4.1指数7题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学指数核心知识点，从根式的定义、性质到分数指数幂的意义及运算性质，通过五大题型分类构建从基础概念到综合应用的学习支架，系统梳理知识脉络。 资料以题型分类为特色，含解题步骤、避坑要点及例题，如通过误区辨析培养抽象能力（数学眼光），运算通法训练推理意识（数学思维），助力教师授课，学生课后可查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 解题步骤 1.先区分根指数奇偶： ①奇次方根：任意实数都有1个，符号和被开方数一致 ②偶次方根：正数2个（互为相反数），0只有1个，负数不存在 2.判断命题正误抓2点：的奇偶、正负 经典陷阱 ①误区1：“16的4次方根是2”→错，应为 ②误区2：负数没有立方根→错，负数有唯一负立方根 ③误区3：正数偶次方根只有正数→错，一正一负两个 　 题型1：n次方根的概念 1．【多选】（2026高一·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 2．【多选】（2026高一·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 3．（2026高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为______； （2）的3次方根表示为______； （3）16的4次方根表示为______． 4．（2026高一·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 （二） 利用根式的性质化简求值 一、由根式的意义求参数取值范围两类考法解法 1.有意义： ①偶数： ②奇数：取全体实数 2.化简求范围：等式去掉绝对值后等于，则；等于，则 步骤模板 ①写出根式有意义的不等式；②解一元一次/二次不等式；③写出区间解集 二、根式化简或求值 通用解题流程 1.看根指数奇偶：偶次根式先套绝对值，奇次直接去根号 2.给字母范围：根据范围去掉绝对值符号；无范围分正负讨论 3.复杂多重根式：全部转化为分数指数幂，用指数运算化简 避坑要点 ①偶次根式结果一定非负，化简完不能出现负数； ②带参数化简必须分类讨论，不可直接去掉绝对值。 题型2：由根式的意义求范围 5．（2026高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是__________． 7．（2026高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2026高一·湖南常德·期中）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型3：根式化简或求值 9．（2026高一·全国·课后作业）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·江苏南通·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·安徽·自主招生）化简根式______. 13．（2026高一·湖南长沙·期中）式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 14．（2026高一·北京顺义·开学考试）设，，则化简为______. （三） 根式与分数指数幂的互化 转化口诀 根在下，幂在上，负号颠倒放；多层根式逐层拆 标准转化步骤 1.所有根号改写成分数指数； 2.多层根号从内向外拆指数，指数相乘； 3.负指数统一写成分式，底数保证大于0； 易错提醒 负数不能随便约分指数，如，偶次根号下负数无意义。 题型4：根式与分数指数幂互化 15．（2026高一·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高一·江苏南通·阶段检测）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·天津·期末）已知，若，则实数___________． 18．（2026高一·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 19．（2026高三·广东中山·阶段检测）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·广东广州·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 21．【多选】（2026高一·全国·课堂例题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 22．（2026高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 23．（2026高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． （四） 指数幂的运算 一、指数幂的运算万能解题通法 1.统一形式：小数化分数、带分数化假分数、根式全部转分数指数幂； 2.先括号，后乘方，再乘除，最后加减； 3.负指数幂先转为正指数倒数； 4.运用3条指数运算性质合并同底数幂； 5.最终形式要求：无负指数、无根式与分数指数混用、分母不含字母幂。 常用简便公式 完全平方： 平方差： 立方和/差： 二、简单指数方程求解两类题型解法 类型1：同底数型 解法：指数相等，解整式方程 类型2：不同底数/二次型指数方程（换元法） 步骤： 1.令，把原方程转化为一元二次方程； 2.解二次方程，舍去负根（指数幂恒大于0）； 3.回代，再解一次方程得到； 4.检验根是否满足原式有意义。 陷阱：换元后忘记，保留负数解 题型5：指数幂的运算 24．（2026高一·全国·课后作业）化简：. 25．（2026高一·北京·阶段检测）求值：__________. 26．（2026高一·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 27．（2026高一·全国·专题练习）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 28．（2026高一·湖南衡阳·期中）计算. (1)，（，）； (2). 29．（2026高一·全国·专题练习）化简(). 30．（2026高一·河南洛阳·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 31．（2026·陕西安康·模拟预测）若，则___________．（用m，n表示） 32．（2026高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 题型6：简单的指数方程问题 33．（2026高一·江西·阶段检测）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 34．（2026高一·全国·单元测试）方程的解集是_______． 35．（2026高一·全国·专题练习）方程的解是___． 36．（2026高一·全国·专题练习）解下列方程： （五） 指数条件求值问题 核心思想：不单独求字母，构造整体代换 高频变形公式（） 1. 2. 3. 4.平方差、立方和差用于分式化简消元 解题模板 ①已知条件两边平方/立方，构造目标代数式整体； ②把所求分式因式分解，拆成已知整体； ③整体代入数值计算，不单独解。 题型7：利用指数运算性质进行条件求值 37．（2026高一·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 38．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 39．（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____. 40．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 41．（2026高一·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 42．（2026高一·浙江衢州·期中）若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 43．（2026高一·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 1．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·课后作业）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·寒假作业）的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 5．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西南宁·模拟预测）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 7．（专题09指数六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026高一必修第一册）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．【多选】（2026高一·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 12．（2026高三·全国·中职高考）方程的解为______． 13．（2026高三·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 14．（2026高一·福建泉州·期中）计算____________ 15．（2026高一·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 16．（2026高一·天津滨海新区·期中）计算： (1)； (2). 17．解下列指数方程： ． 18．（2026高一·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 19．（2026高一·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 4.1指数5题型分类 一、根式的定义 (1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中表示a的正的n次方根，－表示a的负的n次方根，a>0； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作 ＝0. (3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 二、根式的性质 (1)()n＝a. (2)＝. 注：与()n的区别 (1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 三、分数指数幂的意义 (1)＝(a>0，m，n∈N*，n>1)，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． (3)在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． （一） n次方根的概念问题 解题步骤 1.先区分根指数奇偶： ①奇次方根：任意实数都有1个，符号和被开方数一致 ②偶次方根：正数2个（互为相反数），0只有1个，负数不存在 2.判断命题正误抓2点：的奇偶、正负 经典陷阱 ①误区1：“16的4次方根是2”→错，应为 ②误区2：负数没有立方根→错，负数有唯一负立方根 ③误区3：正数偶次方根只有正数→错，一正一负两个 　 题型1：n次方根的概念 1．【多选】（2026高一·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故A错误； 16的4次方根有两个，为，故B正确； ，故C错误； 是非负数，所以，故D正确． 故选：BD. 2．【多选】（2026高一·全国·开学考试）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 3．（2026高一·全国·随堂练习）填空： （1）27的3次方根表示为______； （2）的3次方根表示为______； （3）16的4次方根表示为______． 【答案】 【分析】根据次方根的定义求解即可. 【详解】（1）27的3次方根表示为； （2）的3次方根表示为； （3）16的4次方根表示为. 故答案为：，， 4．（2026高一·全国·课后作业）有下列四个命题： ①正数的偶次方根是一个正数； ②正数的奇次方根是一个正数； ③负数的偶次方根是一个负数； ④负数的奇次方根是一个负数． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据实数n次方根的性质判断各项正误即可. 【详解】正数的偶次方根有两个且一正一负，负数的偶次方根不存在； 正数的奇次方根为一个正数，负数的奇次方根为一个负数； ①③错误，②④正确． 故选：C （二） 利用根式的性质化简求值 一、由根式的意义求参数取值范围两类考法解法 1.有意义： ①偶数： ②奇数：取全体实数 2.化简求范围：等式去掉绝对值后等于，则；等于，则 步骤模板 ①写出根式有意义的不等式；②解一元一次/二次不等式；③写出区间解集 二、根式化简或求值 通用解题流程 1.看根指数奇偶：偶次根式先套绝对值，奇次直接去根号 2.给字母范围：根据范围去掉绝对值符号；无范围分正负讨论 3.复杂多重根式：全部转化为分数指数幂，用指数运算化简 避坑要点 ①偶次根式结果一定非负，化简完不能出现负数； ②带参数化简必须分类讨论，不可直接去掉绝对值。 题型2：由根式的意义求范围 5．（2026高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的性质化简得解. 【详解】，. 因为，故，所以. 故选：C 6．（2026高一·全国·专题练习）若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据根式的性质化简计算即可. 【详解】， ，解得. 故答案为：. 7．（2026高一·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．（2026高一·湖南常德·期中）若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 题型3：根式化简或求值 9．（2026高一·全国·课后作业）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式的性质即可判断各选项的真假． 【详解】因为当为奇数时，，当为偶数时，， 所以＝3，＝|a|，＝－2，即A、B、D错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根式的性质的应用，属于基础题． 10．（2026高一·江苏南通·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助平方根与立方根性质计算即可得. 【详解】. 故选：A. 11．【多选】（2026高一·甘肃兰州·期中）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案. 【详解】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 12．（2026高三·安徽·自主招生）化简根式______. 【答案】 【分析】先求的取值范围，然后根据根式计算得到答案. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 13．（2026高一·湖南长沙·期中）式子的化简结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：D 14．（2026高一·北京顺义·开学考试）设，，则化简为______. 【答案】 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】由于，，所以 故答案为： （三） 根式与分数指数幂的互化 转化口诀 根在下，幂在上，负号颠倒放；多层根式逐层拆 标准转化步骤 1.所有根号改写成分数指数； 2.多层根号从内向外拆指数，指数相乘； 3.负指数统一写成分式，底数保证大于0； 易错提醒 负数不能随便约分指数，如，偶次根号下负数无意义。 题型4：根式与分数指数幂互化 15．（2026高一·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 16．【多选】（2026高一·江苏南通·阶段检测）设，则下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式分析判断即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 故选：BD 17．（2026高一·天津·期末）已知，若，则实数___________． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算法则，化简即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 18．（2026高一·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 19．（2026高三·广东中山·阶段检测）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 20．（2026高一·广东广州·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 21．【多选】（2026高一·全国·课堂例题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BD 【分析】利用根式与指数幂的关系求解. 【详解】当时，，，故A错误． （），故B正确． （），故C错误． （），故D正确． 故选：  BD 22．（2026高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 23．（2026高一·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. （四） 指数幂的运算 一、指数幂的运算万能解题通法 1.统一形式：小数化分数、带分数化假分数、根式全部转分数指数幂； 2.先括号，后乘方，再乘除，最后加减； 3.负指数幂先转为正指数倒数； 4.运用3条指数运算性质合并同底数幂； 5.最终形式要求：无负指数、无根式与分数指数混用、分母不含字母幂。 常用简便公式 完全平方： 平方差： 立方和/差： 二、简单指数方程求解两类题型解法 类型1：同底数型 解法：指数相等，解整式方程 类型2：不同底数/二次型指数方程（换元法） 步骤： 1.令，把原方程转化为一元二次方程； 2.解二次方程，舍去负根（指数幂恒大于0）； 3.回代，再解一次方程得到； 4.检验根是否满足原式有意义。 陷阱：换元后忘记，保留负数解 题型5：指数幂的运算 24．（2026高一·全国·课后作业）化简：. 【答案】 【解析】将根式化为分数指数幂，提公因式，并结合立方差公式化简计算即可. 【详解】原式 . 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，在解题时充分利用一些化简技巧来计算，考查计算能力，属于中等题. 25．（2026高一·北京·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 26．（2026高一·吉林长春·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式和指数运算化简求得正确答案. （2）根据根式和指数运算化简求得正确答案. 【详解】（1） . （2）由于，所以， 所以 . 27．（2026高一·全国·专题练习）计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 28．（2026高一·湖南衡阳·期中）计算. (1)，（，）； (2). 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）先将根式化为分数指数幂的形式，然后根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 29．（2026高一·全国·专题练习）化简(). 【答案】 【分析】根式与分数指数幂转化，利用指数幂的运算规则化简 【详解】 . 30．（2026高一·河南洛阳·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【分析】根据题意结合指数幂运算可得，，即可得结果. 【详解】因为，得，即， 又因为，，则，所以. 故选：C. 31．（2026·陕西安康·模拟预测）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 32．（2026高一·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 题型6：简单的指数方程问题 33．（2026高一·江西·阶段检测）方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【分析】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【详解】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 故选：C． 34．（2026高一·全国·单元测试）方程的解集是_______． 【答案】 【分析】令，换元可得方程，求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】令，则， 方程可化为，解得或， 所以，或， 解得或. 所以，方程的解集为. 故答案为：. 35．（2026高一·全国·专题练习）方程的解是___． 【答案】 【分析】将原方程化简后换元得，求出，从而可求出的值 【详解】， 即为 令    则有，解得(舍) 所以， 故答案为：． 36．（2026高一·全国·专题练习）解下列方程： 【答案】 【分析】应用指数幂运算律计算求解即得. 【详解】 , . （五） 指数条件求值问题 核心思想：不单独求字母，构造整体代换 高频变形公式（） 1. 2. 3. 4.平方差、立方和差用于分式化简消元 解题模板 ①已知条件两边平方/立方，构造目标代数式整体； ②把所求分式因式分解，拆成已知整体； ③整体代入数值计算，不单独解。 题型7：利用指数运算性质进行条件求值 37．（2026高一·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 38．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 39．（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为_____. 【答案】2 【分析】利用完全平方公式及指数运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 化简得， 又因为，所以， 故. 40．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 41．（2026高一·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据得，再平方得，再结合立方和公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 42．（2026高一·浙江衢州·期中）若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】由完全平方公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 43．（2026高一·湖北·阶段检测）已知 且，则 ________ 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 1．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 2．（2026高一·全国·课后作业）若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的性质，负数无偶次方根判断. 【详解】A. 式子对于有意义； B.式子对于有意义； C. 式子对于有意义； D. 式子对于无意义； 故选：D 3．（2026高一·全国·寒假作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：D. 4．（2026高一·江苏淮安·阶段检测）若，则的值是（   ） A．45 B．75 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 5．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】6是偶数，故当时，． 6．（2026·广西南宁·模拟预测）设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 7．（专题09指数六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026高一必修第一册）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 8．【多选】（2026高一·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 9．【多选】（2026高一·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 10．【多选】（2026高一·全国·阶段检测）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 11．【多选】（2026高一·安徽·阶段检测）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 12．（2026高三·全国·中职高考）方程的解为______． 【答案】或 【分析】根据指数幂的运算性质和指数函数的图像和性质求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，即， 解得或， 故答案为：或 13．（2026高三·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 14．（2026高一·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． 15．（2026高一·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 16．（2026高一·天津滨海新区·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可. 【详解】（1）. （2） . 17．解下列指数方程： ． 【答案】 【分析】根据指数运算得到，解得答案． 【详解】，故， ∴，∴，即， ，解得． 18．（2026高一·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求和； （2）由幂函数的图象恒过点，代入求解即可. 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图象恒过点， 则，所以. 19．（2026高一·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【详解】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $