4.1 指数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数核心知识点，从n次方根的定义、表示及根式性质入手，衔接分数指数幂与有理数指数幂的概念及运算性质，再扩展到无理数指数幂形成实数指数幂体系，构建从具体到抽象的完整知识支架。 资料通过分层题型设计，涵盖根式化简、指数幂互化、运算及条件求值，例题与跟踪训练结合，培养学生运算能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后梯度练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达数量关系的应用能力。

第四章 指数函数和对数函数 4.1 指数 知识点一、n次方根 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示(n>1，且n∈N*) （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根记作. （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，此时正数a的n次方根记作.负数没有偶次方根. 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4.根式的性质 （1）负数没有偶次方根． （2）0的任何次方根都是0，记作＝0. （3）＝a(n∈N*，且n>1)． （4）. 知识点二、分数指数幂和有理数指数幂 1.整数指数幂与分数指数幂的概念 整数指数幂 分数指数幂 正整数指数幂：（n个a相乘，n∈N*） 正数的分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负整数指数幂：（n∈N*） 正数的负分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 规定：0的0次方没有意义； 非零整数的0次方都等于1. 规定：0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念 1.无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2.实数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 题型一：根式的化简与求值 例1.化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 例2.已知－3<x<3，求的值． 跟踪训练： 1.化简下列各式： （1）； （2）(a≤1)； （3）. 2.已知－1<x<2，求的值． 题型二：根式与分数指数幂的互化 例1.将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）(a>0)； （2）(x>0)； （3）(b>0)． 跟踪训练： 1.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； （1）； （2）； （3）（m＞n）； （4）； （5）． 题型三：指数幂的运算 例1.计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 跟踪训练： 1.计算：（1）； （2）． （3）. （4）. 题型四：条件求值 例1.已知，求的值. 例2.已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 跟踪训练： 1.若a＞0，且，求代数式的值． 2.已知，求的值． 3.已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 2.化简的结果为(　　) A.5 B. C. D.－5 3.（多选）下列计算正确的是（　　） A. B.（a3）2＝a5（a＞0） C. D. 4.化简：＝　　 ． 5.(a>0)的值为　　 ． 6.若＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是　　 ． 7.计算　　 ． 8.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 1.若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 2.已知a＞0，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 3.下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m2＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 4.若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 5.已知ab＝－5，则的值是(　　) A． B．0 C． D． 6.已知2a＝5b＝m，且，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 7.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 8.计算：　　 ． 9.若x>3，则＝　 ． 10.已知x＞0，化简：　　 ． 11.当有意义时，化简的结果是　 ． 12.(a>0)等于　 ． 13.计算或化简： （1）计算：。 （2）计算：． （3）化简：. （4）化简：． 14.已知3，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）a2﹣a﹣2． 15.化简：（1）(x<π，n∈N*). （2）. 16.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，，求a，b，c的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数和对数函数 4.1 指数 知识点一、n次方根 1.a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示(n>1，且n∈N*) （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根记作. （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，此时正数a的n次方根记作.负数没有偶次方根. 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4.根式的性质 （1）负数没有偶次方根． （2）0的任何次方根都是0，记作＝0. （3）＝a(n∈N*，且n>1)． （4）. 知识点二、分数指数幂和有理数指数幂 1.整数指数幂与分数指数幂的概念 整数指数幂 分数指数幂 正整数指数幂：（n个a相乘，n∈N*） 正数的分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 负整数指数幂：（n∈N*） 正数的负分数指数幂： (a>0，m，n∈N*，且n>1) 规定：0的0次方没有意义； 非零整数的0次方都等于1. 规定：0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 2.有理数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念 1.无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 2.实数指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． （2）(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． （3）(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． （4）＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 题型一：根式的化简与求值 例1.化简下列各式： （1）； （2）； （3）. 解：（1）原式＝(－2)＋(－2)＝－4. （2）原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. （3）原式＝|x＋2|＝. 例2.已知－3<x<3，求的值． 解：原式＝＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝. 跟踪训练： 1.化简下列各式： （1）； （2）(a≤1)； （3）. 解：（1）＝－2. （2）∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. （3）＝a＋|1－a|＝. 2.已知－1<x<2，求的值． 解：原式＝＝|x－2|－|x＋1|. 因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0， 所以原式＝2－x－x－1＝1－2x. 题型二：根式与分数指数幂的互化 例1.将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）(a>0)； （2）(x>0)； （3）(b>0)． 解：（1）原式=. （2）原式＝. （3）原式＝. 跟踪训练： 1.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； （1）； （2）； （3）（m＞n）； （4）； （5）． 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴． （2）∵m＞0，∴． （3）∵m＞n＞0，∴． （4）∵a＞0，∴． （5）∵a＞0，∴． 题型三：指数幂的运算 例1.计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 解：（1）原式＝1＋. （2）原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100. （3）原式＝. 跟踪训练： 1.计算：（1）； （2）． （3）. （4）. 解：（1）原式； （2）原式． （3）原式1011. （4）原式|14|＝42﹣3﹣1（14） ＝1614. 题型四：条件求值 例1.已知，求的值. 解：，两边平方得a+a﹣1+2＝9，即a+a﹣1＝7， 平方得a2+a﹣2+2＝49，即a2+a﹣2＝47，. 例2.已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 解：已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，则由a＞b＞0， 可得． 跟踪训练： 1.若a＞0，且，求代数式的值． 解：∵a＞0，且， ∴ 1． 2.已知，求的值． 解：∵，∴， 则x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝72﹣2＝47，可得． 3.已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 解：（1）由题意，所以． （2）由题意， 所以． 1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. 解：当a<0时，a的偶次方根无意义．故选：D. 2.化简的结果为(　　) A.5 B. C. D.－5 解：.故选：B. 3.（多选）下列计算正确的是（　　） A. B.（a3）2＝a5（a＞0） C. D. 解：，故A正确； （a3）2＝a3×2＝a6，故B错误； 因为π＜4，所以，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 4.化简：＝　　 ． 解：原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x. 故答案为：. 5.(a>0)的值为　　 ． 解：原式＝a3··＝.故答案为：. 6.若＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是　　 ． 解：因为＝|x2－2x－3|＝－x2＋2x＋3，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3. 故答案为：[－1,3]. 7.计算　　 ． 解：由题意可知，3﹣1+2＝4． 故答案为：4． 8.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 1.若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 解：由题意可知，∴a≥2且a≠4.故选：B. 2.已知a＞0，则的分数指数幂形式为（　　） A． B． C． D． 解：因为a＞0，所以．故选：A． 3.下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m2＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 解：对于A：a＞0，，A错误； 对于B：m2＝2，，B错误； 对于C：a+a﹣1＝3，所以a＞0，，化简得，所以，故C正确； 对于D：因为2﹣π＜0，所以，故D错误． 故选：C． 4.若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 解：1＜a＜2，则1﹣a+2﹣a＝3﹣2a．故选：C． 5.已知ab＝－5，则的值是(　　) A． B．0 C． D． 解：由题意知ab<0，.故选：B. 6.已知2a＝5b＝m，且，则m等于(　　) A. B．10 C．20 D．100 解：由题意得m>0，∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝.故选：A. 7.（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 解：A，∵，∴A错误， B，∵y＞0，∴，∴B正确， C，∵x＞0，∴，∴C正确， D，∵x＞0，∴，∴D正确，故选：BCD． 8.计算：　　 ． 解：原式114216．故答案为：16． 9.若x>3，则＝　 ． 解：∵x>3， ∴－|2－x|＝－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1. 故答案为：－1. 10.已知x＞0，化简：　　 ． 解：x＞0，．故答案为：x3． 11.当有意义时，化简的结果是　 ． 解：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2， 所以原式＝＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.故答案为：－1. 12.(a>0)等于　 ． 解：原式＝.故答案为：. 13.计算或化简： （1）计算：。 （2）计算：． （3）化简：. （4）化简：． 解：（1） ＝11 2； （2）原式4 7﹣2 ＝﹣9． （3）a﹣1． （4）． 14.已知3，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）a2﹣a﹣2． 解：（1）∵3，∴a+a﹣12＝32﹣2＝7； （2）a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝72﹣2＝47； （3）∵a﹣a﹣1±． ∴a2﹣a﹣2＝（a﹣a﹣1）（a+a﹣1）． 15.化简：（1）(x<π，n∈N*). （2）. 解：（1）∵x<π，∴x－π<0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上. （2）∵，∴2a－1≤0， ∴＝＝|2a－1|＝1－2a. 16.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，，求a，b，c的值． 解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴，∴＝. 同理，可得＝，＝. ∴ ， 即. 又，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7. ∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $