1.1 直线的斜率与倾斜角课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的斜率与倾斜角，涵盖定义、公式、关系及应用，通过斜拉桥等现实情境导入，衔接初中一次函数知识，借助思维导图梳理脉络，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以新课标核心素养为导向，分层例题（基础到拔高）结合高考真题，培养数学思维的逻辑推理能力。利用斜率几何意义（如代数式转化为斜率）发展数学语言的模型意识，助力学生提升数形结合能力，也为教师提供一体化教学资源，提高教学效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第一章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 本节学习直线的倾斜角与斜率，理解二者定义及相互关系，掌握斜率计算公式，能由倾斜角求斜率、由两点坐标计算斜率，体会解析几何数形结合的思想 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括57张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线的斜率 对于直线上的任意两点,，如果 ，如图1.1-1（1），那 么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线 的斜率，即 . 图1.1-1 如果，如图1.1-1（2），那么直线 的斜 率不存在. 教材帮 返回目录 4 对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作 . （斜率公式不适用于直线与轴垂直 的情况） 发散探讨 （1）, 两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就 是说，如果分子是,分母必须是;如果分子是,分母必须是 , 即 . （2）若,,则直线与轴平行或重合，斜率 . . . 教材帮 返回目录 5 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P6例1］已知，，则直线 的斜率是( ) B A.1 B. C. D. 【解析】由斜率公式得，直线的斜率 ． 教材帮 返回目录 6 例1-2 ［教材改编P9 T3（1）］过点和的直线斜率为1，那么 ( ) C A.1或3 B.4 C.1 D.1或4 【解析】当时，直线的斜率不存在，故 ，（当两点的横坐标含有参 数时，注意对参数进行讨论） 直线的斜率为 , 解得 . . . 教材帮 返回目录 7 知识点2 直线的倾斜角 1 直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把 轴绕着交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 刻画了直线的倾斜程度，我们把这个 角 称为这条直线的倾斜角.（当直线与轴相交时，直线的倾斜角就是 轴正方向 与直线 向上的方向之间所成的角） . . 教材帮 返回目录 8 2 倾斜角的范围 当直线与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0.由定义可知，直线的倾斜 角 的取值范围是 },具体如下. 倾斜角 直线 与 轴平行或重合 ___________________ 由左向右上升 _______________________ 垂直于 轴 __________________ 由左向右下降 _____________________ 教材帮 返回目录 9 学思用·典例详解 例2-3 如图1.1-4，直线 的倾斜角为______. 图1.1-4 【解析】由倾斜角的定义，轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线 重合时，所转 过的最小正角为 ，所以直线的倾斜角为 .（也可将倾斜角理 解为轴正方向与直线 向上的方向之间所成的角） 教材帮 返回目录 10 知识点3 直线的倾斜角与斜率之间的关系 图1.1-2 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角 为锐角（图1.1-2（1）），此时， . 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图1.1-2（2）），此时， . 因此，当直线与轴不垂直时，该直线的斜率与倾斜角 之间的关系为 . 教材帮 返回目录 11 当直线与轴垂直，即倾斜角为 时，斜率不存在.（所有直线都有倾斜角，但不 是所有直线都有斜率） 直线的倾斜角 的大小与斜率的范围的对应关系（可结合正切函数 的图象与性质进行记忆）如下表： 的大小 斜率的范围 不存在 . . . . . . 教材帮 返回目录 12 特别提醒 当 的取值范围为时，斜率随着 的增大而增大，由0 趋向于 ；当 的取值范围为时，斜率随着 的增大而增大， 由 趋向于0. 我们也可以结合图1.1-3进行记忆. 图1.1-3 教材帮 返回目录 13 学思用·典例详解 例3-4 ［教材改编P9 T3（2）］已知直线过，两点，且倾斜角为 ， 则 ( ) C A.0 B.3 C.2 D.5 【解析】直线的斜率，解得 ． 点评 下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角 斜率 0 1 教材帮 返回目录 14 图1.1-5 例3-5 ［多选题］(2026·江西省赣州市厚德外国语学校月考)如 图1.1-5所示，直线,,的斜率分别为,, ，对应的倾斜 角分别为,, ，则下列说法正确的是( ) ABC A. B. C. D. 【解析】由题图可得， ；再由 在上单调递减，所以；在， 上单调递 增，可得.故 正确，D错误． 教材帮 返回目录 15 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求直线的倾斜角 例6 一条直线与轴相交,其向上方向与轴正方向所成的角为 ,则其 倾斜角为( ) D A. B. C. 或 D. 或 图1.1-6 【解析】如图1.1-6（1）,当向上方向的部分在 轴左侧时， 倾斜角为 ;如图1.1-6（2）,当向上方向的部分在 轴右侧时，倾斜角为 . 返回目录 16 例7 (2026·河南省信阳市滨城高级中学月考)设直线的斜率为,且 ,则直 线的倾斜角 的取值范围是_____________. , 【解析】由,得,又 ,利用正切函数的性质得倾 斜角 的取值范围是.（易错误地得出, .事实上，当 时, ;当时，,从而得, ） . . 返回目录 17 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与 轴正方向 之间所成的角，同时应明确倾斜角 的范围： . （2）根据直线的斜率求倾斜角时，注意利用 进行求解，在求取值范围时， 注意结合正切函数的性质求解. 返回目录 18 【学会了吗丨变式题】 1.已知直线的斜率为，则 的倾斜角为( ) C A. B. C. D. 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 ， 又,所以的倾斜角为 ，故选C. 返回目录 19 2.［多选题］(2025·广东省深圳市盐田高级中学月考)设直线过原点，其倾斜角为 , 将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转 ，得到直线，则直线 的倾斜角可能为 ( ) AC A. B. C. D. 【解析】根据题意，由于倾斜角的范围是 ， 当 时，直线的倾斜角为 ， 当 （此时 ，不满足倾斜角的范围）时，直线 的倾 斜角为 . . . 返回目录 20 题型2 求直线斜率 1 根据倾斜角或斜率求斜率 例8（1）在平面直角坐标系内，正三角形的边 所在直线的斜率是0， （直线与轴平行或重合）则边， 所在直线的斜率之和为( ) B A. B.0 C. D. 【解析】由题意知，的另外两边所在直线的倾斜角分别为 ， ，所以 直线的斜率之和为 . . . 返回目录 21 （2）已知斜率为的直线与轴交于点，直线绕点按逆时针方向旋转 得到直线,则直线 的斜率为_ _____. 【解析】设直线的倾斜角为 ，则,因为直线绕点 按逆时针方向旋 转 得到直线,所以直线的斜率（【易错】如果设直线 的倾斜 角为 ，则 ，因为，， ， 根据正切函数的性质， ，所以 , ） . . . 返回目录 22 2 利用斜率公式求直线斜率 例9 已知坐标平面内的三个顶点的坐标分别是,， ,试判 断直线,, 的斜率是否存在，若存在，求出斜率；若不存在，请说明理由. 【解析】,， 直线, 的斜率存在. ,两点的横坐标相等， 直线 的斜率不存在.（当两点的横坐标相等时， 的分母为0，公式没有意义，则斜率不存在） 返回目录 23 求直线斜率的方法 （1）定义法.已知直线的倾斜角为 ，且 ，则该直线的斜率 . （2）公式法.已知直线上任意两点的坐标, ，求直线的斜率时，首先 应检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等,则直线的斜率 . 返回目录 24 【学会了吗丨变式题】 3.(2025·江苏省宿迁市期中)若直线经过两点， ,且倾斜角为 ，则 的值为( ) C A.2 B. C.1 D. 【解析】由题意可得，解得 . 返回目录 25 4.(2026·湖北省十堰市东风高级中学月考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2， 则该正方形的一条边所在直线的斜率为_______________________.（写出一个即可） ，（任写一个即可） 图D 1.1-1 【解析】如图D 1.1-1所示，在正方形中，设对角线 所在 直线的斜率为2，建立平面直角坐标系. 设对角线所在直线的倾斜角为 ， 则，（因为 ，所以 ） 由正方形的性质可知，直线的倾斜角为 ，直线 的 倾斜角为 ， 所以 ， . . . 返回目录 26 题型3 直线倾斜角与斜率的综合应用 1 三点共线问题 例10 已知直线经过，两点，点在直线上，则 的值为 ( ) C A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 【解析】由题意可知，直线 的斜率显然存在， 直线经过,两点，点在直线上，,, 三点共线， 则 ，解得 ． 返回目录 27 三点共线问题的求解策略 （1）对于给定坐标的三点，要判断三点共线，先求任意两点所在直线的斜率．若斜 率存在且相等，则由两直线有公共点得到三点共线；若斜率都不存在，由两直线有 公共点，也可得到三点共线． （2）若已知三点共线，则任意两点连线所在直线的斜率都不存在或都相等. 返回目录 28 2 从数形结合角度一探倾斜角与斜率 母题 致经典·母题探究 母题探源 “动起来”的直线斜率 基于定义，倾斜角与斜率蕴含丰富的数形特征，尤其是当直线位置发生变化（旋转） 时，倾斜角与斜率会伴随产生范围变化，且由于当倾斜角为 时斜率的“间断”， 更加丰富了题目内容.因此求一个定点与一个（在某曲线上的）动点的连线的斜率的 取值范围一直是一个热点题型，具有极高的数形结合研究价值.因为当直线在被允许 的范围内活动时，其倾斜角是连续变化的，但斜率的变化并不一定连续，所以探讨 直线“跨区”运动时，倾斜角与斜率的变化这一问题很有必要！ 返回目录 29 例11 (2026·天津市塘沽第一中学月考)已知直线过点，且与以 , 为端点的线段相交，则直线的斜率 的取值范围为_ __________________. 返回目录 30 图1.1-7 【解析】作出直线， ，如图1.1-7所示，则 ， . （直线运动跨区过了与 轴垂直的直线，即其斜率出现间 断.） 当直线绕点从直线逆时针转到与 轴平行的直线 轴）的位置时，直线的斜率从5开始增大，并趋向于 ，即 . 当直线从直线逆时针转到直线的位置时，直线的斜率从 开始增大，并趋 向于，且在位置时达到，即 , . 所以直线的斜率的取值范围为 . 返回目录 31 易错警示 本题易忽略直线的倾斜角可以为 ，此时直线的斜率不存在，从而得 出错解 . 返回目录 32 子题 已知直线过定点，且与以， 为端点的线段有交点，则直 线的斜率 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 返回目录 33 图1.1-8 【解析】, .在平面直角坐标系中画 出直线,,如图1.1-8所示.由图可知,直线绕点从 逆时针旋转 到的过程中,斜率始终存在,且逐渐增大.故直线的斜率 的取值范 围是 . 返回目录 34 【学会了吗丨变式题】 5.已知点和点，经过点作直线,若直线与射线 有公共点， 则直线 的斜率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 图D 1.1-2 【解析】如图D 1.1-2，已知点，， ，则 ,，若经过点的直线 与射线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ．故选 A． 返回目录 35 6.(2026·福建省福州市月考)已知点，，若点在线段 上，则 的取值范围为( ) A A. B.， C. D.[-， 图D 1.1-3 【解析】如图D 1.1-3，由 的几何意义知，它表示 经过定点与线段上任一点的直线的斜率 ， 而， . 点在线段上，的取值范围为 ．（注意斜率有间断） . . . . . . 返回目录 36 题型4 代数式 的几何意义——斜率模型 如果代数式结构为或可化归为 的形式，则可借助直线斜率的几何意义，通过数 形结合，转化为斜率公式，用几何方法来研究代数问题. 返回目录 37 1 比较大小 例12 已知，且，则 ，， 的大小关系是 ( ) B A. B. C. D. 观察发现被比较的代数式具有相同结构特征，且由题设知 ,所以 ,这是典型的过两点的直线斜率公式模型，故考虑利用斜率的几何意义， 通过数形结合得出结果. 返回目录 38 【解析】由于,则,所以,,分别表示点 （即原点）与点,, 连线的斜率，作出函数 的图象，如图1.1-9所示.由于函数在 上单调递增且图 象上凸，则由知,即 . 图1.1-9 返回目录 39 2 求代数式的取值范围 例13 已知点在函数的图象上，当 时，求: （1） 的取值范围; 【解析】由题意可知点在线段 上移动. 记点,则可看作过点与点 的直线的斜率. 又,，所以的取值范围为 . （由于,则线段上存在点与 点连线的斜率不存在） . . 返回目录 40 （2） 的取值范围. 【解析】,（将分子提取2后才符合斜率模型的结构）记点 ，则 可看作过点与点 的直线的斜率. 又,,所以的取值范围为 . . . 返回目录 41 【解析】因为点在函数的图象上,且,记点, . 名师点评 斜率模型即 的形式，将目标式化归为此结构式是利用直线的斜率求解 的关键.此外,问题也可以从函数的角度解答，如本题第（2）小问 .由知 ，所 以,故 . 返回目录 42 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.(2026·甘肃省兰州新区期中)下列四个命题中，真命题的是( ) B A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是 C.