专题 2.5 随机事件的概率全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了随机事件概率的全章内容，将事件分类、概率计算、频率估计概率、概率应用及易错点按“基础概念-计算方法-实际应用”的逻辑递进组织，并用要点提示表格归纳了古典概型、标记重捕法等核心方法的适用条件和注意事项。 讲义的亮点在于“分层题型精析”设计，夯实基础部分通过转盘概率计算等题型强化古典概型应用，综合提升部分以标记重捕法估算总体等题型培养数据观念和模型意识。同步检测题量充足且分层，基础题帮助学生掌握列表法等基本技能，综合题引导学生用概率知识解决实际问题，教师可据此实施分层教学，学生能自主查漏补缺提升复习效率。

专题 2.5 随机事件的概率全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】事件的分类（2.1核心） 1 【知识点二】简单随机事件的概率计算（2.2核心） 2 【知识点三】用频率估计概率（2.3核心） 2 【知识点四】概率的简单应用（2.4核心） 3 【知识点五】全章易错点汇总 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】事件类型判断与概率取值 3 【题型 2】单次简单概率计算 5 【题型 3】频率计算与概率估计 6 【题型 4】两步试验概率计算（列表/树状图） 8 【题型 5】游戏公平性判断 11 【题型 6】转盘圆心角概率计算 13 三.题型精析（综合提升） 16 【题型 7】标记重捕法估算总体 16 【题型 8】概率综合估算（样本→总体） 19 【题型 9】概率说理辨析题 22 四.同步检测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.知识梳理与解读 【知识点一】事件的分类（2.1核心） 根据事件发生的可能性，将事件分为三类，是概率学习的基础： 1. 必然事件：一定条件下一定会发生的事件，； 2. 不可能事件：一定条件下一定不会发生的事件，； 3. 随机事件：一定条件下可能发生、也可能不发生的事件，。 【要点提示】 ① 必然事件和不可能事件统称确定性事件，随机事件为不确定事件； ② 事件的类型依赖试验条件，条件改变，事件类型可能改变； ③ 随机事件可能性有大小，可通过结果数量、区域面积、时长、圆心角判断。 【知识点二】简单随机事件的概率计算（2.2核心） 1. 概率定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记作。 2. 古典概型公式：试验结果有限、等可能、互斥时，（：总等可能结果数，：事件A包含的结果数） 3. 常用列举方法 列表法：适用于两步试验；树状图法：适用于两步及以上试验；角度占比法：适用于转盘类试验。 【要点提示】 ① 严格区分放回试验（总结果数不变）和不放回试验（总结果数递减）； ② 概率是固定理论值，仅反映事件发生的整体趋势，不决定单次试验结果； ③ 可通过对比各方获胜概率，判断游戏是否公平（概率相等则公平）。 【知识点三】用频率估计概率（2.3核心） 1. 频数与频率：频数为事件发生次数，频率，频率随试验波动； 2. 频率稳定性定理：大量重复试验下，频率会稳定在某个固定数值，该数值即为概率； 3. 适用场景：无法用古典概型计算的试验（发芽率、合格率、命中率等）。 【要点提示】 ① 频率可变、概率固定，频率只能近似估计概率，不能等同于概率； ② 试验次数越多，频率越贴近真实概率，估算误差越小； ③ 可通过估计概率推算总体数量：。 【知识点四】概率的简单应用（2.4核心） 1. 生活决策应用：计算抽奖、游戏概率，对比概率大小做出最优选择； 2. 统计估算应用——标记重捕法：估算生物种群总体数量：（总标记数、重捕总数、重捕标记数）； 3. 总体预估应用：用样本稳定频率估计概率，推算大规模总体中目标数量。 【要点提示】 ① 禁止用短期少量数据判断长期概率趋势，避免以偏概全； ② 标记重捕法需保证样本随机、标记稳定、个体充分混合，减少误差。 【知识点五】全章易错点汇总 1. 混淆频率与概率：少量试验频率波动大，不能代表概率； 2. 两步试验漏数、多数结果，放回与不放回试验规则混淆； 3. 单项中奖概率与总中奖概率计算混淆； 4. 误认为概率为0.5，单次试验就一定对半出现结果； 5. 仅凭局部数据判定整体趋势，忽略样本容量对估算精度的影响。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】事件类型判断与概率取值 【例题1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是十张扑克牌，它们的背面都一样，现将它们背面向上，从中任意摸一张，摸到哪种牌的可能性最大？摸到哪种牌的可能性最小？ 【答案】摸到A的可能性最大，摸到2的可能性最小 【分析】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 分别求出各种牌摸到的概率即可求解． 解：∵摸到A的概率为：， 摸到2的概率为：， 摸到3的概率为：， 摸到4的概率为：， ， ∴摸到A的可能性最大，摸到2的可能性最小． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列事件中，不可能事件是（     ） A．购买1张福利彩票中奖 B．367人中至少有两人生日相同 C．一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D．明天太阳从西方升起 【答案】D 【分析】根据不可能事件，必然事件，随机事件的定义逐一判断即可，不可能事件是指一定不会发生的事件． 解：A、购买1张福利彩票中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； B、一年最多有366天，367人中至少有两人生日相同，是一定会发生的事件，属于必然事件，不符合题意； C、一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，不符合题意； D、太阳每天从东方升起，明天太阳从西方升起是一定不会发生的事件，属于不可能事件，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【答案】（3）（1）（2）（4） 【分析】先求出每个事件发生的可能性大小，再比较可能性大小进行排序即可． 解：（1）一副去掉大小王的扑克牌共张，其中红色牌张，抽到红色牌的可能性为； （2）我国九年义务教育普及率极高，因此随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育的可能性大于，接近于； （3）袋子中没有白球，摸出白球的可能性为； （4）站在平地上抛一块小石头，石头一定会下落，发生的可能性为； ∴故事件发生的可能性从小到大的顺序排列为（3）（1）（2）（4）． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）在一个不透明的袋中装有4个白球、1个黑球、5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，“摸到红球”是________事件，“摸到黄球”是________事件；（均填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； 【答案】（1）随机；不可能；（2） 【分析】本题考查概率公式、随机事件，熟练掌握概率公式、随机事件的定义是解答本题的关键． （1）根据随机事件的定义、不可能事件的定义可得答案． （2）由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸到红球的结果有5种，利用概率公式可得答案． （1）解：由题意得，从中任意摸出一个球，“摸到红球”是随机事件，“摸到黄球”是不可能事件． 故答案为：随机；不可能． （2）解：由题意知，共有10种等可能的结果，其中摸到红球的结果有5种， ∴摸到红球的概率为． 【题型 2】单次简单概率计算 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个．求任意摸出一个球是黑球的概率． 【答案】 【分析】先求出盒子中球的总个数，再用黑球的个数除以球的总个数，即可得到任意摸出一个球是黑球的概率． 解：解 已知红球有4个，白球有6个，黑球有5个 盒子中球的总数为 （个）， ∴任意摸出一个球是黑球的概率为 ． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）下列4张大小形状都相同的卡片正面画着不同的数学元素符号，背面完全一样，从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片正面符号图案是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 解：从4张卡片中任意抽出一张，有4种情况，而轴对称图形（后三张）的情况有3种， 则抽到的卡片正面符号图案是轴对称图形的概率． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域C的概率是________． 【答案】 【分析】先求出区域C对应的圆心角，用C区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 解：区域C对应的圆心角为：， ∴指针落在区域C的概率是． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 【答案】摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，据此解题即可． 解：∵不透明的口袋中共装有（个）球，这些球除颜色外其他均相同， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【题型 3】频率计算与概率估计 【例题3】（26-27八年级上·全国·随堂练习）某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． （1）求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； （2）请你估计袋中白球的数量． 【答案】（1）；（2）18 【分析】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握概率公式，并充分理解题意，掌握频率与概率的关系； （1）可用频率估计概率，即4000人次摸到红球1000次，利用概率公式计算； （2）设白球为，再利用概率公式列方程，求解即可． （1）解：参加一次这种游戏活动得到玩具奖品的频率为． （2）设袋中白球为个， 则摸到红球的概率， ， 解得：，经检验是方程的解． 故白球接近18个． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率可估计概率，用总小球数乘以摸到白球的频率即可估计白球个数． 解： 小球总个数为，摸到白色小球的频率稳定在， 口袋中白球的个数估计为， 可估计口袋中白球的个数是个． 【变式3】（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ 【答案】6个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解题意是解题的关键． 根据题意可知摸到黑色墨囊的概率是0.8，再利用概率公式即可求解． 解：∵通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为， ∴摸到黑色墨囊的概率是0.8， （个）， 答：估计盒中红色墨囊的个数是6个． 【题型 4】两步试验概率计算（列表/树状图） 【例题4】（2026·吉林长春·模拟预测）为了更好地满足同学们的发展需求，学校开设了丰富多彩的社团课程供学生选择．小刚和小红计划从A“趣味编程”、B“园艺种植”、C“传统剪纸”三门社团课程中分别随机选择一门参加．求两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率． 【答案】 【分析】利用画树状图的方法求解． 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的结果有1种， ∴两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率为． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．正面印有“惊蛰”“白露”“霜降”的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，掌握好树状图法和列表法是解题关键． 使用树状图表示出所有可能情况，根据结果计算概率． 解：设“惊蛰”“白露”“霜降”分别用字母、、表示， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的有3种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某学校为落实“双减”政策，丰富课后服务活动项目，开设五类兴趣班活动（要求每位学生只能参加一类活动）：A．象棋；B．书法；C．编程；D．篮球；E．非遗文创． （1）若李华随机选择参加一个活动，则选中编程班的概率是________； （2）现学校准备从书法班里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名代表学校参加市级书法现场比赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）；（2）画树状图如下：    ∵共有12种等可能结果，其中四名同学恰好选中甲和乙两名同学的只有2种， 恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，概率公式应用，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． （1）解：因为有5个兴趣班活动，所以李华随机选择参加一个活动，选中编程班的概率是； （2）略 【题型 5】游戏公平性判断 【例题5】（25-26七年级下·辽宁·期中）在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是____________ （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不公平，理由如下： ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是， ∵ ∴这个游戏不公平； 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，即可作答． （1）解：依题意，P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：略． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【答案】C 【分析】本题考查画树状图求概率．根据题意画出树状图，再分别求出概率逐一对选项进行分析即可． 解：根据题意，画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中： 小明获胜概率：， 小颖获胜概率：， 小凡获胜概率：即， 这个游戏不公平，故选项C说法正确，符合题意， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【答案】公平 【分析】计算双方获胜的概率，比较概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平． 解：任意掷一次骰子，共有6种等可能的结果，掷出1和掷出2的概率都是， 哥哥与弟弟获胜的概率是完全相等的，都为，因此这个游戏公平． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． （1）小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1）；（2）这个规则对双方公平， 列表如下： 小聪小明 1 2 3 1 2 3 由列表可知，两位同学抽卡片，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次摸到的数字之和大于4（记为事件）的结果有3种，即；两次摸到的数字之和小于4（记为事件）的结果有3种，即； 小聪获胜的概率，小明获胜的概率； 两位同学获胜的概率相等， 这个规则对双方公平． 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，用列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． （1）解：小聪从中随机抽出一张卡片，有3种可能结果，每种结果出现的可能性都相等，其中抽到数字“3”的结果有一种，所以他抽到数字“3”的概率为； （2）略 【题型 6】转盘圆心角概率计算 【例题6】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【答案】这个游戏对甲乙双方公平，理由见分析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 解：这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学课上，王老师与学生用如图所示的转盘做“用频率估计概率”的试验：随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率如图所示，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，求圆心角，先结合频率的图得出指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率为，运用整个圆周角为，进行列式计算，即可作答． 解：根据频率的图，得出指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率为， 则， 即所有阴影部分的圆心角之和大约是， 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为，黄色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是_________．    【答案】 【分析】求出蓝色区域对应的圆心角，再利用概率公式计算． 解：（指针落在蓝色区域）， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出蓝色区域对应的圆心角是本题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】（1）随机；（2）；（3）解：她的看法对，原因为： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 则（小亮转出的颜色是红色）， ∵P（小明转出的数字小于7）， ∴两者概率相同，她的看法对． 【分析】（1）根据事件的分类判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出小亮转出的颜色是红色的概率，与（2）比较即可作答． （1）解：由图1可知，转到数字5是随机事件； （2）解：共有9种等可能的情况，其中转出的数字小于7的情况有6种， 则P（小明转出的数字小于7）； （3）略． 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】标记重捕法估算总体 【例题7】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在一个不透明的箱子内装入标记数字分别为，2，3，的四个小球，小球除标记数字不同外其他相同.随机取出一个小球，记下标记的数字为，不放回；再从箱内剩下的球中再随机取出一个小球，记下标记的数字为，请用画树状图或列表的方法，求“点在第二象限”的概率． 【答案】 【分析】利用列表法得出所有等可能的结果，然后由第二象限点的特点（，+）判断符合的情况，利用概率公式求解即可 解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 2 3 2 3 共有12种等可能出现的结果，其中点在第二象限的有4种， ，，，， 所以点在第二象限的概率为． 【点拨】题目主要考查利用列表法求概率及在第二象限点的特点，熟练掌握列表法求概率是解题关键． 【变式1】（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 解：设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，则鱼塘中鱼的条数估计有_____条． 【答案】2000 【分析】先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案． 解：打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条， 有标记的鱼占， 共有30条鱼做上标记， 鱼塘中估计有（条． 故答案为：2000． 【点拨】此题考查了用样本估计总体，解题的关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮玩一个游戏，在三张完全相同的卡片上分别标记2、3、4三个数字，小明先从卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，小亮再从中随机抽出一张，记下数字． （1）小明和小亮抽中相同卡片的概率是________； （2）若游戏规定抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则小明获胜，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则小亮获胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由（要求列表或画树状图）． 【答案】（1）；（2）不公平，见分析 【分析】（1）首先列出两人抽取卡片的树状图，然后根据概率公式求解即可； （2）根据树状图，分别计算出两人获胜的概率，判断是否相等即可． 解：两人抽取卡片的树状图如下： （1）由树状图可知，共有9种情况，其中，两人抽到相同卡片有3种情况， ∴抽中相同卡片的概率， 故答案为：； （2）由树状图可知，两数之和为偶数的有5种，两数之和为奇数的有4种， ∴P（小明获胜），P（小亮获胜）， ∵， ∴这个游戏不公平． 【点拨】本题考查列树状图或表格求概率，以及利用概率判断公平性，掌握列树状图或表格的基本方法，理解概率与公平性的判断是解题关键． 【题型 8】概率综合估算（样本→总体） 【例题8】（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 （1）填空：表中（精确到0.01），； （2）根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据频率表计算和的值； （2）大数次重复试验中，频率的稳定值即为概率的估计值． （1）解：当，时，； 当，频率为时，； （2）解：观察表格可知，随着摸棋子次数增大，摸到白棋的频率逐渐稳定在附近，因此估计随机摸出一枚棋子摸到白棋的概率为． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 （1）上述表格中：________，________； （2）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； （3）如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； （4）根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由统计表数据求解即可； （2）由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况即可得到答案； （3）由频率估计概率得到指针落在《中国国家天文》区域的概率，再由题意得到指针落在《大国航天》区域的概率，结合三类书籍或杂志概率为，列式计算即可； （4）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近，由频率计算即可. （1）解：由统计表可知，解得；； （2）解：由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况可知，当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近； （3）解：由（2）知，指针落在《中国国家天文》区域的概率为， 指针落在《大国航天》区域的概率为， 指针落在《问天少年》区域的概率为； （4）解：当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近， 转动转盘次，估计指针落在《中国国家天文》区域次数大约为. 【题型 9】概率说理辨析题 【例题9】（24-25九年级上·广东梅州·阶段检测）在边长为的正方形内任意选取一点，分别连接，构成． （1）求的面积小于的概率． （2）求的面积在至之间的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设边上的高为，得，结合概率公式即可求解； （2）由，得，结合概率公式即可求解． （1）解：设边上的高为， 则，得， 如图： 分别为中点，当点在矩形内部时，， 所以； （2）解：由，得， 如图： ，当点在矩形内部时，在至之间， 所以． 【点拨】本题主要考查几何概率，把概率问题化为几何面积的比值是关键． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，求出，再由几何概率计算即可得出结果． 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1）；（2）乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． （1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 例题：小明认为“掷骰子60次，点数6一定出现10次”，是否正确？说明理由。 解析与答案： 不正确。概率是大量试验的稳定趋势，少量试验频率存在波动，次数不一定精准相等。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·重庆·期末）成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（     ） A．旭日东升 B．水中捞月 C．秋去冬来 D．不期而遇 【答案】D 解：A、旭日东升，一定会发生，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，不符合题意； C、秋去冬来，一定会发生，是必然事件，不符合题意； D、不期而遇可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意. 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各袋中摸到红球的概率，概率最大的即为可能性最大的． 解：A袋中红球有0个，总球数为10，摸到红球的概率为； B袋中红球有2个，总球数为10，摸到红球的概率为； C袋中红球有9个，总球数为10，摸到红球的概率为； D袋中红球有10个，总球数为10，摸到红球的概率为； ， ，摸到红球可能性最大的是D． 3．（21-22七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每块小方砖的边长为1，先求出整个地砖的面积、黑色方砖的面积，再利用概率公式计算即可． 解：设每块小方砖的边长为1， 由图可知，整个地砖的面积为，黑色方砖的面积为， 所以最终停在黑色方砖上的概率为． 4．（2026·河南平顶山·三模）中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某学校开设了古筝、二胡、竹笛三种器乐社团，小军和小华随机选择加入其中的一个社团，则两人选择加入同一个社团的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过列表法或画树状图找出所有等可能的结果和满足要求的结果数，根据概率公式计算即可． 解：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知共有9种等可能的结果，其中两人选择加入同一个社团的结果有3种， ∴两人选择加入同一个社团的概率为． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断游戏规则是否公平，只需计算甲乙两人获胜的概率，比较概率是否相等即可，概率相等则规则公平，否则不公平． 解：∵掷一枚均匀骰子，朝上的点数共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1，3，5，共3种，点数为偶数的结果有2，4，6，共3种， ∴甲获胜的概率，乙获胜的概率， ∵， ∴这个游戏规则对甲乙公平． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 8．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 9．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出整个图案的面积，再求出落在阴影区域内的总概率，最后根据几何概率公式可得答案． 解：∵最大圆的半径为1， ∴整个图案的面积为， ∵经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，， ∴落在阴影区域内的总概率为， ∴阴影区域的总面积为． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例． 据此逐一判断选项即可． 解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性， ∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近， ∴D选项说法正确，不符合题意． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 【答案】蓝 【分析】当所有球除颜色外其余均相同时，摸到某种球的可能性大小由该种球的数量决定，数量越多，摸到的可能性越大，只需比较两种颜色球的数量即可判断结果． 解：由题意可得，袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中红球个，蓝球个， 比较两种球的数量得， 蓝球的数量多于红球的数量， 因此摸到蓝球的可能性大． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】等于 【分析】本题考查可能性的大小，分别计算从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性和摸出白球的可能性，比较二者大小即可得到答案． 解：袋子中球的总个数为 ， 从中任意摸出1个球， 摸出红球的可能性大小为 ，摸出白球的可能性大小为 ， 因此摸出红球的可能性等于摸出白球的可能性． 13．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．. 解：∵从四个大模型中随机选取一个，所有等可能的结果共有种，而恰好选中“DeepSeek”模型的结果只有种， ∴恰好选中“DeepSeek”模型的概率：． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 【答案】四/4 【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； 所以密码的位数至少需要四位， 故答案为：四． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【答案】1 【分析】本题考查概率的计算与分式方程的求解，根据摸出白球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可，掌握概率公式与分式方程的解法是解题的关键． 解：从中随机摸出一个球是白球的概率为， ， 解得 ， 检验，当时，，原分式方程有意义 是原分式方程的解． 16．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 17．（21-22九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得从中随机抽出两张卡片的所有等可能的结果，再找出使能被整除的结果，然后利用概率公式计算即可． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽出两张卡片共有种等可能的结果，其中，使能被整除的结果有4种， 则使能被整除的概率为． 18．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）一个不透明的袋子里有2个黑球、3个白球和4个红球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机取出1个球，你认为取出哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 【答案】我认为取出红球的概率最大．理由见分析 【分析】分别求出取出黑球、白球、红球的概率，比较大小即可解答． 解：我认为取出红球的概率最大．理由如下： ， ， ， ∴， ∴取出红球的概率最大． 【点拨】本题考查了概率的应用，正确理解概率的计算是解题关键． 20．（本小题满分8分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A、B、C为三张不透明的卡片（背面完全相同），正面分别是常用的三种AI软件的APP图标，将三张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图的方法，求两次都抽取到豆包卡片的概率． 【答案】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 解：画树状图如下： 共9种等可能结果，其中两次都抽取到豆包卡片的有1种， ∴P（两次都抽取到豆包卡片）． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 【答案】30个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以估计摸到粉色夹子的概率，再根据概率公式计算即可． 解：由题意知，摸到粉色夹子的概率为， 估计盒子中粉色夹子的个数为（个）． 答：估计盒子中粉色夹子有30个． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． （1）下列事件： ①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球； ②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球； ③从袋子中摸出1个乒乓球是红球． 其中不可能事件是________，必然事件是________，随机事件是________；（填序号） （2）如果在袋中再放入若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.5，那么袋中新放入了多少个白球？ 【答案】（1）不可能事件是③，必然事件是①，随机事件是②；（2）4个 【分析】（1）根据袋子里的球的数量和颜色，即可判断； （2）当袋子里白球的数量等于黄球的数量时，“摸到白球”的概率为0.5，据此即可求解． 解：（1）解：∵袋子里没有红球， ∴摸出1个乒乓球是红球是不可能事件； ∵袋子里只有6个白色乒乓球，其余都是黄球， ∴摸出7个乒乓球至少有一个是黄球是必然事件； ∵袋子里有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球， ∴摸出2个乒乓球都是白球是随机事件． （2）解：∵“摸到白球”的概率为0.5， ∴袋子里白球的数量等于黄球的数量， ∴袋中新放入的白球数量为（个）． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． （1）若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； （2）利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 解：（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 24．（本小题满分12分）（2026·湖南株洲·模拟预测）某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （1）这个班级有多少名同学？ （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如上表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 【答案】（1）这个班级有50名同学；（2）该班同学每天用于饮品的人均花费为2.2元；（3）根据题意画树状图如下： 根据树状图得：共20种结果，其中恰好抽到2名班长的有2种， 则：恰好抽到2名班长的概率为：， ∴恰好抽到2名班长的概率为． 【分析】（1）用该班学生选择B．瓶装矿泉水的人数除以所占百分数即可得该班学生数． （2）先根据条形统计图求出该班学生选择C．碳酸饮料的人数，再根据表格数据求出该班同学每天用于饮品的总费用，最后用总费用除以该班学生数即可得该班同学每天用于饮品的人均花费． （3）根据题意画出树状图，根据树状图得：共20种结果，其中恰好抽到2名班长的有2种，代入概率公式求解即可得恰好抽到2名班长的概率． （1）解：根据扇形统计图、条形统计图得：该班学生选择B．瓶装矿泉水所占百分数为，人数为15人， ∴该班的总人数为：（人）， ∴这个班级有50名同学． （2）解：根据题意得： 该班学生选择C．碳酸饮料的人数为：（人）， ∴该班同学每天用于饮品的人均花费为：（元）， ∴该班同学每天用于饮品的人均花费为2.2元． （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 随机事件的概率全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】事件的分类（2.1核心） 1 【知识点二】简单随机事件的概率计算（2.2核心） 2 【知识点三】用频率估计概率（2.3核心） 2 【知识点四】概率的简单应用（2.4核心） 3 【知识点五】全章易错点汇总 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】事件类型判断与概率取值 3 【题型 2】单次简单概率计算 4 【题型 3】频率计算与概率估计 5 【题型 4】两步试验概率计算（列表/树状图） 5 【题型 5】游戏公平性判断 6 【题型 6】转盘圆心角概率计算 7 三.题型精析（综合提升） 8 【题型 7】标记重捕法估算总体 8 【题型 8】概率综合估算（样本→总体） 9 【题型 9】概率说理辨析题 11 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与解读 【知识点一】事件的分类（2.1核心） 根据事件发生的可能性，将事件分为三类，是概率学习的基础： 1. 必然事件：一定条件下一定会发生的事件，； 2. 不可能事件：一定条件下一定不会发生的事件，； 3. 随机事件：一定条件下可能发生、也可能不发生的事件，。 【要点提示】 ① 必然事件和不可能事件统称确定性事件，随机事件为不确定事件； ② 事件的类型依赖试验条件，条件改变，事件类型可能改变； ③ 随机事件可能性有大小，可通过结果数量、区域面积、时长、圆心角判断。 【知识点二】简单随机事件的概率计算（2.2核心） 1. 概率定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，记作。 2. 古典概型公式：试验结果有限、等可能、互斥时，（：总等可能结果数，：事件A包含的结果数） 3. 常用列举方法 列表法：适用于两步试验；树状图法：适用于两步及以上试验；角度占比法：适用于转盘类试验。 【要点提示】 ① 严格区分放回试验（总结果数不变）和不放回试验（总结果数递减）； ② 概率是固定理论值，仅反映事件发生的整体趋势，不决定单次试验结果； ③ 可通过对比各方获胜概率，判断游戏是否公平（概率相等则公平）。 【知识点三】用频率估计概率（2.3核心） 1. 频数与频率：频数为事件发生次数，频率，频率随试验波动； 2. 频率稳定性定理：大量重复试验下，频率会稳定在某个固定数值，该数值即为概率； 3. 适用场景：无法用古典概型计算的试验（发芽率、合格率、命中率等）。 【要点提示】 ① 频率可变、概率固定，频率只能近似估计概率，不能等同于概率； ② 试验次数越多，频率越贴近真实概率，估算误差越小； ③ 可通过估计概率推算总体数量：。 【知识点四】概率的简单应用（2.4核心） 1. 生活决策应用：计算抽奖、游戏概率，对比概率大小做出最优选择； 2. 统计估算应用——标记重捕法：估算生物种群总体数量：（总标记数、重捕总数、重捕标记数）； 3. 总体预估应用：用样本稳定频率估计概率，推算大规模总体中目标数量。 【要点提示】 ① 禁止用短期少量数据判断长期概率趋势，避免以偏概全； ② 标记重捕法需保证样本随机、标记稳定、个体充分混合，减少误差。 【知识点五】全章易错点汇总 1. 混淆频率与概率：少量试验频率波动大，不能代表概率； 2. 两步试验漏数、多数结果，放回与不放回试验规则混淆； 3. 单项中奖概率与总中奖概率计算混淆； 4. 误认为概率为0.5，单次试验就一定对半出现结果； 5. 仅凭局部数据判定整体趋势，忽略样本容量对估算精度的影响。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】事件类型判断与概率取值 【例题1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是十张扑克牌，它们的背面都一样，现将它们背面向上，从中任意摸一张，摸到哪种牌的可能性最大？摸到哪种牌的可能性最小？ 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列事件中，不可能事件是（     ） A．购买1张福利彩票中奖 B．367人中至少有两人生日相同 C．一枚硬币连续抛掷三次，每次都正面朝上 D．明天太阳从西方升起 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·期中）把下列事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是_____ （填序号）． （1）一副去掉大小王的扑克牌中，随意抽取一张抽到的牌是红色； （2）随意遇到一位青年，他接受过九年义务教育； （3）从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的一个球恰好是白球； （4）站在平地上抛一块小石头，石头会落下． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）在一个不透明的袋中装有4个白球、1个黑球、5个红球，每个球除颜色外都相同． （1）从中任意摸出一个球，“摸到红球”是________事件，“摸到黄球”是________事件；（均填“必然”“不可能”或“随机”） （2）从中任意摸出一个球，求摸到红球的概率； 【题型 2】单次简单概率计算 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球4个，白球6个，黑球5个．求任意摸出一个球是黑球的概率． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）下列4张大小形状都相同的卡片正面画着不同的数学元素符号，背面完全一样，从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片正面符号图案是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域C的概率是________． 【变式3】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 【题型 3】频率计算与概率估计 【例题3】（26-27八年级上·全国·随堂练习）某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． （1）求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； （2）请你估计袋中白球的数量． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 【变式3】（2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ 【题型 4】两步试验概率计算（列表/树状图） 【例题4】（2026·吉林长春·模拟预测）为了更好地满足同学们的发展需求，学校开设了丰富多彩的社团课程供学生选择．小刚和小红计划从A“趣味编程”、B“园艺种植”、C“传统剪纸”三门社团课程中分别随机选择一门参加．求两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率． 【变式1】（2026·河南三门峡·三模）河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期末）二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．正面印有“惊蛰”“白露”“霜降”的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是___________． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）某学校为落实“双减”政策，丰富课后服务活动项目，开设五类兴趣班活动（要求每位学生只能参加一类活动）：A．象棋；B．书法；C．编程；D．篮球；E．非遗文创． （1）若李华随机选择参加一个活动，则选中编程班的概率是________； （2）现学校准备从书法班里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名代表学校参加市级书法现场比赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【题型 5】游戏公平性判断 【例题5】（25-26七年级下·辽宁·期中）在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． （1）求小丽获胜的概率是____________ （2）你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则为：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜．下面关于这个游戏说法正确的是（    ） A．若小明连续掷两枚硬币都是正面朝上，则小颖和小凡掷硬币时出现正面朝上的概率大 B．小明获胜的概率是 C．小凡获胜的概率是 D．这个游戏是公平的 【变式2】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【变式3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． （1）小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； （2）请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【题型 6】转盘圆心角概率计算 【例题6】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）数学课上，王老师与学生用如图所示的转盘做“用频率估计概率”的试验：随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域（若指向分界线，则重转）的频率如图所示，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为，黄色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是_________．    【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． （1）如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） （2）求小明转出的数字小于7的概率； （3）小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】标记重捕法估算总体 【例题7】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在一个不透明的箱子内装入标记数字分别为，2，3，的四个小球，小球除标记数字不同外其他相同.随机取出一个小球，记下标记的数字为，不放回；再从箱内剩下的球中再随机取出一个小球，记下标记的数字为，请用画树状图或列表的方法，求“点在第二象限”的概率． 【变式1】（2026·河南洛阳·三模）承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段检测）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，则鱼塘中鱼的条数估计有_____条． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明和小亮玩一个游戏，在三张完全相同的卡片上分别标记2、3、4三个数字，小明先从卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，小亮再从中随机抽出一张，记下数字． （1）小明和小亮抽中相同卡片的概率是________； （2）若游戏规定抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则小明获胜，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则小亮获胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由（要求列表或画树状图）． 【题型 8】概率综合估算（样本→总体） 【例题8】（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 （1）填空：表中（精确到0.01），； （2）根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 （1）上述表格中：________，________； （2）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； （3）如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； （4）根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 【题型 9】概率说理辨析题 【例题9】（24-25九年级上·广东梅州·阶段检测）在边长为的正方形内任意选取一点，分别连接，构成． （1）求的面积小于的概率． （2）求的面积在至之间的概率． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 例题：小明认为“掷骰子60次，点数6一定出现10次”，是否正确？说明理由。 解析与答案： 不正确。概率是大量试验的稳定趋势，少量试验频率存在波动，次数不一定精准相等。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·重庆·期末）成语作为汉语的瑰宝，凝结了中华文明的智慧与语言艺术精华．下列成语所描述的事件是随机事件的是（     ） A．旭日东升 B．水中捞月 C．秋去冬来 D．不期而遇 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·山东济南·阶段检测）将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南平顶山·三模）中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某学校开设了古筝、二胡、竹笛三种器乐社团，小军和小华随机选择加入其中的一个社团，则两人选择加入同一个社团的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）甲和乙按如下规则玩游戏：掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6的点数，若朝上的点数是奇数，则甲获胜；若朝上的点数是偶数，则乙获胜．则这个游戏规则（    ） A．对甲乙公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法确定 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 9．（25-26七年级下·山东东营·期末）如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 13．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要______位． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 16．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 17．（21-22九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 18．（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）一个不透明的袋子里有2个黑球、3个白球和4个红球，它们只有颜色上的区别．从袋子中随机取出1个球，你认为取出哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 20．（本小题满分8分）（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A、B、C为三张不透明的卡片（背面完全相同），正面分别是常用的三种AI软件的APP图标，将三张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图的方法，求两次都抽取到豆包卡片的概率． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子中装有粉色、黄色、蓝色夹子共100个，这些夹子除颜色外无其他差别，若每次将夹子充分搅匀后，任意摸出一个夹子记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色、蓝色夹子的频率分别稳定在，请估计盒子中粉色夹子的个数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． （1）下列事件： ①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球； ②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球； ③从袋子中摸出1个乒乓球是红球． 其中不可能事件是________，必然事件是________，随机事件是________；（填序号） （2）如果在袋中再放入若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.5，那么袋中新放入了多少个白球？ 23．（本小题满分10分）（2026·陕西·模拟预测）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． （1）若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； （2）利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 24．（本小题满分12分）（2026·湖南株洲·模拟预测）某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （1）这个班级有多少名同学？ （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如上表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $