3.1.2 椭圆的几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率等基础内容，延伸通径、焦半径及第二、三定义，通过表格对比焦点位置差异，结合三角换元衔接参数意义，构建从定义到应用的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，用思维导图整合知识框架，典例详解融入高考真题（如嫦娥四号轨道情境）培养数学眼光，分层练习（基础、中档、拔高）训练逻辑推理与数学运算，助力学生提升解题能力，教师可依托一体化资源高效教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第三章 圆锥曲线与方程 本节学习椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握参数的几何意义，会利用性质分析、求解椭圆相关问题。 3.1.2 椭圆的几何性质 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括152张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 教材帮 返回目录 4 范围 , , 对称性 关于轴、 轴对称，关于原点对称 顶点 , , , ,,, 轴长 长轴长,短轴长 离心率 续表 教材帮 返回目录 5 知识剖析 有关椭圆的注意点 1.在处理椭圆的一些参数问题或最值问题时要注意, 的取值范围.此时可对椭圆 上的点的坐标进行三角换元，若焦点在轴上，则设 ,其中 . 2.椭圆的中心是以两焦点为端点的线段的中点，对称轴分别是两焦点的连线所 在的直线和以两焦点为端点的线段的垂直平分线.#1.1.1.2 教材帮 返回目录 6 由椭圆的四个顶点作出椭圆焦点的几何方法 文字说明 图例说明 以短轴顶点或 为 圆心，以长半轴长 为半径画弧， 与长轴的两个交点即椭圆的两个焦 点 教材帮 返回目录 7 椭圆“扁”的程度与离心率的关系 由,得 0 1 1 0 圆 椭圆 扁 在内，随着 的增大，椭圆越来越扁 注意：椭圆的扁平程度仅由离心率 的大小确定，与椭圆的焦点位置无关. 教材帮 返回目录 8 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P93 T5（1）］若椭圆的对称轴是坐标轴,长轴长为10,焦距为6,则 椭圆的方程为( ) C A. B. C.或 D.以上都不对 【解析】椭圆的对称轴是坐标轴,长轴长为10,焦距为6,可得, ,则 ,所以椭圆的方程为或 . 教材帮 返回目录 9 【想一想丨归纳总结】 ,, 三者的几何意义 图3.1.2-1 是长半轴长，是短半轴长， 是焦距的一半，称为半焦距.如图3.1.2-1,因为 ，所以短轴端点与焦点连线的长也为 . 教材帮 返回目录 10 例1-2 ［多选题］已知椭圆的离心率为，则 的值为( ) BC A. B. C.21 D. 【解析】若焦点在 轴上（椭圆焦点的位置不确定，一定要进行分类讨论），则 ，，则，由，即，得；若焦点在 轴上，则，，则，由，即，解得 . . . . . . . 教材帮 返回目录 11 释疑惑 重难拓展 知识点2 椭圆的几何性质的拓展 1 椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，对于椭圆 的标准方程，可求出椭圆的通径长为.（无论焦点在轴上，还是 轴上，通径长均 为 ） 证明：在椭圆中，令，得 ，则 ， ,, 通径长为 . 同理，在椭圆中，令,也可求得通径长为 . . . 教材帮 返回目录 12 2 椭圆上到中心距离最远和最近的点 设点为坐标原点（方程为标准方程的椭圆的中心），点 为椭圆 上任意一点，则 . , 当时，有最小值，这时点 在短轴的端点处；当 时，有最大值,这时点 在长轴的端点处.即椭圆上的点到中心的距离的最 大值为（长半轴长）,最小值为 . （短半轴长） . . . . . . . . . . . . . . 教材帮 返回目录 13 3 焦半径 焦点位置 焦点在 轴上，左、右焦点分 别为, 焦点在 轴上，上、下焦点分 别为, 标准方程 椭圆上任意一点 到焦点的 距离（焦半径） , , 最大值，最小值 （最值在长轴端点处取得） 教材帮 返回目录 14 下面以椭圆焦点在 轴上为例进行证明. 证明：,即 , 所以 . 由知,即 . 当,即点为右端点时， ,为最大值; 当,即点为左端点时， ,为最小值. 同理可得 . , .#1.1.1.2.1 教材帮 返回目录 15 知识延伸 （1）对于椭圆上的点，随着点 从长轴端点向短轴端点的移动而 逐渐变大，当点在短轴端点时， 最大. 可与3.1.1节例13结合进行理解. （2）由,,知.又 ,故 （当且仅当，即点 在短轴端点时取得）, （当且仅当,即点 在长轴端点时取得）. （3）,又 ,所以 （当且仅当,即点 在长轴端点时取得）, （当且仅当,即点 在短轴端点时取得）. 教材帮 返回目录 16 学思用·典例详解 例2-3 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过 且垂直于长轴的直线交 椭圆于，两点，则的面积为___； 内切圆的半径为__. 3 【解析】由椭圆的通径公式得，则，而 的周长，设内切圆的半径为,由得 . 教材帮 返回目录 17 例2-4 已知椭圆的标准方程为,则椭圆上的点到椭圆中心的距离 的取 值范围为( ) C A. B. C. D. 教材帮 返回目录 18 【解析】设点,则 . 由椭圆的范围，知, . 点 在椭圆上， , , . ，， . 设 , , （椭圆的参数方程） ，则 , 因为，所以 . . . 教材帮 返回目录 19 图3.1.2-2 例2-5 某段时间空间站在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球的 中心在椭圆的一个焦点上，如图3.1.2-2所示，假设航天员到地球 的最近距离为，最远距离为，地球的半径为 .我们想象存在 一个镜像地球，其中心在空间站运行轨道的另外一个焦点处，有 【解析】依题意设椭圆的方程为，半焦距为 ，两焦点分别为 ，，运行中的航天员为点，由已知可得则 ， 故神秘信号传送的最短距离为 . 一不明物体不断发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到， 则神秘信号传送的最短距离为________. 教材帮 返回目录 20 知识点3 椭圆定义的拓展 1 椭圆的第二定义 椭圆的标准方程变形可得到 ，其中式子 表示点到定点的距离，式子表示点 到定直线 的距离.考虑到椭圆的对称性，还可以得到 . 于是动点的集合可以描述为,，即平面内到一定点 （椭圆的焦点）的距离和到定直线 （我们称直线为椭圆的准线）不在上 的距 离的比是 一定值为椭圆离心率的点 的轨迹是椭圆. . . . . 教材帮 返回目录 21 知识剖析 由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下. （1）椭圆的准线方程为 ; 椭圆的准线方程为 . （2）两准线间的距离为,焦点到相应的准线的距离为 . 教材帮 返回目录 22 2 椭圆的第三定义 当时，对椭圆的标准方程变形可得， ，即 ，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点（定点为长轴的顶 点）连线所在直线的斜率之积为定值（定值为，为离心率）的点 的轨迹是 除去两个定点的椭圆. 用集合可描述为,,其中,分别表示点 与两 定点,连线所在直线的斜率，为离心率 . . . . . 教材帮 返回目录 23 教材深挖 POINT 第二定义是对教材第93页【习题3.1（2）】第14题的深挖.同时在教材第118页给出了 圆锥曲线的统一定义.第三定义是对教材第87页【习题3.1（1）】第13题的深挖. 注意 椭圆的第三定义中的定点在 轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方 程不包括这两个定点. 教材帮 返回目录 24 学思用·典例详解 例3-6 过椭圆的左焦点作一直线交椭圆于， 两点，若线 段与的长分别为,,则用, 表示为( ) C A. B. C. D. 图3.1.2-3 【解析】如图3.1.2-3所示，设 ， 为左准线 ，点,在上的射影分别为点和,点,在 轴上 的射影分别为点和，与轴的交点为，点 坐标为 . 则 . 教材帮 返回目录 25 由椭圆的第二定义知 , 则 . . 同理, . . 点评 “, ”是非常有用的另一个焦半径公式，且 . 教材帮 返回目录 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 椭圆的离心率问题 1 求椭圆的离心率 例7 (2026·吉林省通化市梅河口市第五中学月考)椭圆 的两焦 点为,，以 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆 的离心率为________. 返回目录 27 图3.1.2-4 【解析】 如图3.1.2-4,连接,为正三角形， 为的中点， ， ， , 由椭圆的定义可知 , ， ， . 注意到在焦点三角形中， , , ，则由离心率的三角形式，可得 . . . 返回目录 28 名师点评 离心率的三角形式 ，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，在中，设, , , , ,则 ，于是对于椭圆，考虑 到,则 ，由于 ， 所以 . 返回目录 29 求椭圆离心率的两种角度 角度 方法 注意点 从,, 三者的等 量关系出发 , 充分利用椭圆的定 义，及图形的直观性 来解决问题 从焦点三角形的 角度出发 （离心率的三角 形式） 若 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，椭 圆的左右焦点分别为, ,记 ， ， ，则离心率 需要放在焦点三角形 中，已知三角形的两 个内角来求解离心 率，在选择题、填空 题中可快速求解 返回目录 30 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·贵州省贵阳市第一中学期中)已知椭圆 ，焦点 ,.若过的直线和圆 相切，与椭圆在第一 象限交于点,且 轴,则该直线的斜率是_ ___，椭圆的离心率是___. 返回目录 31 【解析】设过的直线与圆的切点为，圆心,连接,则, ， 所以 , 所以该直线的斜率 . 因为轴，所以 ， 又，所以，整理得 ,即 ,得 . 返回目录 32 2 求椭圆离心率的取值范围或最值 母题 致经典·母题探究 母题探源 由焦点三角形内角求解离心率 由教材第93页【习题 】第12题和离心率的三角形式，可知椭圆的离心率与焦 点三角形的内角密切相关，因此，由离心率的三角形式 及三角形内蕴 方程 ，可知，所以如果已知 ，我们就可以直接 求出离心率的范围. 返回目录 33 例8 (2026·陕西省安康市期末)若椭圆上存在一点 ，使得 ,分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率 的取值范围为 _ ______. , 返回目录 34 【解析】 设点的坐标是，则 . ,,, . ，， . 又, , 即, ,, ， 又,故椭圆的离心率的取值范围是, . . . 返回目录 35 设点的坐标是,同方法1可得 , 则消去，得 . , 由①得,即 , ， . 又, . 由②得 ,此式恒成立. 综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是, . 返回目录 36 （优解） 设椭圆与轴的一个交点为 ， 椭圆上存在一点，使 , ,则 , ,, , 又, 椭圆的离心率的取值范围为, . 返回目录 37 在焦点三角形中，设 , , , ， . 离心率 ， 又 ， , .故 . 返回目录 38 子题 设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点 ，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 返回目录 39 图3.1.2-5 【解析】 如图3.1.2-5，由椭圆的性质可得，当点 为短 轴顶点时， 最大， 在椭圆上存在点，使 ， 则 ， 即 ， 又 ， 所以椭圆的离心率的取值范围为 . 返回目录 40 在焦点三角形 中, 设 , , , 则 ， . 所以离心率 ， 又 ，所以 ， 所以,故 . 返回目录 41 例9 已知椭圆的左、右焦点分别为点， ， 若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆 的离心率的最大值是 ( ) C A. B. C. D. 返回目录 42 【解析】设点的坐标为,则的面积为（底 高），因为 的内切圆半径为 ， 所以的面积还可表示为 ，（三角形周长 内切圆半径） 所以，所以，因为,所以 ,两 边平方得，而，所以 ，整理得 ，即，所以 ，解得 ． . . . . 返回目录 43 求解椭圆离心率取值范围的两种思路 思路一：寻找关于,, 的不等式 利用椭圆上的点的横、纵坐标、焦半径及角的取值范围等来构建不等式，从而求出 的取值范围. 思路二：使用离心率的三角形式 在题目中直接给出或可间接求得焦点三角形的内角时，可以利用离心率的三角形式 及三角形内蕴方程 求出 的取值范围. 返回目录 44 【学会了吗丨变式题】 2.椭圆的最大内接矩形面积的范围是， ，则椭圆离心 率的范围是( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】根据椭圆的对称性，不妨设矩形的一条对角线所在直线方程为 （假设），由解得，， 矩形的面积 ，当且仅当 时取等号， ，解得，， ． 返回目录 45 3.已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点 作垂直于轴的直线,若直线上存在点满足 ，则椭圆离心率的最大值 为__. 【解析】由题意可得，，直线的方程为 , 可设， ，由 ，当且仅 当时，上式取得等号，即有，化为 ， 可得，解得，由可得的最大值为 ． 返回目录 46 3 由椭圆的离心率求参数 例10 椭圆的离心率为,则 ______. 3或 【解析】由于题中没有明确指出焦点在哪个坐标轴上，所以要分焦点在 轴上与焦点 在轴上两种情况讨论：（初学者容易武断地认为焦点就在 轴上） 当焦点在轴上时，，，解得 ; 当焦点在轴上时,，，解得 . 综上，或 . . . . . 返回目录 47 题型2 椭圆的简单几何性质的应用 1 由椭圆的几何性质求椭圆方程 例11 (2026·北京市日坛中学测试)根据下列条件求椭圆的标准方程. （1）焦点在轴上，过点，离心率 ； 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以可设其标准方程为 ， 因为椭圆过点，离心率 ， 所以解得, ， 故椭圆的标准方程为 . 返回目录 48 （2）求经过点，且与椭圆 有相同离心率的椭圆的标准方程. 【解析】设所求椭圆方程为或 ,（离心率 ，因此两个椭圆无论焦点在轴上还是轴上，只要 （或 相等，它们的离心率就相等.故可如此设所求方程） 将点的坐标代入可得或，解得,，故 或，即所求椭圆的标准方程为或 . . . 返回目录 49 名师点评 与椭圆 有相同离心率的椭圆方程为 ，焦点在轴上或,焦点在轴上 . 易错警示 在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因 此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 返回目录 50 【学会了吗丨变式题】 4.已知椭圆的右顶点为 ，过其焦点且垂直于长轴的弦长 为1，则椭圆标准方程为_ __________． 【解析】因为椭圆的右顶点为，所以 .因为过焦点且垂直于长 轴的弦长为1,所以，，所以椭圆标准方程为 . 返回目录 51 5.(2026·江苏省淮阴中学月考)已知椭圆的两个焦点分别为, ，且与椭 圆有共同的离心率，求椭圆 的标准方程. 【答案】 椭圆的离心率 . 对于椭圆，因为焦点为和 ，所以焦距 ，所以 . 又椭圆的离心率，所以，故 ， 所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . 返回目录 52 由题意得椭圆的焦点在 轴上， 所以设椭圆的方程为 ， 所以，即 ， 又，所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . 返回目录 53 2 椭圆的简单几何性质的应用 例12（1）已知点为椭圆上一个动点，点的坐标为，则 的最 小值为___. 2 返回目录 54 【解析】 设点的坐标为 ， 则 , 因为点为椭圆 上一点， 返回目录 55 所以, ,（注意利用椭圆的范围） 则 , 因为,所以当时， . （三角换元） 设点的坐标为 , 则 , 又,故当时，取得最小值2，所以 的最小值为2. . . 返回目录 56 图3.1.2-6 （2）(2026·山东省济南市期中)如图3.1.2-6，把椭圆 的长轴（线段）分成8等份，过每个分点作 轴的垂线，分别 交椭圆于,,, ,七个点， 是椭圆的左焦点，则 ____. 35 【解析】由椭圆的对称性及定义，知 , ,, ,所以 . 因为 ,所以所求式子的值为35. 返回目录 57 返回目录 58 例13 (2026·江西省萍乡市上栗中学月考)如图3.1.2-7所示，椭圆 的左焦点为，，两点在椭圆上，且四边形 为菱形， 则该椭圆的离心率为________. 图3.1.2-7 返回目录 59 图3.1.2-8 【解析】由四边形为菱形，得 轴，由椭圆的对称性 得点,关于轴对称，连接，故 ,如图3.1.2-8. 设椭圆半焦距为，则，因此 是 正三角形，即 ， 则点的坐标为 ， 因为点在椭圆上，所以 ， 所以，即 ， 整理得，而 ， 解得 ， 所以该椭圆的离心率为 . 返回目录 60 对椭圆简单几何性质应用的注意点 1.求椭圆的相关量时，应先把椭圆方程化成标准方程，注意分清楚焦点所在的位置， 这样便于写出,的值，再根据求出 ，进而求出椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点的坐标等. 2.椭圆的对称性（椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形）是椭圆的几何性质中 较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解. 返回目录 61 【学会了吗丨变式题】 图3.1.2-9 6.(2026·黑龙江省实验中学月考)如图3.1.2-9，椭圆 的左、右焦点分别为,，过点, 分别作弦 ,.若，则 的取值范围为( ) C A. B. C., D., 返回目录 62 图 D 3.1.2-1 【解析】设点关于原点的对称点为 ，由椭圆的对称性， 得点 在椭圆上，如图D 3.1.2-1， 由,互相平分于点，得四边形 为平行四边形， 则且 ， 又且，所以点与点 重合， 因此 ， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径 ， 最长弦长为长轴长 ， 椭圆的通径长为，长轴长为 ， 由知，线段 与椭圆长轴不重合， 所以 . 返回目录 63 题型3 椭圆的最值问题 例14 (2026·天津市第四十七中学期中)已知椭圆 ，其短轴 长为2且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆 的两 条切线，，切点分别为，，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 返回目录 64 给什么得什么 已知椭圆短轴长和离心率，由，， 之间的关系求出椭圆方程； 由圆和椭圆方程可得出两图形的位置关系，然后作图，数形结合解 题. 求什么想什么 让求，而,为圆的两条切线，则， 为圆上的动点， 那么，， 都为动点，所以考虑将动点转化为定点，而圆心为定 点，所以将转化为关于 的关系式. 差什么找什么 问题转化为求关于 的关系式的最小值，可利用函数单调性求最 小值，那么需找到自变量的范围.而为椭圆上的点，将 转化 为关于或 的函数关系式，结合椭圆的有界性，利用函数单调性求 得的范围，然后即可求得 的最小值. 返回目录 65 【解析】由题意得 可得 所以椭圆的方程为 . 返回目录 66 图3.1.2-10 由圆的方程可知圆的半径为1，圆心 ，如图3.1.2-10所 示. 连接,设 ，， , 未知，等号不一定取到） 设点坐标为,则 , 又点在椭圆上，所以 , 所以 , 则 . （【易错点】此处切勿直接利用基本不等式求解,因为 的范围 返回目录 67 整理可得 . 又,所以.（【另解】由图可直观看出点 在椭圆上、下两顶 点处时 分别取最小值和最大值） 设，则，所以 （【知识回顾】对 勾函数,,在上单调递增）在 ， 上单调递增，所以时，最小，且最小值为，所以 的最小值为 ． . . . . 返回目录 例15 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点 ，，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于， 两点． （1）求椭圆 的标准方程； 【解析】由题意知，解得 故椭圆的标准方程为 . 返回目录 69 （2）求三角形面积的最大值（ 为坐标原点）． 【解析】设， ， 联立方程得，化简得 ，由 ,得,即 , 则， ， 故 . 又 ， 返回目录 70 点到直线的距离 ， 故 ， 由，得，即 ，所以 ， 故，即 . 故三角形 面积的最大值为1. 返回目录 71 返回目录 72 解决椭圆最值问题的基本方法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性 质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义， 并能借助相应曲线的定义及对称知识求解. （2）代入法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目 标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用的方法有配 方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 返回目录 73 【学会了吗丨变式题】 图3.1.2-11 7.已知过点，的椭圆 的 右焦点为 . （1）求椭圆 的标准方程； 【答案】依题意解得 故椭圆的标准方程为 . 返回目录 74 （2）设直线与椭圆相切于点，作点关于原点的对称点，过点作 ， 垂足为，如图3.1.2-11所示.求 面积的最大值. 【答案】设，则 . 易知直线斜率存在，设直线 . 由 消元可得 ， ，即 , 整理得 . 因为过点的切线是唯一的，又 ， 返回目录 75 可得 , 所以直线 . 由直线于点，得直线 . 由可得 , 所以 , , 即，当且仅当即 , 时取等号,所以 面积的最大值为2. 返回目录 新考法 情境应用 图3.1.2-12 例16 [多选题]嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的 椭圆形轨道，如图3.1.2-12中轨道③所示，其近月点与月球表面距 离为，远月点与月球表面距离为 ，已知月球的直 径约为 ，则下列选项中正确的有( ) AD A.焦距长约为 B.长轴长约为 C.两焦点坐标约为 D.离心率约为 返回目录 77 【解析】设该椭圆的长半轴长为，半焦距长为 . 依题意可得月球半径约为 ， ， ， 所以， ， , ， 椭圆的离心率约为 ， 可得结论A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误． 返回目录 78 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考考查的热点内容.其中椭圆的离心率常单独考查，涉及椭圆的定义、 标准方程等，解题时可结合几何图形求解，多以选择题、填空题的形式出现，试题 难度中等.与椭圆有关的综合问题是高考考查的“常客”，综合性强，以解答题为主， 第一问往往是依托椭圆的几何性质求解标准方程，第二问则是依托于直线与椭圆的 位置关系求解各种问题，难度较大. 核心素养：直观想象（由题目作出平面图形解题）、逻辑推理（寻找题目所给条件 与离心率之间的关系）、数学运算（离心率的计算）. 返回目录 79 考向1 椭圆的简单几何性质 例17 (2023·新课标Ⅰ卷)椭圆, 的离心率分别为 ,，若，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由已知得,，因为，所以 ， 得 . 返回目录 80 例18 (2022·全国甲卷)椭圆的左顶点为,点，均在 上， 且关于轴对称.若直线,的斜率之积为,则 的离心率为( ) A A. B. C. D. 返回目录 81 【解析】 设，则，易知 ，所以 （*）．因为点在椭圆上，所以 ， 得，代入式，得，所以 ．故选A． 设椭圆的右顶点为，则直线与直线关于 轴对称，所以 ，所以，所以 ．故选 A．（椭圆第三定义的应用） 根据题意，上顶点为点，的极限位置之一，于是直线的斜率为 ， 则,所以椭圆的离心率为 . 返回目录 82 命题 探源 本题的命制背景来自椭圆的第三定义，试题将椭圆上一点与长轴的两个端 点连线的背景，变换为长轴一个端点与椭圆上关于 轴对称的两个点的连 线，要求考生具有将相对陌生的情境向熟悉的情境转化的能力. 素养 探源 素养 考查途径 直观想象 由题目想象出点、直线、椭圆的位置. 逻辑推理 由题目所给条件推断出与离心率的关系. 数学运算 直线斜率及离心率的计算. 返回目录 83 例19 (2022·全国甲卷)已知椭圆的离心率为，， 分别 为的左、右顶点,为的上顶点．若，则 的方程为( ) B A. B. C. D. 【解析】依题意得，,,所以 ， ，，故，又 的 离心率，所以，， , 即的方程为 ，故选B. 返回目录 84 考向2 直线与椭圆的综合问题 1 弦长问题 例20 (2025·全国二卷)已知椭圆的离心率为 ,长轴长为4. （1）求 的方程. 【解析】由,得 . 由题意得 ， 则,又,所以 . 所以的方程为 . 返回目录 85 （2）过点的直线与交于,两点,为坐标原点.若的面积为,求 . 【解析】由题意得 的斜率存在, 设，代入 ， 消去并化简得 ， 由，得 , 设,，则 ，解得 . 所以 . 返回目录 86 2 直线与椭圆的交点问题 例21 (2025·天津)已知椭圆的左焦点为，右顶点为， 为直 线上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为 . （1）求椭圆的方程； 【解析】的斜率为， ， ，得 , 又，,,则 ， 椭圆的方程为 . 返回目录 87 （2）过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），求证：平分 . 【解析】由（1）知,则直线的方程为,与联立得 , , 易知直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 由得 , 直线 与椭圆仅有一个交点， ,解得 , ,则, , 返回目录 88 直线的斜率为 . ， ，即平分 . 返回目录 3 最值问题 例22 (2025·全国一卷)已知椭圆的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为, . （1）求 的方程. 【解析】由题意知，所以 ， 设,，则,所以 . 又 , 所以，所以的方程为 . 返回目录 90 （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足 . （ⅰ）设，求的坐标（用, 表示）； 返回目录 91 【解析】设，由（1）知，又 ， 所以 ①. （【关键点】线段长度的乘积如何运用？若用两点间的距离公式，计算量很大，而 使用向量的数量积运算，将模长计算与坐标运算相结合，就比较方便了） 由，得 ②， （共线这个条件用斜率转化较为简单，如果用向量，写起来就相对麻烦了） 由①②得， ， （将 作为整体代入消元，这样计算量会小很多） 故 . 返回目录 92 （ⅱ）设为坐标原点，是上的动点，直线的斜率是直线 的斜率的3倍，求 的最大值. 【解析】由得 ， 得，即 . 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去与 轴相交的两点）. 返回目录 93 （椭圆的参数方程） 因为在椭圆上，所以设 ,则 , 设 ,则 ， （利用换元转化为二次函数，借助二次函数求最值更加方便） 故当时,取得最大值，且 , 故的最大值为 . 设，则，且 , ，当且仅当时取等号,故 , 故 . 返回目录 94 4 结合点到直线的距离求解 例23 (2024·新课标Ⅰ卷)已知和为椭圆 上两点. （1）求 的离心率； 【解析】第1步：代入,坐标求解, 由题知解得 第2步：根据,,的关系求解，得出的离心率 ，的离心率 . 返回目录 95 （2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程. 【解析】第1步：求解 ， 返回目录 96 第2步：得出点到直线的距离 设点到直线的距离为，则的面积为,解得 . 第3步：求解点 坐标 易知直线，设 ， 则解得或 或 ， 第4步：求直线 的方程 故或 . 返回目录 97 名师点评 注意到长度易知，由的面积求出点到直线 的距离，进而设出 点 坐标，并列方程组求解，可以有效降低运算难度. 返回目录 98 高考新题型专练 1.[多选题]已知椭圆的左、右两焦点分别是， ，其中 .直线与椭圆交于， 两点．则下列说法中正确的 有( ) ABD A.若，则的周长为 B.若，则椭圆的离心率的取值范围是, C.若的中点为，则 D.弦长的取值范围是 返回目录 99 【解析】对于选项A，由直线的方程可知,直线过点，则 的 周长为 ,即选项A正确. 对于选项B，设，由，得 ，即 ，即点的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，即此圆与椭圆有交 点，即,即解得 ,即选项B正确. 对于选项C，设，，则， ,两式相减可得， .又的中点为，则，则，又 ， 则 ，即选项C错误. 返回目录 100 对于选项D，由椭圆的性质可得,过焦点的弦中通径长最短，长轴长最长，又椭圆的 通径长为，长轴长为,则弦长的取值范围是 ，即选项D正确.故选 ． 返回目录 2.新考法 结构不良 在①点为椭圆上顶点时，的面积为，②椭圆 过 点，，③离心率 这三个条件中任选一个，补充在下面问题（横线处） 中，并解答问题． 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线 与 椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．已知椭圆 的短 轴长为4，________． 返回目录 102 （1）求椭圆 的方程； 【答案】由已知可得，解得，故椭圆的方程为 . 若选择①，则，解得，故 ， 故椭圆的方程为 . 若选择②，则，解得 ， 故椭圆的方程为 . 若选择③，则，解得 ， 故椭圆的方程为 . 返回目录 103 （2）求的值和 的面积． 【答案】设， ， 由可得 ， 由，可得 ， 由根与系数的关系，可得, . 设线段的中点为 ， 则， , 即 ， 返回目录 104 因为，所以 ， 所以 ， 因为是以 为底的等腰三角形， 所以，即 , 因为直线的斜率，所以，即，解得 ， 此时方程化为，解得， ，故 ，此时 ，故 ， 故 ， 综上，的面积为 . 返回目录 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间:25分钟 1.已知椭圆的一个焦点为，则 的离心率为( ) C A. B. C. D. 【解析】不妨设,因为椭圆的一个焦点为，所以 ，所以 ，所以，所以椭圆的离心率 . 返回目录 106 2.(2026·福建省宁德市期末)椭圆的两个焦点为，,过点作垂直于 轴 的直线与椭圆相交，一个交点为，则 为( ) C A. B. C. D.4 【解析】,,.椭圆通径长为 3.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可得，所以 , 所以离心率 . . . 返回目录 107 4.新情境人造卫星 ［多选题］ 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律： 卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的 变化服从面积守恒规律，即卫星的向量（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过 的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为, ,下列结论正确的是( ) ABD A.卫星向量的取值范围是 B.卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大 C.卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间 D.卫星向量的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 返回目录 108 【解析】A选项，由题意可得卫星的向量是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小 值为,最大值为,即卫星向量的取值范围是 ，故A正确； B选项，因为卫星的向量越大，速度越小，所以卫星在近地点时向量最小，故运行速 度最大，在远地点时向量最大，故运行速度最小，故B正确； C选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向量更大，根据面积守恒规律，运行速 度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故C不 正确； D选项，卫星向量的最小值与最大值的比值越小，即越小，则 越大，椭圆轨道越扁，故D正确．故选 返回目录 109 5.已知点在以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,离心率为的椭圆上.若过点 作长轴 的垂线恰好过椭圆的一个焦点,与椭圆的另一个交点为，且 的面积为 为椭圆的另一个焦点 ,则椭圆的标准方程为_ ______________________. 或 【解析】设椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为 . 由题意得 ①, 由离心率的定义可知 ②, 结合椭圆中的几何关系可知 ③, 联立①②③可得，,, . 由题意知椭圆的焦点可以在轴上，也可以在 轴上， 则椭圆的标准方程为或 . 返回目录 110 6.已知椭圆的左、右两焦点分别为， ,短轴的一个端点 为，直线交椭圆于，两点, . （1）若椭圆的离心率为 ，求椭圆的标准方程； 【答案】连接 ,由题意及椭圆的定义可得， ,,又,, . 故椭圆的标准方程为 . 返回目录 111 （2）若点到直线的距离不小于，求椭圆 的离心率的取值范围. 【答案】设，可得点到直线的距离 , 由题意知,故,从而 . ,,即, , 即椭圆的离心率的取值范围是 . 返回目录 112 7.已知,是椭圆的两个焦点，为上的点， 为坐标原点. （1）若为等边三角形，求 的离心率； 【答案】连接.由为等边三角形可知在中， , ,,于是,故的离心率 . 返回目录 113 （2）如果存在点,使得,且的面积等于16，求的值和 的取值范围. 【答案】由题意可知，若满足条件的点 存在，则 ,，,直线与斜率之积为 即①， ②， ③. 由②③及得，又由①知，故 . 由②③得,所以,从而,故 . 故存在满足条件的点，此时,的取值范围为 . . . 返回目录 114 B 综合练丨高考模拟 建议时间:40分钟 8.(2026·海南省文昌中学月考)已知，是椭圆 的左、右 焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为( ) D A. B. C. D. 返回目录 115 【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上， ，如图D 3.1.2-1所示， 为等腰三角形，且 ， , 图D 3.1.2-1 点的坐标为，即 . 点在过点，且斜率为 的直线上， ，解得， . 返回目录 116 9.(2026·山东省青岛市期中)已知,为椭圆 的左、右焦点， 若椭圆上存在四个不同的点满足的面积为，则椭圆 的离心率的取值 范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知椭圆,,若椭圆上存在四个不同的点 满足的面积为，则，即，则 ,又 ,则,即,则有，即 的取值范围为 ,故选D. 返回目录 117 10.新定义 伴随圆 ［多选题］ (2026·江西省南昌市月考)某学校数学课外兴趣小组 研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为 该椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的离心率为，，为 的左、右焦点且，为上一动点，直线 ，则下列说法 中正确的有( ) ACD A.椭圆的“伴随圆”的面积为 B.对直线上任意点，都有 C.动点到直线的距离最大值为 D.椭圆的“伴随圆”的两条弦，都与椭圆相切，则 面积的最大值为3 返回目录 118 【解析】对于A,因为点 在“伴随圆”上，所以“伴随圆”的方程为 ，因为，且，所以， ，所以“伴 随圆”方程为，面积为 ，故A正确.对于B,直线 的方程为 ，椭圆方程，组成方程组消去 得， ，，所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为 ， 故B错误. 对于C,平移直线与椭圆上另外一点相切时，该切点到直线 的距离最大，设过该点的 切线方程为，与椭圆方程联立消去 可得, ，由，得 （负值已舍 去），得切线方程为（也可由对称性求出该方程），当点 在该切 点处时到直线的距离最大，最大值为 ，故C正确. 返回目录 119 图D 3.1.2-2 如图D 3.1.2-2，由“伴随圆”的定义可知，，则 为 伴随圆的直径，连接，所以 ，则 ，设， ，所以 ，又 （当且仅当 时取等号），所以 ，即 ，所以 ，故D正确. 故选 ． 返回目录 120 11.(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆,的上顶点为 ,两个焦点 为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点，,则 的周 长是____. 13 返回目录 121 【解析】如图 ，连接，，，因为的离心率为 ， 图 D 3.1.2-3 所以，所以，所以.因为 ， 所以为等边三角形，又，所以直线为线段 的垂直平分线， 所以,，且 ，所以直线的方程为 ， 返回目录 122 代入椭圆的方程，得.设， ， 则, ，所以 ，解得 ，所以，所以 的周长为 . （【另解】也可以将直线的方程表示为 ，然后联立椭圆方程，得到 ，然后求得，即可求得 的周长） 返回目录 12.(2021·全国甲卷)已知,为椭圆的两个焦点，,为 上关于坐标原 点对称的两点，且,则四边形 的面积为___. 8 【解析】 由椭圆可知.由,为 上关于坐标原点对 称的两个点，且，得为坐标原点，所以, 既在椭圆 上，又在圆上.不妨设点在第一象限，则由 可得，所以由对称性，可得四边形 的面积 . 返回目录 124 由椭圆方程知，,,则．由点 在椭圆上，得 ，所以 ①． 由椭圆的对称性及知，四边形 是矩形， 在中，由勾股定理得，所以 ．由 得，所以 ． 由椭圆的对称性及知，四边形是矩形，且． 结合 ，及椭圆焦点三角形的面积公式，得 ． 返回目录 125 13.已知，分别为椭圆的左、右焦点，， 分别为椭圆 的右、上顶点，椭圆的离心率，的面积为．若点 在椭 圆上，则点称为点的一个“好点”.直线与椭圆交于，两点，， 两 点的“好点”分别为，，且以 为直径的圆经过坐标原点． （1）求椭圆 的标准方程； 【答案】已知，则，所以 ． 又 ， 所以，， ， 故椭圆的标准方程为 ． 返回目录 126 （2） 的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】设点，，则点， ， 故， ， ①当直线的斜率不存在，即当， 时， 由以为直径的圆经过坐标原点，可得 ， 故，故 . 又点在椭圆上，所以 ， 解得， ， 所以 ． 返回目录 127 ②当直线的斜率存在时，设其方程为 ， 由整理得 ， 所以， . 又以为直径的圆经过坐标原点，所以 ， 所以 ， 即 ， 所以，所以 ． 返回目录 128 又 ， 故 . 又点到直线的距离 ， 所以 . 综上可知， 的面积是定值1． 返回目录 14.(2026·福建省厦门双十中学开学考试)已知椭圆 ,右焦点 为，且离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； 【答案】由题意，得 ， 又，所以，所以 ， 所以的标准方程为 ． 返回目录 130 （2）设,是椭圆上的两点，直线与曲线相切.证明： , ,三点共线的充要条件是 . 【答案】由（1）知即 ． 证必要性：若,,三点共线，由题意知直线 的斜率存在且不为0， 由对称性不妨设直线的方程为直线过点 ，使用点斜 式表示其方程，则，得 所以直线的方程为 ． 由消去，得 ． . . 返回目录 131 设,，则, ， 所以 ． 由对称性可知当时， . 故必要性得证. 证充分性：若 , 由题意可知直线 的斜率存在且不为0， 由对称性不妨设直线的方程为 （此时要证明三点共线，所以方程设 为一般式），则，得 ． . . 返回目录 由消去，得 ,得 ． 设,，则 , ， 所以,整理，得 ，得 ，所以 ， 返回目录 所以直线的方程为．令，得，即直线过点 ，所以 ,, 三点共线. 由对称性知当时，，， 三点共线,充分性得证． 综上，,,三点共线的充要条件为 ． 返回目录 C 培优练丨能力提升 15.(2026·湖南省长沙市雅礼中学期中)已知椭圆的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， . （1）求 的标准方程； 【答案】 椭圆左、右焦点分别为，， ， 又椭圆的离心率为， , 得,， 椭圆标准方程为 . 返回目录 135 （2）已知点，证明：线段的垂直平分线与 恰有一个公共点； 【答案】由，得直线斜率为，中点坐标为 ， 线段的垂直平分线方程为 ， 联立垂直平分线方程和椭圆方程 得，解得， . ，所以直线与椭圆相切， 线段的垂直平分线与恰有一个公共点 . 返回目录 136 （3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与 恰有一个公共点，证 明 的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】 设 ， 当时，的垂直平分线方程为 ， 此时,即或 满足题意； 当时， 的垂直平分线方程为 ， 由 得 ， 返回目录 137 即 . 线段的垂直平分线与 恰有一个公共点，故 ， 即 ， 则 ， 即 ， ， 即 ， 返回目录 , ， ， 也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即 . 设线段的垂直平分线与恰有一个公共点为 ， 返回目录 图D 3.1.2-4 则当点不在长轴时，线段的垂直平分线为 的平分线， 作的平分线 ，如图D 3.1.2-4，根据椭圆的光学性质 （从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于 椭圆另一个焦点上）得 ， ，则 ， 故 ， ,, 三点共线， ， 点的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆， 当在椭圆长轴上时，点为或也满足 ， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为 . . . 返回目录 140 $