若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 【解析】当时，直线的斜率不存在，A错误；直线的倾斜角的取值范围是 ， B正确；若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故C错误；当 时，直线的斜率 ，故D错误. 练习帮 返回目录 43 2.(2026·四川省泸县第五中学月考)过， 两点的直线的倾斜角是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于，，设倾斜角为 ，所以 ， 由于 ，故 . 练习帮 返回目录 44 3.(2026·江苏省无锡市第一中学检测)已知直线经过点 ，且不经过第四象限， 则直线的斜率 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 练习帮 返回目录 45 【解析】由图D 1.1-1可知，当直线 位于阴影部分所示的区域内时（包括边界），满 足题意，所以直线的斜率满足 . 图D 1.1-1 练习帮 返回目录 46 4.已知直线斜率为,且，那么倾斜角 的取值范围是( ) B A.， B. C.， D. 【解析】由题意，直线的倾斜角为 ，则，因为 ，即 ，结合正切函数的性质，可得， ． 5.［多选题］若直线经过点,，且倾斜角为 ，则实数 的值为 ( ) AD A.1 B.2 C. D. 【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率 .又直线经过点 ,，所以，即，解得或 . 练习帮 返回目录 47 6.斜率为的直线经过点，，三点，则___， ____. 3 11 【解析】由题意可得，解得 7.已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为 ，则点 的 坐标为_______________． 或 【解析】设轴上点的坐标为或轴上点的坐标为．由 ，得 或，得或.故点的坐标为或 ． 练习帮 返回目录 48 8.（1）设坐标平面内三点，，，若直线 的斜率 是直线的斜率的3倍，求实数 的值； 【答案】由，即，解得或 ，经检验均 符合题意，故 的值是1或2. （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线 的斜率． 【答案】设直线的倾斜角为 ，则直线的倾斜角为 ，由已知，得 ， 则直线的斜率为 . 练习帮 返回目录 49 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.(2026·贵州省遵义市第四中学月考)若点在以，， 为 顶点的的内部运动（不包含边界），则 的取值范围是( ) D A.， B. C.， D. 【解析】根据题意可知点是内一动点，那么所求 的几何意义是过动 点与定点的直线的斜率．易得，， .利用图象 （图略），可得的取值范围是 .故选D. 练习帮 返回目录 50 图1.1-1 10.新情境 斜拉桥 (2026·陕西省兴平市西郊高 级中学测试)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在 桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向 与中央索塔一致．如图1.1-1（1）（2）是重庆 千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索 C A. B. C. D.0.40 塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为 , 拉索下端相邻两个锚的间距, 均为 .最短拉索的锚 ，满足, ,则最长拉索所在直线的斜率为( ) 练习帮 返回目录 51 【解析】根据题意， ， ，则最长拉索所在直线 的斜率 ，同理，直线 的斜率 ，故选C. 练习帮 返回目录 52 11.若,, ，则( ) B A. B. C. D. 图D 1.1-2 【解析】，它表示过函数图象上的点 与点的直线的斜率，如图D 1.1-2,令, , ,由图知，即 . 练习帮 返回目录 53 12.[多选题](2026·山东省济南第三中学质检)直线过点且斜率为,若直线 与线 段有公共点，，，则 可以取( ) AD A. B. C.3 D.4 图D 1.1-3 【解析】由题知， ， 由图D 1.1-3可知，或 （当斜率有正有负时，一 定要注意是否有间断）时，直线与线段 有交点，根据选 项，可知 符合． . . 练习帮 返回目录 54 13.光线从点出发射入轴上的点,再经轴反射后过点 ,则入射光线所在 直线的斜率为_ ___. 【解析】作点关于轴的对称点,设入射点,则,, 三点共线, ， . 练习帮 返回目录 55 C 培优练丨能力提升 14.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线 的斜率之和为___. 3 练习帮 返回目录 56 【解析】如图D 1.1-4，为正三角形， 为中线, 图D 1.1-4 则，，所在直线的倾斜角分别为 ， ， ，则它们的斜率之和为 ． 练习帮 返回目录 57 $