3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 2 发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性 质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质. 返回导航 新课导入 3 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.理解判断直线与双曲线位置关系的方法. 4.会求解有关弦长、中点弦问题. 5.会解决直线与双曲线的综合问题. 返回导航 学习目标 4 第3章 圆锥曲线与方程 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质，研究双曲线的方程 及其对应曲线： 思考 从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样 有范围限制? 提示 有限制，因为，即，所以或 . 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.双曲线的几何性质 标准方程 图形 _________________________________________ _________________________________________ 返回导航 9 标准方程 性质 范围 ①_______________ ②_______________ 对称性 对称轴：③________；对称中心：④______ 顶点坐标 ⑤__________________ ⑥__________________ 渐近线 ⑦_ _____ ⑧_ _____ 离心率 ⑨__， 轴长 实轴长为⑩____,虚轴长为⑪____ 或 或 坐标轴 原点 , , 续表 返回导航 10 2.双曲线的中心和等轴双曲线 （1）双曲线的中心 双曲线的⑫__________叫作双曲线的中心． 对称中心 （2）等轴双曲线 ⑬________________的双曲线叫作等轴双曲线，其离心率 . 实轴和虚轴等长 返回导航 11 ［例1］ （对接教材例1）求双曲线 的实 半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 【解】 把方程 化为标准方程为 ， 由此可知，实半轴长 ， 虚半轴长， ， 焦点坐标为， ， 返回导航 12 离心率 ， 顶点坐标为， ， 渐近线方程为 ， 即 . 返回导航 13 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式； （2）由标准方程确定焦点位置，确定<m></m>,<m></m>的值； （3）由<m></m>求出<m></m>的值，写出双曲线的几何性质. 注意 求性质时一定要注意焦点的位置. 返回导航 14 ［跟踪训练1］ （1）已知双曲线 的左、右焦 点分别为，，若双曲线上存在点满足 ，则 该双曲线的离心率为( ) A.2 B. C. D.5 解析：选B.设，则，， ，所以 . √ 返回导航 15 （2）双曲线的离心率为 ，则双曲线的渐 近线方程为 ( ) A. B. C. D. 解析：选D.由可得,又因,故有 ,而双 曲线的渐近线方程为,即 .故 选D. √ 返回导航 16 二 由双曲线的几何性质求标准方程 ［例2］ （1）求焦点在轴上，离心率为，且过点 的双曲线的 标准方程； 【解】因为 ， 所以， . 又因为焦点在 轴上， 所以设双曲线的标准方程为.把点 代入方程，解 得 . 所以双曲线的标准方程为 . 返回导航 17 （2）求经过点,，且渐近线方程为 的双曲线的标准方程. 【解】方法一:当焦点在 轴上时，设双曲线标准方程为 ，由双曲线经过点,得 ，① 由双曲线的渐近线方程为得 ，② 由①②解得，， ， 此时，所求双曲线方程为 . 当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为 ， 由双曲线经过点,得 ，③ 返回导航 18 由双曲线的渐近线方程为得 ，④ 不存在同时满足③④的， . 综上所述，所求双曲线的标准方程为 . 方法二：由渐近线方程为，即 可设所求双曲线的方程 为 ， 又双曲线经过点,，则有 ， 所以所求双曲线的标准方程为 . 返回导航 （1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化 为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． （2）巧设双曲线方程的技巧 渐近线为的双曲线方程可设为 . 返回导航 20 ［跟踪训练2］ （1）已知双曲线中心在原点，一个顶点坐标为 ，且 渐近线方程为 ，则其标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.方法一:由双曲线顶点在 轴上，所以可设其方程为 ，因为顶点坐标为，渐近线方程为 ， 即，可得解得 所以双曲线的标准方程为 . √ 返回导航 21 方法二：依题意可设双曲线方程为 ，化为标准方程 ，又一个顶点坐标为，所以， ，故所求双曲 线的标准方程为 . 返回导航 22 （2）已知双曲线的离心率为 ，且该双曲线的焦点与椭圆 的焦点重合，则这个双曲线的方程是___________. 解析：由题意得解得 所以 ， 所以双曲线的方程为 . 返回导航 23 三 双曲线的渐近线与离心率 角度1 求双曲线的渐近线 ［例3］ （1）已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在 轴上， 则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得，则 ，又双 曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为 . √ 返回导航 24 （2）已知,,为双曲线 的 两个焦点，点为虚轴的一个端点， ，则 的渐近线方 程为_ _________. 解析：由题意知，，而 ，结合双曲线 的对称性可知为等腰三角形，则 ，故 ，结合可得 ， 故的渐近线方程为 . 返回导航 25 求双曲线渐近线方程的步骤 （1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论； （2）求参数：利用已知条件建立<m></m>，<m></m>的关系式，求出<m></m>，<m></m>的值或其比值； （3）写方程：若双曲线的焦点在<m></m>轴上，其渐近线方程为<m></m>；若双 曲线的焦点在<m></m>轴上，其渐近线方程为<m></m>. 返回导航 26 角度2 求双曲线的离心率 ［例4］ （1）已知双曲线 的一条渐近线与直 线垂直，则 的离心率为( ) A.3 B. C. D. 解析：依题意，双曲线的渐近线方程为 ，又因为直线 的斜率为，所以，则双曲线 的离心率 . √ 返回导航 27 （2）已知点，分别是双曲线 的左焦点和右顶 点，过点作垂直于轴的直线，交双曲线于，两点，若 ， 则双曲线的离心率为___. 2 解析：设，将代入，得 ，所以 ,，,,因为，且 ，由双曲线的对称性可知 ,,所以，即 ,即 ，所以，即，因为 ,所 以 ，所以双曲线的离心率为2. 返回导航 28 求双曲线离心率的方法 （1）若可求得<m></m>,<m></m>，则直接利用<m></m>求解. （2）若已知<m></m>,<m></m>，可直接利用<m></m>求解. （3）若得到的是关于<m></m>,<m></m>的齐次方程<m></m>,<m></m>,<m></m>为常数， 且<m></m>,则转化为关于<m></m>的方程<m></m>求解（注意<m></m>）. 返回导航 29 ［跟踪训练3］ （多选）若双曲线 的一个焦点 关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆 相 切，则下列结论中正确的是( ) A.的实轴长为 B.的虚轴长为 C.的渐近线方程为 D. 的离心率为2 √ √ 返回导航 30 解析：选.设，渐近线方程为 ， 即，与渐近线的交点为 ，则 到渐近线的距离 ， 又，所以，又直线 与圆 相切，所以 ，设另 外一个焦点为，则 ， ， 返回导航 31 又，所以，所以，又 ， 所以，双曲线的实轴长为，虚轴长为 ，A正 确，B错误； 渐近线方程为 ，离心率为 ，C正确，D错误. 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.双曲线 的虚轴长为( ) A.3 B.6 C. D. 解析：选D.双曲线的标准方程为，可得 ， 则虚轴长 . √ 返回导航 34 2.（多选）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为 ，则 ( ) A.双曲线的一条渐近线方程为 B.椭圆和双曲线共焦点 C.双曲线的离心率 D.椭圆和双曲线有4个公共点 √ √ 返回导航 35 解析：选.对于A，双曲线的渐近线方程为 ，A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在 轴上， B错误； 对于C，双曲线中，，，离心率 ， C错误； 对于D，由解得 此方程组有4个解，因此椭圆和双 曲线有4个公共点，D正确. 返回导航 36 3.已知双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离 为（ 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为____. 解析：由题意可知焦点到渐近线 的距离为 ， 所以，所以 . 返回导航 37 4.根据下列条件求双曲线的标准方程： （1）过点，与双曲线 的离心率相等； 解：过点，可知所求双曲线的焦点在轴上，且 ，双曲线 的离心率 ，因为所求双曲线与双曲线 的离心率相等，所以所求双曲线的离心率为 ，解得 ，所以 ，所以所求双曲线的标准方程为 . 返回导航 38 （2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点 . 【解】由题意可设所求双曲线的方程为，把点 代入所设方程得，解得 .所以所求双曲线的标准方程为 . 返回导航 39 1.已学习：双曲线的几何性质. 2.须贯通：（1）根据几何性质求双曲线方程的方法.（2）求离心率及其范 围的方法. 3.应注意：（1）忽略焦点在哪条坐标轴上的讨论而致错.（2）混淆双曲线 与椭圆的离心率的范围而致误. 返回导航 40 $