2.3 圆与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，系统讲解五种位置关系的判定、公共弦及公切线问题，通过复习圆的方程导入，以几何法与代数法为支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于含思维导图梳理知识，例题按基础、中档、拔高分层，结合高考真题培养逻辑推理与直观想象。学生可通过变式练习深化思维，教师能依托一体化资源提升教学效率。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第二章 圆与方程 本节研究圆与圆的五种位置关系，借助圆心距与两圆半径的大小关系判定位置，会求两圆公共弦，运用数形结合思想解决相关几何问题。 2.3 圆与圆的位置关系 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括105张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 圆与圆的位置关系及判断方法 位置关系 图示 交点个数 判断方法 几何法 代数法 相离 外离 0 内含 教材帮 返回目录 4 位置关系 图示 交点个数 判断方法 几何法 代数法 相切 外切 1 内切 相交 2 续表 教材帮 返回目录 5 说明为两圆的圆心距,,分别为两圆半径, 为联立两圆方程消去一个参数 后的一元二次方程的根的判别式. 特别提醒 （1）当时，两圆不会出现内切或内含的情况.若两圆的圆心距 且 ，则两圆重合. （2）利用代数法判断两圆的位置关系时，方程无解或是只有一解时两圆的位置 关系不确定，因此还需要结合其他条件进行判断.此时可以将其中一个半径较小的圆 的圆心坐标代入另一个圆的方程中，通过判断此圆心在另一圆的圆内还是圆外，从 而得到两圆确切的位置关系.#1.1.2 教材帮 返回目录 6 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P68例1（1）］ 圆 与圆 的位置关系是______. 外离 教材帮 返回目录 7 【解析】 圆与圆的圆心距 ，故两圆 外离. 将两圆的方程联立，得方程组 即 消去, ， 得 ， 将其代入圆的方程中，消去得 ， 教材帮 返回目录 8 所以 ， 所以方程无实数解，即两圆相离. 因为两圆半径长相等，所以不会出现内含的情况，故两圆外离. 点评 由本例我们可以看出实际解题时要优先选用几何法. . . 教材帮 返回目录 知识点2 相交两圆的公共弦 1 两圆相交时公共弦所在直线的方程 由圆和圆 的方程联立方程组得到如下结论: 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 两个圆没有公共点 两个圆有且只有一个公共点 两个圆有两个公共点 外离 内含 外切 内切 相交 ,（只有当两圆方程中二次项系数相同时，才可相减）得 ③. 若圆与圆 相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程. . . 教材帮 返回目录 10 拓展延伸 两圆方程相减所得方程的意义 当圆<m></m>与圆<m></m>相交时，方程③为相交两圆公共弦所在直线的方程，当两圆不相 交时，方程③表示的直线在哪里呢？ （1）当两圆相切（外切或内切）时，方程③表示的直线为相切两圆的公切线, 如图2.3-1. 图2.3-1 图2.3-2 教材帮 返回目录 11 （2）当两圆外离或内含时，方程③表示的直线为到两圆的切线长相等的点的轨 迹,如图2.3-2. （3）方程③表示的直线总与两圆的连心线（两圆的连心线即两圆的公共对称轴） 垂直. . . 教材帮 返回目录 12 2 两圆公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立得方程组，由此解出两交点的坐标，再利用两 点间的距离公式求公共弦长.（【另法】求出公共弦所在直线方程，将公共弦所在直 线方程与其中一圆的方程联立消元，解出两交点的坐标，再利用两点间的距离公式 求出公共弦长） （2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦 的距离，利用勾股定理解直角三角形，求出公共弦长. 特别提醒（1）求公共弦长时，几何法比代数法简单且易求. （2）两圆的公共弦被两圆圆心的连线垂直平分. 教材帮 返回目录 13 学思用·典例详解 例2-2 ［教材改编P71 T6］ 圆和圆 的公共弦长 为____． 教材帮 返回目录 14 【解析】 由 解得或 则两圆的交点坐标为， ， 故公共弦长 . 教材帮 返回目录 15 得两圆公共弦所在直线的方程为 . 圆的圆心到该直线的距离 . 设公共弦长为，则 . 教材帮 返回目录 16 例2-3 (2026·天津市民族中学月考)若圆 与圆 的公共弦的长为，则 ___，公共弦所在直线方 程为_______. 1 【解析】两圆的方程相减，得，即，又 ，结合图象 （图略），可知，所以 . 教材帮 返回目录 17 例2-4 求到两圆,的切线长相等的点 的轨 迹方程. 【解析】圆的圆心为,半径 , 圆的圆心为,半径 , 由 知两圆外离. 设 ， 则由题意得 , 即 , 化简得 ,（该轨迹方程恰是将两圆方程相减所得） 此即点 的轨迹方程. . . 教材帮 返回目录 18 释疑惑 重难拓展 知识点3 两圆的公切线 1 两圆的位置关系与公切线条数的关系 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 当两圆的位置关系（判断两圆公切线的条数实质上就是判断两圆的位置关系） 不同时，公切线的条数也不同. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 切线图示 切线条数 4 3 2 1 0 . . 教材帮 返回目录 19 2 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线的方程为 ，由两圆心到直 线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的两个方程解出, 的 值，从而得到公切线的方程. （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切 线的方程. （3）两圆外（内）切时，两圆方程相减消去二次项得到直线方程，是两圆的外 （内）公切线方程. 教材帮 返回目录 20 学思用·典例详解 例3-5 在平面直角坐标系中,点和点到直线 的距离分别为1和2,则符合条 件的直线 的条数为___. 4 【解析】将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题.若点 到某一直线的距离 为1，则该直线可以看作以点为圆心，1为半径的圆的切线，同理，若点 到某 一直线的距离为2，则该直线可以看作以点 为圆心，2为半径的圆的切线，故符合条 件的直线即为两圆的公切线. 教材帮 返回目录 21 如图2.3-3， ,两圆外离,满足要求的公切线有4条. 图2.3-3 教材帮 返回目录 22 知识点4 圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程称为圆系方程.常见的圆系 方程有以下几种. （1）同心圆系方程：（（定值. ））（（定值. ）） （参数.） . （2）半径相等的圆系方程:（（参数.））（（参数.）） （定值. ） . （3）过直线与圆 交点的圆系方程： . . . . . . . . . . . . . 教材帮 返回目录 23 （4）过两圆 和 交点的圆系方程： （ ） （当时，方程为一条直线，其几何意义详见知识点2）（不含有圆 ，因此注 意检验圆 是否满足题意）.#1.4 . . 教材帮 返回目录 学思用·典例详解 例4-6 已知一个圆经过直线与圆 的两个 交点，并且有最小面积，求此圆的方程． 【解析】可设所求圆的方程为 ，即 ，则该圆的圆心坐标为 . 当该圆的圆心在直线 上时，圆的半径最小，从而面积最小， 即,解得 ,则所求圆的方程为 . 教材帮 返回目录 25 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 圆与圆的位置关系问题 1 圆与圆的位置关系的判断 例7 ［教材改编P70 T1（2）］ 判断圆 与圆 的位置关系. 返回目录 26 返回目录 27 【解析】 （几何法） 把圆 的方程化为标准方程，得 ，那么圆的圆心坐标为，半径 . 把圆的方程化为标准方程，得，那么圆 的圆心坐标为 ，半径 . 圆和圆的圆心距，且 ， ， 而，即 , 所以两圆的位置关系是相交. 返回目录 28 （代数法） 将两圆的方程联立,得到方程组 由得 ③，由③得 ，把此式代入①，整理得 ④， 显然方程④有两个不相等的实数根, . 所以圆与圆 有两个不同的公共点，即两圆的位置关系是相交.（【另解】也可由 ③得,将此式代入①，整理得 ,利用方程根的判别式来判断圆 与圆 的位置关系） 返回目录 29 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 （1）将两圆的方程化为标准方程（若已是标准方程，此步骤不需要）； （2）分别求出两圆的圆心坐标和半径, ; （3）求两圆的圆心距 ; （4）比较与, 的大小关系； （5）根据大小关系确定位置关系. 说明 由于利用代数法较烦琐，且当及 时无法直接判断两圆位置关系， 因此我们一般用几何法判断两圆位置关系. 返回目录 30 2 由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围 例8 (2026·福建省厦门实验中学期中)若圆 与圆 相切，则 等于( ) C A.16 B.7 C. 或16 D.7或16 返回目录 31 【解析】圆的圆心为 ,半径为1； 圆化为 , 圆心为，半径为 . 由题意，两个圆内切（两圆相切包括内切与外切，因此需进行分类讨论，切勿忽略） 时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值，可得 ，解得 , 两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可得,解得 . 综上，的值为 或16. . . 返回目录 32 根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式， 求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 返回目录 33 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题] 已知圆与圆 外 切，则 的值可以为( ) AC A. B. C.2 D.5 【解析】 圆与圆 外切， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径 ， ，解得或 ． 返回目录 34 3 由圆与圆的位置关系求圆的方程 例9 求与圆相切于点,且半径为1的圆 的方程. 【解析】 由圆,知圆心为,则过点 和圆心的直线的方程为 . 设所求圆的圆心坐标为 ,（切点在两圆圆心连线上） 由,即，得或 , 故所求圆的方程为或 . . . 返回目录 35 设所求圆的圆心为 , 则 ①. 若两圆外切，则有 ， 联立①②解得, , 故所求圆的方程为 . 若两圆内切，则有 ， 联立①③解得, , 故所求圆的方程为 . 综上，所求圆的方程为或 . 返回目录 36 名师点评 （1）方法2是解两圆相切问题的通用方法，注意两圆相切时可能内切也可 能外切，要考虑全面. （2）一般将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值 （内切时）或两圆半径之和（外切时）进行求解． 返回目录 37 【学会了吗丨变式题】 2.新考法 开放探究 (2026·重庆市复旦中学期中)已知圆 ， 试写出一个半径为1，且与轴和圆 都相切的圆的标准方程： _________________________________________. （答案不唯一） 图D 2.3-1 【解析】如图D 2.3-1所示，圆的圆心为 ，半径为2.所求 圆半径为1且与轴相切，故所求圆圆心的横坐标为1或 ，满足 题意的圆共有四个. 设与圆内切的圆的圆心 ,则 ,解得 , 故圆的标准方程为 . 返回目录 38 设与圆外切的圆的圆心,则,解得 , 故圆的标准方程为 . 现计算圆心横坐标为1且与圆 外切的两个圆的方程. 设圆心，则 , 整理得,解得 . 由对称性可知，的两解即, 的纵坐标. 因此，满足题意的圆共有四个， , , , ,选择其中一个即可. 返回目录 题型2 两圆的公共弦问题 例10 ［教材改编P70 T5］ 求两圆 和 的公共弦所在直线的方程及公共弦长. 返回目录 40 【解析】联立两圆的方程得方程组 两式相减（必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解）得 ，此即两圆公共弦所在直线 的方程. 设两圆相交于点，，则， 两点满足方程组 解得或 所以 ， 即公共弦长为 . . . 返回目录 41 将圆 化为标准方程，得 ，其圆心坐标为，半径，圆心 到直线 的距离为 . 设公共弦长为,则由勾股定理得,即，解得 ，故 公共弦长 . 返回目录 42 例11 已知圆的圆心在轴上，半径为1，且过点 ，圆 ，则圆， 的公共弦长为( ) A A. B. C. D.2 【解析】设圆的方程为，代入点 的坐标得 ，解得，故圆的方程为 ，化为一般方程为 ，圆的一般方程为 ，两圆方程作 差得，点到直线的距离为 ， 则圆，的公共弦长为 ． 返回目录 43 求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆公 共弦所在直线的方程，再利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”求解. 返回目录 44 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·贵州省贵阳市期中)已知圆 与圆 相交于，两点，则公共弦 的长为_____；经 过， 两点且面积最小的圆的标准方程是______________________． 返回目录 45 【解析】由两圆方程相减，得，此即公共弦 所在的直线的方程． 将圆的方程化为标准方程，得,那么圆心 ，半 径 ， 又到直线的距离为 ， 所以公共弦的长为 . 过，且面积最小的圆就是以为直径的圆.将圆 的方程化为标准方程，得 ,那么圆心,所以直线的方程为 . 由题意知，直线和直线 的交点即所求圆的圆心. 由解得所以所求圆的圆心，半径 ， 故所求圆的方程为 . 返回目录 46 题型3 两圆的公切线问题 1 两圆公切线的条数问题 例12 ［教材改编P70 T3］ 已知圆 和圆 ，两圆的公切线有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【解析】圆的圆心为，半径 ；圆 的圆心为，半径 . 圆心距 , 两圆外切， 两圆有3条公切线. 返回目录 47 判断两圆公切线的条数的基本思路 先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定公切线的条数：（1）两圆内切时，有1 条公切线；（2）两圆外切时，有3条公切线；（3）两圆相交时，有2条公切线；（4） 两圆内含时，无公切线；（5）两圆外离时，有4条公切线. 返回目录 48 2 求两圆公切线的方程 例13 已知两圆， ，则两圆的位置 关系为______，两圆的公切线方程为________________（用一般式表示）. 内切 返回目录 49 【解析】由圆可得圆心，半径 ，由圆 可得， 圆心 ，半 径 . 圆心距，，, 两圆的位置关系为内切. 两圆内切， 两圆的公切线只有一条，且与两圆心连线所在直线垂直， 又两圆心连线所在直线的斜率为 ， 公切线的斜率为 . 设公切线的方程为 ， 圆心到公切线的距离为，圆心到公切线的距离为 ， 返回目录 50 解得 ，（切点到圆心的距离等于半径长） 公切线的方程为 ． 返回目录 在求两圆的公切线时,首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止 漏解；其次，要判断公切线的斜率不存在时是否符合题意;然后设公切线的斜率存在 时公切线方程为 ,利用两个圆的圆心到公切线的距离等于相应的半径,得到 关于,的方程组，求出, 的值,即可得到公切线的方程. 返回目录 52 【学会了吗丨变式题】 4.求圆与圆 的公切线的方程. 【答案】如图D 2.3-2，易知两圆相交，公切线有两条. 图D 2.3-2 将圆的方程化为标准方程，得,得，半径 . 设两圆的公切线与圆相切于点,则公切线方程为 . 返回目录 53 点 到公切线的距离等于3, . ,且，，即 ，从而 . 故公切线方程为或 , 即或 . 返回目录 题型4 与两圆位置关系有关的最值问题 例14 已知点在圆上，点 在圆 上，则 的最大值是____. 10 【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径， 圆上，其圆心为，半径 ，则 ， 则的最大值为 . 返回目录 55 两圆相离时的最值结论 两圆相离分为外离和内含，要先判断出两圆的位置关系.设圆,圆 的半径分别为 , （不妨设,,分别是圆,圆 上两个动点， 则当两圆外离时，的最大值为，的最小值为 . 当两圆内含时，的最大值为,的最小值为 . 返回目录 56 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·河北省石家庄市期中)已知点是圆上任意一点，点 ，点 ，点满足，则 的最小值为___. 2 【解析】设，由 可得， ， 化简得，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为 ，半径为2. 又点在圆上，两圆的圆心距为 ，所以两圆外离， 故的最小值为 . 返回目录 57 题型5 圆系方程的应用 例15 ［教材改编P71 T4］ 求圆心在直线 上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程. 返回目录 58 【解析】 由 解得或 故两圆和的交点分别为, , 则,连线的中点的坐标为，且直线 的斜率为1， 所以线段的垂直平分线的方程为 . 由解得 所以所求圆的圆心坐标为 ， 半径 ， 所以所求圆的方程为 . 返回目录 59 同方法1求得,,设所求圆的方程为 , 由解得 所以所求圆的方程为 . 设所求圆的方程为 ,化 简可得,故其圆心的坐标为 . 又在直线 上, 所以，解得 , 故所求圆的方程为 . 返回目录 60 求过两圆交点的圆的方程的三种方法 （1）先求出两圆交点的坐标，再利用圆的几何性质确定圆心坐标和半径. （2）由题意设出所求圆的方程，再根据条件列关于参数的方程（组），最后求出圆 的方程. （3）利用圆系方程求解，步骤如下： ①设出圆系方程；②将圆系方程化成需要的形式（一般方程或标准方程）；③根据 其他条件将圆系方程中的参数求解出来；④写出圆的方程. 返回目录 61 【学会了吗丨变式题】 6.求以圆和圆 的 公共弦为直径的圆 的方程. 返回目录 62 【答案】 联立两圆的方程得方程组 相减得公共弦所在直线的方程为 . 再由解得或 则两圆交点分别为， . 所求圆以公共弦为直径， 圆心是公共弦的中点 ，半径 . 故圆的方程为 . 返回目录 63 由方法1可知公共弦所在直线的方程为 .设所求圆的方程 为 ,整理得 , 可求得圆心 . 圆心 在公共弦所在的直线上， ，解得 . 故圆的方程为 . 返回目录 64 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 圆与圆的位置关系在高考中以选择题和填空题为主，难度中等，多考查两圆公切线、 两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程等问题. 核心素养：逻辑推理（两圆位置关系的判断、公切线条数的判断等），直观想象 （根据题干画图分析求解等）. 返回目录 65 考向1 两圆的公切线 例16 (2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆和 都相切 的一条直线的方程_________________________________________________________ ___________________________________. 或或（注意只需从这 三条公切线的方程中挑一个作答即可） 返回目录 66 图2.3-4 【解析】 （通解） 如图2.3-4，因为圆 的 圆心为，半径，圆 的圆 心为，半径 ， 返回目录 67 所以,，所以 ， 所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线的方程为 . ②另一条公切线与公切线关于过两圆圆心的直线 对称. 易知过两圆圆心的直线的方程为 ， 由得 由对称性可知公切线过点 ， 设公切线的方程为 ， 返回目录 68 则点到 的距离为1， 所以，解得 ， 所以公切线的方程为 ， 即 . ③还有一条公切线与直线 垂直， 设公切线的方程为，易知，则点到 的距离为1， 所以，解得或 （舍去）， 返回目录 所以公切线的方程为，即 . 综上，所求直线方程为或或 . （几何直观） 根据几何直观求解.由圆心和半径的关系可知， 既是圆 的切线，也是圆的切线，故 为所求. （画出比较规范的草图也可从图形中直观得出结论） 返回目录 命题探源 试题背景来源于教材，考查了圆与圆的位置关系等.试题具有很好的开 放性，考生可以用通性通法求解，但是其中部分计算会比较复杂. 素养探源 素养 考查途径 逻辑推理 由圆与圆的位置关系推出切线的数量与位置. 直观想象 由圆的方程画出比较规范的草图. 提分探源 利用几何直观去分析问题，作出两圆，由图形可快速看出直线 是两圆的一条公切线. 返回目录 71 考向2 两圆的公共弦 例17 (全国Ⅰ卷)已知,直线,为 上 的动点.过点作的切线，，切点为,,当最小时，直线 的方程 为( ) D A. B. C. D. 【解析】由 ①，得 ， 所以圆心的坐标为 ． 返回目录 72 图2.3-5 如图2.3-5，连接,,易知四边形的面积为 ， 欲使最小，只需四边形 的面积最小，即只需 的面积最小.因为，所以只需 最小． 又 ， 所以只需直线上的动点到 的距离最小，其最 小值为，此时 , 易求出此时直线的方程为 . 由得所以 . 易知，，，四点在以 为直径的圆上， 返回目录 73 所以以为直径的圆的方程为 ，即 ②， 由①②得，当最小时，直线的方程为 ． 返回目录 高考新题型专练 1.［多选题] (2026·江苏省南京田家炳高级中学月考)已知圆 和圆的交点为， ，则 ( ) ABD A.两圆的圆心距 B.圆上存在点，圆上存在点，使得 C.圆上存在两点和,使得 D.圆上的点到直线的最大距离为 返回目录 75 【解析】圆的圆心，半径 ，圆 的圆心，半径 ，两圆方程相减得两圆的公 共弦所在的直线为，可得圆心在直线 上. A中，两圆的圆心距 ，所以A正确； B中，两圆上的点的距离，即 ，而 ，所以圆上存在点，圆上存在点，使得 ， 所以B正确； C中，易得公共弦所在的直线过圆的圆心，即公共弦为圆的直径，所以圆 上不存在和,使得 ，即C不正确； D中，圆心到直线的距离，所以圆 上的点到 直线的最大距离为 ，所以D正确． 故选 ． 返回目录 76 2.新考法 结构不良已知圆满足____，圆 ． ①圆心在直线上,且过点, ; ②圆心在轴上，半径为，且圆关于直线 对称. 在①②这两个条件中任选一个，填在横线上，并解答下列问题： 返回目录 77 （1）求圆 的标准方程； 【答案】选①. 设圆心 ， 则，解得 ， 此时圆的半径为 ， 所以圆的方程为 . 选②. 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，又圆心在 轴上， 所以圆心为，又半径为 ， 所以圆的方程为 . 返回目录 78 （2）求圆与圆 的公共弦长； 【答案】由（1）知圆 ，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ,化简得 ， 圆的圆心到直线的距离 ， 所以所求公共弦长为 ． 返回目录 79 （3）求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程． 【答案】设过两圆的交点的圆的方程为 ， ， 即， . 由圆心在直线 上， 得，解得 ， 所以所求圆的方程为 ． 返回目录 80 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.[教材改编P70 T3](2026·福建省厦门第一中学段考)圆 与圆 的公切线条 数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】圆，圆心为，半径 ，圆 ，圆心为，半径 ， ，， 两圆相交． 公切线有2条． 返回目录 81 2.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线 的方程 为( ) A A. B. C. D. 返回目录 82 【解析】 设圆的圆心为，过点及点， 的圆 为圆，连接,则线段为圆和圆的公共弦.连接,，由，为圆 的 切线可知，，,所以为圆的直径，得，圆 的半径 , 故圆的方程为 ①， 又 ②， 所以得，即直线 的方程． 由平面几何知识，知直线一定与点, 的连线垂直，这两点连线 所在直线的斜率为，故直线的斜率一定是，只有选项A中直线的斜率为 ,故 选A. 返回目录 83 3.(2026·河南省郑州市期中)已知圆 ，圆 ，若圆与圆有公共点，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】圆的方程可化为，则圆心为，半径 ； 圆的方程可化为，则圆心为，半径 圆 与圆有公共点， ，即 ， 解得 . 返回目录 84 4.[教材改编P70 T1][多选题]已知，圆 ，圆 ，则两圆的位置关系可能为( ) ABC A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 【解析】 圆的圆心，半径 ，圆 的圆心，半径，, 两圆 可能相交，可能外切，可能外离，故选 ． 返回目录 85 5.［多选题］圆和圆的交点为， ， 则( ) ABD A.公共弦所在直线的方程为 B.线段中垂线的方程为 C.公共弦的长为 D.两圆圆心距 返回目录 86 【解析】对于A，由与 ，两式作差可得 ，即， 公共弦所在直线方程为 ，故A正确； 对于B，圆的圆心为， 的圆心为 ，则两圆心连线的斜率为，的中垂线方程为 ， 即 ，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，又圆 的半径为1，则 ，故C错误； 对于D，圆心距为 ，故D正确． 故选 ． 返回目录 87 6.过原点且与直线及圆 相切的圆的方程为 _ _______________________． 【解析】设所求圆的方程为 ， 由题意可知，此圆与已知圆只能外切，则有 解得 故所求圆的方程为 ． 返回目录 88 7.(2026·江苏省无锡市湖滨中学期中)已知圆 和 ． （1）取何值时与 内切？ 【答案】圆,即 ，可得圆心 为，半径 ． 圆，即 ,可得圆心 为，半径 ． 若两圆与内切，因为圆的半径 小于两圆圆心距 ，故 ， 解得 ． 返回目录 89 （2）求 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】圆与圆 的方程相减可得 ， 所以时两圆的公共弦所在直线的方程为 ，即 ， 圆心到直线的距离 ，则公共弦的长 ． 返回目录 90 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 8.[教材改编P71 T6](2026·天津益中学校调研)已知圆 和圆 的一条公切线方程为 ，则两个圆的公共弦 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意知，圆的圆心到切线的距离 , 圆的圆心到切线的距离 ,即 , 所以圆和圆的公共弦所在直线的方程为 , 则公共弦长为 . 返回目录 91 9.[多选题]已知圆与圆 相交于， 两点，则( ) ABC A.的面积为 B.直线的方程为 C.在经过，两点的所有圆中， 的面积最小 D.若是圆和圆边界及内部的一点，则 返回目录 92 【解析】由，得标准方程为 ， 由，得标准方程为 ，则 ，， . 对于B,直线的方程为 ，即 ，故B正确； 对于C,因为在直线上，故在经过，两点的所有圆中， 的面积最小，故C正确； 对于A，联立直线与 的方程，得 ，，则，又为 的高，所以 的面积为 ，故A正确； 对于D,由于点在两圆的内部，但无意义，故D错误．故选 ． 返回目录 93 10.[多选题](2026·江苏省启东中学月考)曲线 是一条形状 优美的曲线，则( ) ABC A.曲线上两点间距离的最大值为 B.若点在曲线内部（不含边界），则 C.若曲线与直线有公共点，则 D.若曲线与圆有公共点，则 返回目录 94 【解析】当,时（, 均含绝对值，因此要分情况去掉绝对值符号）， ， 曲线是圆心为，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， 当,时，，曲线是圆心为 ，半径 的圆的一部分， . . 返回目录 95 图D 2.3-1 作出曲线 如图D 2.3-1所示. 对于A，连接，曲线在第一象限内的点到原点 的距离的最 大值为，根据对称性，可得曲线 上两点间距离 的最大值为 ，故A正确； 对于B，因为点在曲线内部，所以点 在圆 的内部，因此 ，解得，即 ，故B正确； 返回目录 96 对于C，由曲线的图形知,若曲线与直线有公共点，则点 到直线 的距离或点到直线 的 距离，因此或 ，解得 或，所以 ，故C正确； 对于D，由曲线 与坐标轴的交点为 ，，当圆 过 点，时，最小，最小值为 ， 由曲线的图形及选项A知,若曲线与圆 有公共点，则 ，故D错误.故选 . 返回目录 11.若圆与圆相交于， 两点，且两 圆在点处的切线互相垂直，则线段 的长为___． 4 图D 2.3-2 【解析】连接，记与的交点为 ， 如图D 2.3-2所示，在 中， ， ， ， ， . 返回目录 98 12.(2026·河南省南阳市六校联考)已知圆 ，圆 ,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 ，则 曲线 的方程为_ __________________. 【解析】由已知，得圆的圆心为,半径，圆的圆心为 ,半径 . 设动圆的圆心为，半径为 圆与圆外切并且与圆 内切， . 由两点间的距离公式，得 ，即 ，两边平方后化简，得曲线 的方程为 . 返回目录 99 13.(2026·江苏省前黄高级中学段考)已知圆，点 是直线 上的一动点，过点作圆的切线,，切点为， . （1）当切线的长度为时，求点 的坐标. 【答案】由题意知，圆的半径,，设 . 是圆的一条切线， ， ， 解得或,或 . 返回目录 100 （2）若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆 是否过定点？若 是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】设, ， 经过，，三点的圆以 为直径， 以点, 的中点为圆心， 圆的方程为 ， 即 , 由解得或 故圆过定点, . 返回目录 101 （3）求线段 的最小值. 【答案】由（2）知，圆方程为 , 即 ①, 圆,即 ②, 得，圆与圆的相交弦 所在的直线方程为 , 点到直线的距离 , , 故当时，有最小值，最小值为 . 返回目录 102 C 培优练丨能力提升 14.(2026·江苏省无锡市怀仁中学月考) 与 相交于点，线段是圆 的一条动 弦，且，则 的最大值为( ) B A. B. C. D. 返回目录 103 【解析】依题意得圆的圆心为，半径 ， 直线恒过点，直线恒过点 ， 因为，所以，则，即 ， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点坐标为 ， ， 故点的轨迹为圆，但是不包括点.（因为直线 斜率 一定存在且直线斜率不为0，所以交点的坐标不可能为 ） . . 返回目录 104 图D 2.3-3 如图D 2.3-3，设弦的中点为，则 ， 连接，,由 ，易知 ， 故点在以 为圆心，半径为1的圆上， ， 当最大时，,,, 四点共线， 即 , 所以 . 返回目录 105 $