1.1 第1课时 直线的斜率(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“直线的斜率”，以交通工程“坡度”情境导入，从现实问题抽象出斜率定义，结合两点坐标公式，通过“想一想”“自我诊断”构建从具体到抽象的学习支架，衔接后续倾斜角知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实（坡度情境），通过含参数点斜率分类讨论培养数学思维，题型覆盖基础到综合（三点共线问题）。规律方法总结助学生形成逻辑推理能力，学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

1.1　直线的斜率与倾斜角 第一章　直线与方程 1 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（数学抽象）. 2.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象）. 第1课时　直线的斜率 第一章　直线与方程 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水 平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点 前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上 升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数），则坡度k＝ ＝ .若k＞0，则表示上坡，若k＜0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小. 【问题】　你知道“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的吗？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　直线的斜率 对于直线l上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2， 则 　 　是一个定值，我们将其称为直线l的斜率，即k＝ 　 　 （x1≠x2）. 　 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 是否所有直线都有斜率？请举例说明. 提示：并非所有直线都有斜率，当直线PQ垂直于x轴，即x1＝x2时，直线 l的斜率不存在. 2. 若直线l与x轴平行，则直线l的斜率为何值？ 提示：斜率为0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若k是直线的斜率，则k≠0. （　×　） （2）经过一点，可以作无数条直线. （　√　） （3）若直线与x轴垂直，则直线的斜率为0. （　×　） × √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知点A（1，0），B（－1，1），则直线AB的斜率为（　　） A. － B. C. －2 D. 2 解析：　直线AB的斜率k＝ ＝－ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的斜率为1，则y＝（　　） A. － B. C. －1 D. 1 解析：　由已知，得 ＝1，故y＝－1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 下列各组点在同一条直线上的是（　　） A. （－2，3），（－7，5），（3，－5） B. （3，0），（6，－4），（－1，－3） C. （1，0），（0，－ ），（7，2） D. （－2，－5），（7，6），（－5，3） √ 解析：　A选项：过（－2，3），（－7，5）的直线的斜率m1＝ ＝ － ，过点（－7，5），（3，－5）的直线斜率m2＝ ＝－1，两者不 相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；B选项：过（3，0）， 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （6，－4）的直线斜率n1＝ ＝－ ，过点（6，－4），（－1，－3） 的直线斜率n2＝ ＝－ ，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B 选项错误；C选项：过点（1，0），（0，－ ）的直线的斜率k1＝ . 过点（1，0），（7，2）的直线的斜率k2＝ ，两者相等，故此三点共线， C选项正确；D选项：过点（－2，－5），（7，6）的直线的斜率a1＝ ＝ ，过点（7，6），（－5，3）的直线斜率a2＝ ＝ ，两者不相等， 故三点不在同一条直线上，D选项错误.故选C. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　直线的斜率 （链接教科书第6页例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果 存在，求其斜率： （1）A（2，3），B（4，5）； 解：存在.直线AB的斜率kAB＝ ＝1. （2）M（－3，2），N（2，2）； 解：存在.因为yM＝yN＝2，所以直线MN∥x轴，其斜率为0. （3）P（－3，1），Q（－3，10）； 解：不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （4）C（m，2），D（1，m2＋2）. 解：当m＝1时，直线l的斜率不存在； 当m≠1时，直线l的斜率k＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 利用斜率公式求直线斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直 线与x轴垂直时，斜率不存在； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，即公式中的x1与x2，y1与y2 可以同时交换位置. 提醒：若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分 类的依据是两点横坐标是否相等. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知点A（n，－n－3），B（2，n－1），C（－1，4），若直线AC 的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数n＝ ⁠. 解析：由题意知直线AC，直线BC的斜率均存在，则n≠－1，直线AC的 斜率为kAC＝ ＝ ，直线BC的斜率为kBC＝ ＝ ，所以 ＝3× ，整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.所以 实数n的值为1或2. 1或2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 直线过两点A（m，3），B（2，7），试求直线AB的斜率. 解：当m＝2时，直线AB垂直于x轴，其斜率不存在； 当m≠2时，根据直线的斜率公式得kAB＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　已知一点和斜率作直线 （链接教科书第6页例2）经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别 为（1） ；（2）－ . 解：（1）从点（3，2）开始，向右平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度，得到点（6，4）. 通过点（6，4）和点（3，2）画直线，即为所求，如图①. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2） 由于－ ＝ ，因此，将点（3，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点（5，1）.通过点（5，1）和点（3，2）画直线，即为所求，如图②. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 已知一点和斜率作直线的步骤 （1）确定已知点； （2）由斜率将点沿x轴，y轴平移得到动点坐标，过两点画出直线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 经过点（－2，3）画直线，使直线的斜率分别为（1） ；（2）0. 解：（1）从点（－2，3）开始，向右平移5个单位长度，再向上平移2个 单位长度，得到点（3，5）， 通过点（－2，3）和点（3，5）画直线，即为所求，如图①. （2）由于0＝ （不唯一），因此，将点 （－2，3）只向右平移2个单位长度，得 到点（0，3）.通过点（－2，3）和点 （0，3）画直线，即为所求，如图②. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　三点共线问题 （链接教科书第9页习题5题）若A（－2，3），B（m，－2），C （4，－3）三点共线，则实数m＝ ⁠. 解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且 kAB＝ ，kAC＝ ＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝ kAC，即 ＝－1，解得m＝3. 3 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 用斜率公式解决三点共线问题的思路 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知A（1，3），B（1，－2），C（m，4）三点在同一条直线上，则实 数m＝ ⁠. 解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，且直线AB的斜率不存在，故 A，B，C三点的横坐标相等，故m＝1. 1 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知直线l经过两点P1（－1，1），P2（3，－1），则直线l的斜率是 （　　） A. B. 2 C. － D. －2 解析：　直线l的斜率k＝ ＝ ＝－ ，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知斜率为 的直线经过点M（2，m），N（1，2），则m＝（　　） A. －2 B. ＋2 C. 1 D. 0 解析：　因为斜率为 的直线经过点M（2，m），N（1，2），所以 kMN＝ ＝ ，解得m＝ ＋2.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知一次函数y＝2x＋1的图象为直线l，则直线l的斜率为 ⁠. 解析：在直线l上任取两点P（1，3），Q（2，5），所以kl＝ ＝2. 4. 已知直线l经过点A（－1，2），且斜率k＝－2，判断B（1，－2）， C（0，4），D（0，0）中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上. 解：因为直线l经过点A（－1，2），且kAB＝ ＝－2，kAC＝ ＝2≠－2，kAD＝ ＝－2， 所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上. 2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　） A. （4，2）与（－4，1） B. （0，3）与（3，0） C. （3，－1）与（2，－1） D. （－2，2）与（－2，5） 解析：　D项中，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，斜率不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若直线l经过点A（1，3），B（－1，11），则直线l的斜率为（　　） A. －4 B. 4 C. －3 D. 3 解析：　直线l的斜率为 ＝－4.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若点C（ ，m）在A（－2，3），B（3，－2）两点所连的直线上， 则m＝（　　） A. －2 B. 2 C. － 解析：　由题意得kAB＝kAC，所以 ＝ ，解得m＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A. B. － C. 2 D. －2 解析：　设点P（a，b）是直线l上的一点，将点P（a，b）向右平移 4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点P'（a＋4，b－2）仍在 该直线上，则直线l的斜率k＝ ＝－ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕若直线l的斜率k＝－2，且过点（3，2），则直线l经过点 （　　） A. （0，4） B. （4，0） C. （6，－4） D. （－2，1） 解析：直线l的斜率k＝－2，且过点（3，2），对于A， ＝－ ≠－2，故A不在直线l上；对于B， ＝－2，故B在直线l上；对于C， ＝－2，故C在直线l上；对于D， ＝ ≠－2，故D不在直线l上.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕下列各组点中，共线的是（　　） A. （1，4），（1，2），（1，5） B. （－2，－5），（7，6），（－5，3） C. （1，0），（0，－ ），（7，2） D. （0，0），（2，4），（－1，3） 解析：A中，三点都在直线x＝1上，共线；B中， ＝ ， ＝ ≠ ，不共线；C中， ＝ ， ＝ ，共线；D中， ＝2， ＝ －3≠2，不共线.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 直线过点（－2， ）和点（－1，2 ），则该直线的斜率为 ⁠. 解析：直线的斜率为 ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 过A（a，0），B（1，2）的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a 的值可以为 ⁠. 解析：因为过A（a，0），B（1，2）的直线的斜率大于2，所以a≠1， 且k＝ ＞2，解得0＜a＜1. （答案不唯一，满足0＜a＜1的一个值即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 若A（3，1），B（－2，b），C（8，11）三点共线，则b＝ ⁠. 解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即 ＝ ，得b＝ －9. －9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知两点P（1－m，1＋m）和Q（3，5m），问当m取何值时： （1）直线PQ的斜率不存在； 解：当1－m＝3，即m＝－2 时，点P（3，－1），Q（3，－10），此时直线PQ的斜率不存在. （2）直线PQ平行于x轴； 解：直线PQ平行于x轴，即点P，Q的纵坐标相等，即1＋m＝5m，得m＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）直线PQ的斜率k＜0. 解：直线PQ的斜率k＜0，即 ＝ ＜0，解得－2＜m＜ ，即当m∈（－2， ）时，PQ的斜率k＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，则斜率最小的直线是（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 解析：　由图知： ＞ ＞0＞ ＞ ，故斜率最小的直线是l2. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 已知点A（0，m2），B（m，m3）（m＞0），则直线AB斜率的最小 值为（　　） A. － B. － C. 解析：　kAB＝ ＝m2－m＝（m－ ）2－ ，当m＝ 时，直线AB 的斜率取得最小值，且最小值为－ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝ 4，则点B的坐标可以为（　　） A. （0，－4） B. （0，－8） C. （2，0） D. （－2，0） 解析：当点B在y轴上时，设B（0，y），由kAB＝4，可得 ＝4，解得y＝－8，∴B（0，－8）；当点B在x轴上时，设B（x，0），由kAB＝4，可得 ＝4，解得x＝2，∴B（2，0），∴点B的坐标为（2，0）或（0，－8），故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知直线l过点A（1，2），且不过第四象限，试求直线l斜率的取值 范围. 解：如图，当直线l在l1位置时，k＝0； 当直线l在l2位置时，k＝ ＝2. 故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $