/ 过点M作MCL轴，垂足为C,如图际，则AG=、2 +1= n-1 -3 n-3 MG/y轴， ∴.△MAG∽△CAO .AM AC AG-AO =10 AM =V10AG. .√10√10 1n-3 AM V10AG=AG n-1' √10， ,2.=n-3+2m.=3n-3 AM+AN=n-1+n-1=n-1 3 、D 、 、N B 图2 【(标注】 【知识点】二次函数与相似三角形结合 3.如图所示，直线：y=3:-3与轴交于点A,与轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折，点A落到点 C,抛物线过点B,C和D(3,0)! (1)求直线BD和抛物线的解析式. (2) 4 若点M是抛物线上一动，点，是否存在这样的点M使△BDM是以BD为直角边的直角三角 形，若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由 (3)若点P -2, 3) 是对称轴上一点，过点P的任一条与轴不平行的直线与抛物线交于两点N N2 说明P·NP是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由. NiN2 【答案】(1)直线BD的解析式为y=一x-3,抛物线的解析式为=-x2-4x一3. (2)M的坐标为(-2,1)或(-5，-8)： （3)是定值，定值为 4 【解析】（1)“y=3x-3与轴交于点A:与轴交于点B 4L,0y'B0,-3》设直线BD的解折武为y=位+b 把BD两点坐标带入， 了-3k+b=0,解得∫k=-1, 1b=-3 1b=-3 ·直线的解析式 BD 抛物线经过点 y=-x-3 设抛物线的解折3,0)C-1,0) 把点 代入得=a(+1)(+3) 抛橱的解折式为a=一1 (2)当 吨=-x2-4x-3 .'∠MDB=90 直绒ML的解析式为 直线BD的解析式为，=二x一3 由DM y±x+3 解得=父+3或 y=-x2-4x-3 点了的唑标为了x=2 当(y=0 的，=1 M ,1的解析式为 首线BD时解式为 由BMLBD B解得 域-心-3 BM 点的标为 y=正述 坐标咨 或 =01 (3)理电=x2-4如-3 y=-31g=-8 设过谏 (的直练为 M (-2,1)(-5,-8) 则 P-2 y=ka+b }-2k+6Ma）e购) 5 b-2+ 过点P线为g=起+2张+ 由g=@十2+是，得到2十k+4z+2k+5=0, ly=-x2-4-3 4 +=-k-4购=2k+ =a+2张+物=+2k+ 3 ·班-2=k(c1-2) MM=√（色1-22+(-h=V1+2.V(e1-22=√1+2，Ve1+22-412=1+ 又 MP-e+2驴+a-是=Va+球+a1+2=V+.Va+r 同理可得N2P=√1+2.√(2+2)2， MP.P=a+的Va+2rea+29-a+的√(2k+5-2-8+°=+的 NP.NoP_1 NiN2 【标注】【知识点】二次函数与动点问题 4.抛物线划=x2-2mx-3m2(m>0)与轴交于A,B两点，A点在B点左边，与轴交于C点， 顶点为M: (1)当m=1时，求点A,B,M坐标. (2)如图(1)的条件下，若P为抛物线上一个动点，以AP为斜边的等腰直角三角形的直角顶点 Q在对称轴上，(A,P,Q按顺时针方向排列)，求P点坐标. 6 图1 (3)如图2，若一次函数蜘=kc十过B点且与抛物线只有一个公共点，平移直线划=kx+b,使 其过抛物线的顶点M,与抛物线另一个交点为D与轴交于F点，当m变化时，求证： DF:MF是定值. 图2 【答案】（1)A(-1,0),B(3,0),(1,-4) （2)点坐标为(3,0)或(-2,5). (3)证明见解析， 【解析】(1)当m=1时，抛物线解析式为y=2-2c-3, 当y=0时，x2-2x-3=0,解得1=-1，x2=3,则4(-1,0)，B(3,0) …y=(e-1)2-4, M点坐标为(1，-4) (2)抛物线的对称轴为直线=1，直线=1交轴于V,设P(化，t-2t-3),Q(1,a), 作PHL直线=1于点H,如图， B 图1 △APQ为等腰直角三角形， :PQ=AQ.∠AQP=90 .∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°， ∴.∠PQH=∠QAN, 在△PQH和△QAN中 I∠PHQ=∠ANQ ∠PQH=∠QAN, PQ=QA △PQH△QAN H=AN'PH=QN' 即 -2t-3-0=21-t=0 容2t-3-(1-利弱 点标谢-6或0 =3t2=-2 (3)P (3,0)(-2,5) 则 当=x2时2mx-3m2=(z-m)2,解辑2M(m,-4m2),则 把y=0代识-2mc-3绿2=0 31解得mx2=3m B(3m0) 则直练m0) y的解标或表魂十b=0 b=-3mk y=kx+b y=ka-3mk E 2. 2 P ·.一次函数y=kx一3mk与抛物线只有一个公共点 方程x2-2mx-3m2=kz-3mk有相等的实数解， 方程整理为x2-(2m+)x-3m2+3mk=0, ·△=(2m+k)2-4(-3m2+3mk)=0: .·k=4m ·一次函数=kz+b表示为y=4mx-12m2 设直线划=kc十b平移后的解析式为y=4mx十n, 把M(m,-4m2)代入得_-4m2=-4m2+n,解得n=-8m2, 即经过点的直线解析式为y=4mx-8m2, 当y=0时，4mz-8m2=0,解得r=2m则F(2m,0. 解方程组y=22-2mc-3m 得x=n -4m1mD(5m,12m) 或x=5m y=4mx-8m2 作AG⊥x轴于E,MG/x轴，它们相交于点G,如图2 .EF//MG, DE DE 12m2 FM EG 4m2 =3 【标注】 【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题 5.抛物线划=ax2+c与轴交于A、B两点，顶点为C,点P为抛物线上，且位于轴下方. (1)如图，若P(1,-3).B(4,0) A ①求该抛物线的解析式 ②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标 OE+OF (2)如图，已知直线PA、PB与轴分别交于E、F两点.当点P运动时， OC 是否为定 值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由 E F ① 9 【答案】 y= 5 1)01-3)46 20E+OF或 (2) OC 是定值，等于. 【解析】 OP(1,-3)B(4,0)y=ax2+c (∫64将c=0 代入 得 la+c=-3 1 a= 解得 16 c=- 5 抛物线的解析式为： 5 方法一： 由 LDPO=ZPOBDP//OB 得 D与P关于对称，P(1,-3得D(-1,-3) 如图，：名侧，即图中D2,则∠D2P0=∠POB, 延长PD2交轴于Q B D DC 则Q0=QP, 设Q(g,0),则(g-1)2+32=g2, 解得：q=5, Q60叭p0y=-号 4 315 再联立y= 41 2-i6 1 得： 5 x=1 11 胃的坐标为6 或 1127 方法：如图，（-1，-3)（4，-6) y A H B/G> D DC P 当点D在OP左侧时， 10 ∠DPO=∠POB P//OB 得P P(1,-3) 头于轴对称 得DOP: PD x G 当丑OB右时，=交轴亚点3. 仡DPO=南B则 PG=OG 0G=x·PG=xHG=x-1 设t△PGH则2=(e-12+32·2=5 在c5,0 中，由 ,得 315 G 直线 时 4 4， 11 y= 一 4∫1=1 2= 解方细=之 16得劲=-3 27 2=一 16 .P(1,-3) D0. 27 :点D的坐标1，-3)或4，一16 1127 (2)方法-：设3(b,0),则4(-b,0)有2+c=0, 2=- a 过点(o,0)作PHLAB a号+e 有 △PAH∽△EAO 则OEPH即OE 一0' OA HA b xo+b OE= -byo 同理得0》十6。 PH OB=BH OF 一0 .b = b,-0,则 0F= 一byo ，1 b-xo O+oF=-b0(o+b0 11 -2620 -2.(C)0 OE+OF= a 2-x02 -_0-c =-2c a a 0c=-c OE+OF'-2c =2 、O0 OE+OF -c OC 是定值，等 OE+OF 方法二：点运动时， OC 是定值，定值2， 理由如下： 伊Q⊥AB于Q点， F 设P(m,am2+c）,A(-t,0),B(t,0), 则t+c=0'c=-at2, PQ//OF .PQ BQ OF -BO OF= PQ·BO -(am2+c)t (am2-at?)t BQ t-m m-t amt at? 同理 E=-amt+at2 0E+0F=2at=-2c=20C OE+OF 方法丑C设【 圣标为 ,则 的解析式 P (x0,0)0<0 AP y= Yo Yo =十 「c 的解析计为a a BP yo 0 y= c a 0一 所以的坐标为 的坐标为/ E 所以 co+ OE+OF OC 12 Yo 0 0+V a a -C 2y0 azo2+c 由于P在抛物线上， 所以有%0=ac02+c, OE+OF 代入得 OC =2,为定值 【标注】 【知识点】二次函数与相似三角形结合 13 1. 已知抛物线与直线交于、两点，交轴于点，直线交轴于点． （ 1 ）若为抛物线顶点，且，求的值． （ 2 ）连接，，若点在第二象限，，求点的坐标． （ 3 ）若、均在轴上方，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为 、，当取某一确定值时，对于任意的的可能取值， 的值恒为定值，求此时和 的值． 2. 如图，已知抛物线 的顶点为，且经过点 （ 1 ）求顶点的坐标．． y x O 图 （ 2 ）若是抛物线上且位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． （ 3 ）如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 3. 已知二次函数（ ，c ），与轴交于、两点，是线段（不含端点）上 任意一点，轴交抛物线于点 ，，交直线于点，问当、有何数量关系时（只写一种情况即可），的周长为定值，并求出该值（用表示）． 4. 已知抛物线 与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，设点 ，若 是抛物线对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不 平行的直线交抛物线于明理由．， 两点，试探究 是否为定值？请说 5. 如图，已知抛物线的顶点为，且经过点 ． y x O y x 图 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ） 在对称轴左侧的抛物线上存在一点，使得，求点坐标． （ 3 ） 如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于、 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． $ 1. 如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点（含端点），过点作于点．点、的坐标分别为， ，连接，，． 备用图 （ 1 ）请直接写出抛物线的解析式． （ 2 ）小明探究点的位置发现：当点与点或点重合时，与的差为定值．进而猜想：对于任意一点，与的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由． （ 3 ）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出的周长最小时“好点”的坐标． 2. 如图，直线 与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点． C M A D N O B 备用图 （ 1 ）求此抛物线及直线的函数表达式．C D M A N O B （ 2 ）垂直于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若 ，结合函数的图象，求的取值范围． （ 3 ）经过点的直线与射线、射线分别交于点 、．当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由． 3. 1 学科网（北京）股份有限公司 如图所示，直线：与轴交于点，与轴交于点，把沿轴翻折，点落到点 ，抛物线过点，和． （ 1 ） 求直线和抛物线的解析式． （ 2 ） 若点 是抛物线上一动点，是否存在这样的点 使是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由． （ 3 ） 若点 是对称轴上一点，过点的任一条与轴不平行的直线与抛物线交于两点 ， ，说明 是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 4. 抛物线（）与轴交于，两点，点在点左边，与轴交于点，顶点为 ． （ 1 ）当时，求点，， 坐标． （ 2 ）如图（ ）的条件下，若为抛物线上一个动点，以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点 在对称轴上，（，，按顺时针方向排列），求点坐标． 图 （ 3 ）如图，若一次函数过点且与抛物线只有一个公共点，平移直线，使其过抛物线的顶点 ，与抛物线另一个交点为与轴交于点，当变化时，求证： 是定值． 图 5. 抛物线与轴交于、两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方． （ 1 ）如图，若、， A O B C 求该抛物线的解析式． 若是抛物线上一点，满足，求点的坐标．1 2 （ 2 ） 如图，已知直线、与轴分别交于、两点．当点运动时， 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． A O B E P C F $ 1. 已知抛物线与直线交于、两点，交轴于点，直线交轴于点． （ 1 ）若为抛物线顶点，且，求的值． （ 2 ）连接，，若点在第二象限，，求点的坐标． （ 3 ）若、均在轴上方，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为 、，当取某一确定值时，对于任意的的可能取值， 的值恒为定值，求此时和 的值．（ 1 ） ， ． （ 2 ） ． （ 3 ）恒定值为 ． （ 1 ）若 得： 时： ，即为： ，代入 上 ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， 或 ． 故答案为： ， ． （ 2 ）由 、 得： ， ，∴ ， 设 ∴ ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ，易知： ， ， ∴ ， ∴ ∴ （舍）或 ， ， 故答案为： （ 3 ）设 ∴ ． 、 ，则 ， ， ，而 ， 其中： ， ， ∴ ∴ ∴ 此时： 恒为定值， ， ， ． 故答案为：恒定值为 ． 【知识点】二次函数与相似三角形结合 2. 如图，已知抛物线 的顶点为，且经过点． y x O 图 （ 1 ）求顶点的坐标． （ 2 ）若是抛物线上且位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标． （ 3 ） 如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．图 （ 1 ） （ 2 ） ． 的最大值为 ， ． （ 3 ）是 ；定值为 ． （ 1 ）把 代入 得： ，解得 ， ∴ ， ∴顶点 的坐标是 ． （ 2 ）∵直线 的解析式为 ，过点 作 轴交直线 于点 ，故设 ， ， y O x ∴ ， ∴ ， 当 时， 的最大值为 ．此时 ， ∴ ． 故答案为： ． （ 3 ）∵直线 的解析式为 ， ∴可设新的抛物线解析式为 ， 联立 ， ∴ ∴即 ∴ ， ， ， 、 两点间的横坐标的差为 ， ． 故答案为：是 ；定值为 ． 【知识点】二次函数与动点问题 3. 已知二次函数（ ，c ），与轴交于、两点，是线段（不含端点）上 任意一点，轴交抛物线于点 ，，交直线于点，问当、有何数量关系时（只写一种情况即可），的周长为定值，并求出该值（用表示）． ． 设 ，则 ， ， ， ， 若要 则可： 下面验证：当 ， 为完全平方式，参数未知， 、 重构解析式， ， ，即 时， 是否为定值． ， ， ， ，∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 【知识点】二次函数与动点问题 4. 已知抛物线 与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，设点 ，若 是抛物线对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不 平行的直线交抛物线于明理由．， 两点，试探究 是否为定值？请说 是定值． 要使 的周长取得最小， 只需 因为点 与点 最小连接 交 于点 ， 关于 对称， 根据轴对称性质以及两点之间线段最短， 可知此时 令则 ∴ ∵ 最小． 中的 ， 或 ， ， ， ∴直线 ∴ 解析式为 ． ， 令过 的直线 解析式为 ， 则 ∴ ， 则直线 的解析式为 ． 由 ， 得 ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ． ， ， ， ， 同理 ∴ ， ， ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 5. 如图，已知抛物线的顶点为，且经过点 ． y x O y x 图 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ） 在对称轴左侧的抛物线上存在一点，使得，求点坐标． （ 3 ） 如图，将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于、 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 3 ）在抛物线平移的过程中，线段 的长度是定值， ． （ 1 ）∵抛物线 ∴代入得： 经过点 ， ， ∴ ∴ （ 2 ）过 ， 上一点 于 ． 作 ， ， 于 ,过 作 轴的平行线 ，过 作 于 ,过 作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线 联立得： 为等腰直角三角形， ≌ ， 、 ， ， ： ， ． y x O （ 3 ）在抛物线平移的过程中，线段 的长度是为定值， ∵直线 的解析式为 ， ∴可设新抛物线为 ，联立得新抛物线与 ∴ ∴ 即 ∴ ， 得： ， ， ， ， ， ， 、 两点横坐标的差是常数 ， ， 、 两点的纵坐标差为常数 ， ∴在抛物线平移的过程中，线段 的长度是定值． 【知识点】二次函数与等腰三角形结合 $ 8 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线两点，并与轴的正半轴交于点．y x O 为常数)的图象与轴交于点， 为常数，且 )经过，( ( （ 1 ）求的值及抛物线的函数表达式 （ 2 ）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于 ， 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．（ 1 ） ． ． （ 2 ）是定值为 ．理由见解析． （ 1 ）将 （ 2 ）要使 如答图， 代入 的周长最小，只需 中得： 最小即可． ，解得 ． y x O 连接 交 于 点，因为点 最小（ 、 关于 对称，根据轴对称性质以及两点之间线段 最短，可知此时 最小值为线段 的长度）． ∵ ， ∴直线 解析式为 则直线的解析式是： ， ∵ ， ， ∵ ，∴ ，即 ． 令经过点 的直线为 ，则 ，即 ， 联立化简得： ， ∴ ∵ ， ， ． ， ∴ ． 2. 如图，已知直线与抛物线 交于点．图 根据两点间距离公式得到： 又 同理 ∴ ∴ ∴ ， 为定值． 【知识点】二次函数与轴对称问题 （ 1 ）求直线的解析式和线段的长度． （ 2 ）点为抛物线第一角限内的动点，过点作直线，交轴于点 （点 不重合），交直线于点，再过点作直线的垂线，交轴于点．试探究：线段与线段的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值．如果不是，说明理由． （ 3 ）如图，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点不重合），点 是轴正半轴上的动点，且满足，求出点坐标，并探究，在什么范围时，符合条件的点的个数分别是个，个． 图 （ 1 ） ， ． （ 2 ）是，定值为 ． （ 3 ） ， ①当 时， 点有 个， ②当 时， 点有 个． （ 2 ） （ 1 ）把点 代入 得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 是一个定值． 如图 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ， ①当 与 重合时，显然 与 重合， 此时 ， ②当 与 不重合时， ∵ ， ， 不妨设点 ， 分别在 ， 轴的正半轴上， ∴ ． 图 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 当点 、 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得： ． （ 3 ）如图 ，延长 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 图 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设点 作 于点 ，则 ， ∴ ，即 （舍去）， ， ∴ ∴ ∴在 ∵ ∴ ∴ ∴设 由 ， ， ， ， ， 与 中， ， ， ， ， ，则 （ ）， 得 ， ∴ ， ∴ （ ）， ∴顶点为 当当 ∴当 当 ， 时， ， 点有 个， 时，任取一个 的值都对应着两个 值， 点有 个， 时， 点共有 个， 时， 点有 个． 【知识点】二次函数与相似三角形结合 3. 如图，为直角三角形， ，，点，在轴上，点坐标为 ，线段与轴相交于点，以为顶点的抛物线过点，． （ 1 ）求点的坐标（用表示）． （ 2 ）求出抛物线的表达式． （ 3 ）设为抛物线上点至点之间的一个动点，连接并延长交于点，连接并延长交 于点，证明：的值为定值． （ 1 ）点 的坐标为 ． （ 2 ）抛物线的表达式为 ． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）略． （ 2 ）略． （ 3 ）如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．设点 的坐标为 ，则 ， ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ∽ ， 从而 ， 即 ， 得 ． ∵ ， ∴ ∽ ， 从而 ， 即 ， 得 ． ∵ ， ∴ ．所以 的值为定值． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 4. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点． （ 1 ）直线以及该抛物线相应的函数表达式分别是 ， ． （ 2 ）如图，点 是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点 作轴的平行线与直线交于点，求 的最大值．y x （ 3 ）如图，过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．y x （ 1 ） （ 2 ） ; ． （ 3 ） ．理由见解析． （ 1 ）设直线 的解析式为 ，由题意可得 ，解得 ，故直线的解析式为 ．∵抛物线顶点坐标为 ，∴可设抛物线解析式为 ．又抛物线经过点 ，∴ ，解得 ．∴抛物线 解析式为 ． （ 2 ）设 ， ，则 的横坐标为 ，纵坐标为 ， ∵ 轴， ∴ ， 得 ∴当 时， 有最大值，最大值 ． （ 3 ）如图，过点 作 轴交 轴于 ， y x 在 中，令 ， 可得 ，解得 或 ， ∴ ， ． 设 ，则 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 同理 ，得 ， ∴ ∴ ∴当点 运动时， 为定值 ． 【知识点】二次函数与动点问题 5. 已知点 在抛物线 ，点 在它的对称轴上，点为抛物线上一动点． （ 1 ）求这条抛物线的函数解析式． （ 2 ）判断是否存在直线，使得线段的长总是等于点到直线的距离，需说明理由． （ 3 ）设直线与抛物线的另一交点为，探究：和这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论． （ 1 ）抛物线的解析式是 ． （ 2 ）存在符合题意的直线 ，理由见解析． （ 3 ）是定值，证明见解析． （ 1 ）由 ， 代入 ，得 ， 把 和点 ∴这条抛物线的解析式是 ，可求得 ． ． （ 2 ）设点 作 于 ，则 ，得 ． ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 易知 ∴ ． ， ． ， 又∵当直线 经过点 ∴存在符合题意的直线 ． （ 3 ）是定值．证明如下： 且与 轴平行时， 即为点 到直线 的距离． 当 轴时， ， ． 当 ∵ ∴ 与 轴不平行时，作 ， ． 于 ， 再依据第（ ）小题的结果，可得 ． 整理上式，得 ． 【知识点】二次函数与动点问题 $ 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线两点，并与轴的正半轴交于点．y x O 为常数)的图象与轴交于点， 为常数，且 )经过，( ( （ 1 ）求的值及抛物线的函数表达式 （ 2 ）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于 ， 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程． 2. 如图，已知直线与抛物线 交于点．图 （ 1 ）求直线的解析式和线段的长度． （ 2 ）点为抛物线第一角限内的动点，过点作直线，交轴于点 （点 不重合），交直线于点，再过点作直线的垂线，交轴于点．试探究：线段与线段的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值．如果不是，说明理由． （ 3 ）如图，若点为抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上（与点不重合），点 是轴正半轴上的动点，且满足，求出点坐标，并探究，在什么范围时，符合条件的点的个数分别是个，个． 图 3. 如图， 为直角三角形， ， ，点，在轴上，点坐标为 ，线段与轴相交于点 ，以 为顶点的抛物线过点，． （ 1 ）求点的坐标（用表示）． （ 2 ）求出抛物线的表达式． （ 3 ）设为抛物线上点至点之间的一个动点，连接并延长交于点，连接并延长交 于点，证明：的值为定值． 4. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点． （ 1 ）直线以及该抛物线相应的函数表达式分别是 ， ． （ 2 ）如图，点 是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点 作轴的平行线与直线交于点，求 的最大值．y x （ 3 ）如图，过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．y x 5. 已知点 在抛物线 ，点 在它的对称轴上，点为抛物线上一动点． （ 1 ）求这条抛物线的函数解析式． （ 2 ）判断是否存在直线，使得线段的长总是等于点到直线的距离，需说明理由． （ 3 ）设直线与抛物线的另一交点为，探究：和这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论． $