3.3 探索与表达规律 课后同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过基础识别、情境应用、综合建模三阶分层，培养抽象能力与推理意识，实现从单一规律到跨情境综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数字/图形规律识别|单选题1-4（等差数列、图形点数）、填空9（符号规律），夯实“观察-归纳”基础| |提升|规律应用与拓展|单选题5-8（密码情境、棋盘米粒）、填空10-13（密文转换、八边形木棒），渗透跨学科情境| |综合|规律建模与运算|解答题16-18（图形点数公式推导、规律与运算综合），培养模型意识与逻辑推理|

3.3 探索与表达规律 课后同步练习2026-2027学年 北师大版七年级数学上册 一、单选题 1．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 2．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 3．《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（  ） A．22粒 B．24粒 C．粒 D．粒 4．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点，……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（   ） A．29 B．301 C．303 D．400 5．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个小等边三角形，第2个图案中有个小等边三角形，第3个图案中有个小等边三角形……，依此规律，则第个图案中小等边三角形个数为 A． B． C． D． 6．下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 7．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 8．一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处…，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，……则第个数是_______（用含的代数式表示）． 10．密码学是研究编制和破译密码规律的一门学科，它与数学有密切关系，我们规定一套“明文”与“密文”的对应规则：将“明文”中的26个英文字母a，b，c，……，z，依次对应“密文”中的自然数1，2，3，…26．若“密文”中的数字x为奇数，则“明文”对应的序号为，如果“密文”中的数字x为偶数，则“明文”对应的序号为．若“密文”中的数字为“26，2，19，7”，则对应的“明文”为______．（小写字母即可） 11．观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 12．用木棒按照如下方式摆图形． 摆1个八边形需要8根木棒，摆20个八边形需要_____根木棒． 13．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：像这样，①若10条直线相交，则交点最多的个数是__________．②若n条直线相交，则交点最多的个数是__________． 三、解答题 14．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第9个算式是________________；第n个算式为________________； (2)根据以上规律解答下题：的值． 15．如图，在钟面上有个数字，如果在某些数前添上负号，可以使个数字之和等于，例如，． (1)请你再写出一种添加负号的方法； (2)想一想，这样的负号至少需添加几个？ (3)以上解题过程中，你是怎么想的？ 16．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 17．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 18．数、形都可以用来表示数量关系．请解决下列问题： (1)如图，用图形________（填序号）可以直观表示等式； (2)对于等式，请画出可以直观表示它的图形； (3)计算：_______，请画出相应的直观图形，并结合图形说明等式成立． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B B B D B 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察数字与数字之间的规律进行推导求解即可． 【详解】解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； …； ∴第n个数：． 2．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字变化的规律，能根据所给图形，发现等式左右两边之间的关系是解题的关键；根据所给图形，发现后面密码与前面表达式之间的关系即可解决问题. 【详解】解：由题知， ∵，，， ∵，，；，，；，，， ∴按此规则，，， ∴. 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了找数字规律，解题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的双倍，即．根据题意找出规律：每一格均是前一格的双倍，所以． 【详解】解：设第n格中放的米粒数是，则： ， ， ， … ， ∴， 即在第12格中所放的米粒数是粒． 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类变化规律，观察图形得出摆第幅图需要圆点的个数为，再求出当时的值即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察题图可知： 摆第一幅图需要4个圆点，即； 摆第二幅图需要7个圆点，即； 摆第三幅图需要10个圆点，即； 摆第四幅图需要13个圆点，即； … ∴摆第幅图需要圆点的个数为， ∴第一百幅图中圆点的个数为． 故选B． 5．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律问题，找到图形变化的规律是解题的关键． 找到图形变化的规律即可求解． 【详解】解：根据图形可得， 第1个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第2个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第3个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第10个图案中小等边三角形的个数为，（个）． 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． 7．【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 8．【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数字类规律探索 【分析】根据跳动规则，分奇数、偶数探索出遵循的基本规律，确定计算即可． 【详解】 解：设点所表示的数是a， 则点所表示的数是， 点所表示的数是， 点所表示的数是， 点所表示的数是， ∴点所表示的数是， ∵点处所表示的数恰好是， ∴， 解得，， 故选：B． 【点睛】 本题考查了数字中的规律问题，根据序号的奇数，偶数分类探索规律是解题的关键． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律问题． 根据已知数据找出规律即可． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 依此类推，第n个数为． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律探索，核心是准确应用题目给定的密文转明文的奇偶对应规则，通过判断每个密文数字的奇偶性，计算出明文对应的序号，再匹配对应英文字母得到结果． 【详解】解：根据题目中密文与明文的转换规则： 密文数字26为偶数，明文对应序号为，对应字母m， 密文数字2为偶数，明文对应序号为，对应字母a， 密文数字19为奇数，明文对应序号为，对应字母t， 密文数字7为奇数，明文对应序号为，对应字母h， 综上，对应的明文为． 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】先观察给出的等式，归纳总结出一般规律，再将所求式子变形，结合规律计算得到结果. 【详解】解：观察已知各式，可得到一般规律：， ∴． 12．【答案】141 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据图形得出规律摆个八边形需要根木棒，即可得出结果． 【详解】解：由图形得： 摆1个八边形需要8根木棒， 摆2个八边形需要根木棒， 摆3个八边形需要根木棒， …， ∴摆个八边形需要根木棒， ∴摆20个八边形需要根木棒． 13．【答案】 45 【知识点】图形类规律探索 【分析】当n条直线都两两相交，且交点不重合时，交点的个数最多，则每条直线都要与其他条直线有1个交点，而两条直线之间的交点只算1个，据此结合图形的规律可得答案． 【详解】解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ……， 以此类推，可知n条直线相交，最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点． 14．【答案】(1)，；， (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，理解数字计算规律，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的规律计算即可； （2）根据材料提示的计算方法将原式拆开，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，第9个算式是，， 第n个算式为，， 故答案为：，；，； （2）解： ． 15．【答案】(1) 解：把四个数看作一组，根据中间两个数的和等于外面两个数的和添负号， 即：， (2) (3) 解：①通过尝试不同数字前添加负号，调整正负数值的和，使所有数字运算后结果为0；例如将数字分组，让正、负部分的和相互抵消，像把和相等的几组数，一组取正、一组取负； ②要使添加负号后和为，则添加负号的数的和应为，然后从较大的数开始尝试组合，找到和为所需最少的数的个数； 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查的知识点为有理数的加减混合运算以及数的和的奇偶性、平衡思想． （）可以把四个数看作一组，中间两个数的和等于外面两个数的和，所以在中间两个数或外面两个数前面添负号就能使这个算式等于； ()因为这个数字的和是，所以要使最终的结果为，添加负号的数的和得是，，所以至少要添加个负号； （）通过分析钟面个数字及利用有理数的加减混合运算规则即可解答； 【详解】（1）略 （2）(2)∵这个数字的和是， ∴要使最终的结果为，添加负号的数的和得是， ∵， ∴至少添加个负号， ； （3）略 16．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 17．【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 18．【答案】(1)② (2) （答案不唯一）．方法一如图①，方法二如图② (3) ，证明：图不唯一，如图③，画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即8、4、2、1、、，该式可以表示为图③中去掉阴影区域（面积为）的面积，即． 【知识点】有理数加法运算律、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的加法，利用数形结合的思想，找规律，作图即可． （1）根据两图形中方格的规律即可得出结论； （2）根据第一问的启发，根据数字有规律画出方格，并涂色区分，作出符合题意的图形即可； （3）画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即8、4、2、1、、，最后剩余面积为，画出图形即可得出结论． 【详解】（1）②中的方格符合， 故答案为：②； （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $