3.3 探索与表达规律 同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过基础识别、变式应用、综合探究三层设计，梯度培养抽象能力与推理意识，适配新授课规律认知与应用巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数字/图形单一规律识别|如单选1数字序列、填空9分数规律，强化符号意识| |提升层|复杂规律与跨情境应用|如单选6图形圆点规律、填空12剪纸计数，发展几何直观| |拓展层|规律建模与综合探究|如解答18“山”字棋子问题，需方程验证，培养模型意识|

3.3 探索与表达规律 同步练习2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 3．如图是一个运算程序的示意图，若输入的x值为81，则第16次输出的结果为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了图书馆的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 5．在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点，……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（   ） A．29 B．301 C．303 D．400 7．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（    ） A．﹣5 B．0 C．5 D．10 8．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 二、填空题 9．按规律填数：，，，，________，． 10．观察下列数字： 按上述数字排列规律，请问第45层的第3个数是__________． 11．我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下，从第二节开始，每一节与上一节的容积差为升．设第一节最顶端一节容积为升，则下三节（第七、八、九节）的容积之和是_____________． 12．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 13．如图所示，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中阴影部分的面积是______． 三、解答题 14．观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ． (2)利用规律简便运算：． 15．如图，在钟面上有个数字，如果在某些数前添上负号，可以使个数字之和等于，例如，． (1)请你再写出一种添加负号的方法； (2)想一想，这样的负号至少需添加几个？ (3)以上解题过程中，你是怎么想的？ 16．在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 17．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 18．如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B C B C D 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察数字与数字之间的规律进行推导求解即可． 【详解】解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； …； ∴第n个数：． 2．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字规律可得，右边的数减去下边的数等于左边的数，而左边的数的绝对值为从1开始的连续的整数，右边的数为从2开始的连续的数的平方，据此即可求解． 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值，数字类规律探索问题，根据题意列式计算后总结规律即可． 【详解】解：输入的x值为81， 第1次输出结果为， 第2次输出结果为， 第3次输出结果为， 第4次输出结果为， 第5次输出结果为， 第6次输出结果为， 第7次输出结果为， …… 从第4次开始，偶数次输出，奇数次输出， ∴第16次输出结果为． 故选：A． 4．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索与应用，根据题意总结出新运算公式是解题的关键．由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， 前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， ． 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝对值的变化规律，再根据规律计算第项对应的数． 【详解】解：∵观察数列， ∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负， 绝对值规律：第项的绝对值为， ∵第项是偶数项，符号为负， ∴第项的绝对值为， ∴表示的数是：． 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类变化规律，观察图形得出摆第幅图需要圆点的个数为，再求出当时的值即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察题图可知： 摆第一幅图需要4个圆点，即； 摆第二幅图需要7个圆点，即； 摆第三幅图需要10个圆点，即； 摆第四幅图需要13个圆点，即； … ∴摆第幅图需要圆点的个数为， ∴第一百幅图中圆点的个数为． 故选B． 7．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】设P0所表示的数是x，根据题意归纳出Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，在根据P10＝0即可求解． 【详解】解：设P0所表示的数是x， 由题意知，P1所表示的数是x+1， P2所表示的数是x+1﹣2， P3所表示的数是x+1﹣2+3， ...， Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n， ∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10， ∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0， ∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0， 即x﹣5＝0， 解得x＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据题意总结归纳出数字间的联系，得出规律是解题的关键． 8．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图形的变化发现规律：第个图案中涂有阴影的小正方形个数为，进而求得第个图案中涂有阴影的小正方形个数． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； ∴第100个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 故选：D． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】分别观察已知数的分子和分母，总结数字的变化规律，再根据规律计算出待填的数． 【详解】解：观察已知数：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数： ， 可得规律：第个数为， ∵待填数为第个数， 将代入，得． 10．【答案】2026 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得到前4层的第2个数，从而得到第n层的第2个数为，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1层的第2个数为， 第2层的第2个数为， 第3层的第2个数为， 第4层的第2个数为， ……， 第n层的第2个数为， ∴第45层的第2个数为， ∴第45层的第3个数是． 故答案为：2026 11．【答案】 【知识点】列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式的计算，根据题意得到第七、八、九节的容积是解题的关键． 根据题意，从第二节开始，每一节与上一节的容积差为升，第一节最顶端一节容积为升，则第七、八、九节的容积分别为、、，求和即可． 【详解】设第一节容积为升，则第二节容积为升，第三节为升，……，第九节为升， 下三节（第七、八、九节）的容积分别为： 第七节：， 第八节：， 第九节：， 其和为： 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 13．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形可知，图①中有个圆，图②中有个圆，图③中有个圆，以此类推，图中有个圆． 分别计算出正方形面积和所有圆的面积之和，利用阴影部分面积等于正方形面积减去所有圆的面积之和进行求解． 【详解】解：图①中，正方形边长为，圆的直径为，半径为 ，阴影部分面积 ； 图②中，正方形边长为，4个圆的直径均为，半径均为 ，阴影部分面积 ； 图③中，正方形边长为，9个圆的直径均为，半径均为， 阴影部分面积 ； 由此规律可知，图中阴影部分的面积均为； 所以图⑩中阴影部分的面积是． 14．【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数乘法的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律， （1）根据5个等式的变化特点可得答案； （2）先整理得，再根据（1）规律计算即可. 【详解】（1）解： . 故答案为： ； （2）解：原式． 15．【答案】(1) 解：把四个数看作一组，根据中间两个数的和等于外面两个数的和添负号， 即：， (2) (3) 解：①通过尝试不同数字前添加负号，调整正负数值的和，使所有数字运算后结果为0；例如将数字分组，让正、负部分的和相互抵消，像把和相等的几组数，一组取正、一组取负； ②要使添加负号后和为，则添加负号的数的和应为，然后从较大的数开始尝试组合，找到和为所需最少的数的个数； 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查的知识点为有理数的加减混合运算以及数的和的奇偶性、平衡思想． （）可以把四个数看作一组，中间两个数的和等于外面两个数的和，所以在中间两个数或外面两个数前面添负号就能使这个算式等于； ()因为这个数字的和是，所以要使最终的结果为，添加负号的数的和得是，，所以至少要添加个负号； （）通过分析钟面个数字及利用有理数的加减混合运算规则即可解答； 【详解】（1）略 （2）(2)∵这个数字的和是， ∴要使最终的结果为，添加负号的数的和得是， ∵， ∴至少添加个负号， ； （3）略 16．【答案】(1) 根据题意可得， (2)55 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 17．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 18．【答案】(1)7；12；17 (2) (3) 不存在，理由：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题． （1）直接数出每个图形的棋子数； （2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示； （3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数． 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $