专题 2.2 简单随机事件的概率（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学简单随机事件的概率，系统梳理概率定义、三类事件取值范围、计算公式、常见计算方法（直接计数、列表、树状图、角度占比）及实际应用（游戏公平性），构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料特色在于分层题型设计，基础夯实与综合提升结合，通过转盘、摸球等实例培养抽象能力与推理意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.2 简单随机事件的概率（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】概率的定义 1 【知识点二】三类事件的概率取值范围 2 【知识点三】简单随机事件概率计算公式 2 【知识点四】常见概率计算方法 2 【知识点五】概率的实际应用（游戏公平性） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】概率取值与事件类型对应判断 3 【题型 2】单次试验直接计算概率 3 【题型 3】转盘圆心角类概率计算 4 三.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】 两步放回试验概率计算（列表法） 6 【题型 5】 组合搭配类概率计算 7 【题型 6】游戏公平性判断（高频易错） 7 【题型 7】几何概率计算 8 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与解读 【知识点一】概率的定义 对于简单随机事件，我们用数值刻画其发生可能性的大小，这个数值叫做该事件发生的概率，通用符号为，事件发生的概率记作。 【要点提示】 ① 概率是对随机事件可能性的定量描述，区别于定性的可能性大小判断，可精准用数值表示； ② 概率仅反映事件发生的整体趋势，无法确定单次试验的具体结果。 【知识点二】三类事件的概率取值范围 结合事件的分类，概率有固定的取值范围，是概率计算的基础判定依据： 1. 必然事件：一定发生，概率为定值，； 2. 不可能事件：一定不发生，概率为定值，； 3. 随机事件：可能发生、可能不发生，概率介于0和1之间，。 【要点提示】 ① 概率取值只有0、1两个定值，其余均为随机事件的概率； ② 概率越接近1，事件发生可能性越大；越接近0，发生可能性越小。 【知识点三】简单随机事件概率计算公式 在一次试验中，若所有可能出现的结果是有限个、等可能、互不重复的，设总结果数为，事件包含的结果数为（），则事件发生的概率公式为： 【要点提示】 ① 公式使用三大前提：结果有限、等可能、互斥，不满足条件不可直接套用； ② 解题核心两步：先找全部等可能结果总数，再统计目标事件对应结果数； ③ 永远不会大于，计算结果必须在0～1之间。 【知识点四】常见概率计算方法 1. 直接计数法：单次简单试验，直接数出总结果数和目标结果数，代入公式计算； 2. 列表法：适用于两步试验（放回/不放回），完整罗列所有等可能结果，精准统计； 3. 树状图法：适用于两步及以上多步骤试验，分层列举结果，避免遗漏重复； 4. 角度占比法：转盘类试验，概率等于目标区域圆心角与周角（360°）的比值。 【要点提示】 ① 严格区分放回试验和不放回试验：放回试验总结果数不变，不放回试验总结果数依次减少； ② 转盘问题无需计数，直接通过圆心角占比计算概率，简洁高效。 【知识点五】概率的实际应用（游戏公平性） 利用概率可判断多人游戏是否公平：计算每位参与者的获胜概率，若所有参与者获胜概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平。 【要点提示】 游戏公平性的唯一判定标准：各方获胜概率是否一致，与游戏规则复杂程度无关。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】概率取值与事件类型对应判断 【例题1】（24-25七年级下·江西九江·期末）分别写有数字1至10的10张卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽取一张． （1）求卡片上的数字是5的倍数的概率和不是5的倍数的概率； （2）求卡片上的数字是奇数的概率和偶数的概率； （3）根据（1）（2）可以发现随机事件A发生的概率和随机事件A不发生的概率之间的关系是__________________． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【题型 2】单次试验直接计算概率 【例题2】（25-26七年级下·山东威海·期末）小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． （1）若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； （2）若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； （3）若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5颗黑色棋子和2颗白色棋子，每颗棋子除颜色外都相同，任意摸出一颗棋子，摸到白色棋子的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）崂山茶礼盒中有4袋绿茶，2袋红茶，2袋花茶，外观完全相同，从中随机取出一袋，取到的不是花茶的概率为________． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）任意掷一枚质地均匀的正方体骰子（各面上的数字分别是1，2，3，4，5，6）两次． （1）直接写出第一次点数结果为3的概率； （2）第一次点数结果为3，求出第二次点数结果与第一次点数结果之积为偶数的概率． 【题型 3】转盘圆心角类概率计算 【例题3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，小李和小颖制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘A被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5． （1）小李转动一次转盘A，指针指向数字为5的概率是； （2）小李和小颖用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将转盘A转出的数字作为被减数，转盘B转出的数字作为减数，如果差为正数，则小李胜；若差为负数，则小颖胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．小明转出来的数字不大于6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率是否相同？（   ） A．相同 B．小明转出的概率大 C．小亮转出的概率大 D．无法确定 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·期中）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客不仅可以享受商品折扣，还可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖．现场设置了一个材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，指针所指区域即可领取对应奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为______． 【变式3】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： （1）小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） （2）小华获得元红包的概率； （3）小华享受八折优惠的概率． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】 两步放回试验概率计算（列表法） 【例题4】（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 （1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； （2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． （3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）李明从商店购买了一款盲盒卡片，打开后发现，有张卡片，张卡片．现将张卡片打乱放回盲盒中，若先从盲盒中随机抽取张，记录后放回、晃匀，再从中随机抽取张，则两次抽取的卡片，恰好张是卡片另张是卡片的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球然后放回，表格是试验进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 200 300 400 800 1000 2000 摸到黑球的频率 0.22 0.18 0.21 0.19 0.21 0.20 （1）根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是___________．（保留1位小数）； （2）求袋中白球的个数； （3）若小明同学摸出一个球后放回，再次摸出一个球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【题型 5】 组合搭配类概率计算 【例题5】（2026·江苏苏州·一模）暑假小红准备到北京四大景点去游玩：.故宫，.天坛，.颐和园，.长城． （1）若小红随机选择其中一个景点游玩，恰好选中.天坛的概率是__________； （2）若小红随机选择其中两个不同景点游玩，求恰好选中.颐和园和.长城的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【变式1】（2026·北京昌平·一模）京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南周口·二模）从“嵩山、云台山、老君山、八里沟”4处河南景区中随机选2处，恰好选中嵩山和老君山的概率为___________． 【变式3】（2026·江苏宿迁·二模）2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛． （1）如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概率是 ； （2）如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 【题型 6】游戏公平性判断（高频易错） 【例题6】（25-26九年级上·全国·期中）如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字．小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加（若指针恰好停在分隔线上，则重转一次）；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜． （1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率． （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， （1）求抽到印有4的卡片的概率； （2）你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【题型 7】几何概率计算 【例题7】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） （2）小亮获胜的机会约为多大？ （3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【变式3】（25-26七年级下·山东威海·期中）如图，在长方形中，顶点，直线分别交于点D，E，且点D为的中点． （1）求k的值及此时的面积； （2）现向长方形内随机投掷一枚飞镖，求飞镖落在内的概率．（若投在边框上则重投） 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 3．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）有五张正面分别标有数，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程的解是正整数的概率为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 9．（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）元元抛一枚质地均匀的硬币2次，2次都是正面向上，则元元抛第3次时正面向上的概率为__________． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 13．（2024九年级上·重庆江津·竞赛）从，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是________． 14．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的口袋中装有16个白球和个黄球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则的值是________． 16．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 17．（2024·湖北襄阳·二模）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是_______． 18．（2024·甘肃陇南·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级上·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． （1）嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； （2）利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·江苏·专题练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． （1）从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （2）从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）学校开展交通安全知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分、、、四个等级），其中获得等级和等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中等级对应的圆心角的度数； （3）等级中有名女生，等级中有名女生，学校计划从等级为或的学生中抽取名参加区级交通安全知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？ 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． （1）先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． （2）若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． （3）若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 简单随机事件的概率（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】概率的定义 1 【知识点二】三类事件的概率取值范围 2 【知识点三】简单随机事件概率计算公式 2 【知识点四】常见概率计算方法 2 【知识点五】概率的实际应用（游戏公平性） 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】概率取值与事件类型对应判断 3 【题型 2】单次试验直接计算概率 5 【题型 3】转盘圆心角类概率计算 7 三.题型精析（综合提升） 10 【题型 4】 两步放回试验概率计算（列表法） 10 【题型 5】 组合搭配类概率计算 13 【题型 6】游戏公平性判断（高频易错） 16 【题型 7】几何概率计算 19 四.同步检测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理与解读 【知识点一】概率的定义 对于简单随机事件，我们用数值刻画其发生可能性的大小，这个数值叫做该事件发生的概率，通用符号为，事件发生的概率记作。 【要点提示】 ① 概率是对随机事件可能性的定量描述，区别于定性的可能性大小判断，可精准用数值表示； ② 概率仅反映事件发生的整体趋势，无法确定单次试验的具体结果。 【知识点二】三类事件的概率取值范围 结合事件的分类，概率有固定的取值范围，是概率计算的基础判定依据： 1. 必然事件：一定发生，概率为定值，； 2. 不可能事件：一定不发生，概率为定值，； 3. 随机事件：可能发生、可能不发生，概率介于0和1之间，。 【要点提示】 ① 概率取值只有0、1两个定值，其余均为随机事件的概率； ② 概率越接近1，事件发生可能性越大；越接近0，发生可能性越小。 【知识点三】简单随机事件概率计算公式 在一次试验中，若所有可能出现的结果是有限个、等可能、互不重复的，设总结果数为，事件包含的结果数为（），则事件发生的概率公式为： 【要点提示】 ① 公式使用三大前提：结果有限、等可能、互斥，不满足条件不可直接套用； ② 解题核心两步：先找全部等可能结果总数，再统计目标事件对应结果数； ③ 永远不会大于，计算结果必须在0～1之间。 【知识点四】常见概率计算方法 1. 直接计数法：单次简单试验，直接数出总结果数和目标结果数，代入公式计算； 2. 列表法：适用于两步试验（放回/不放回），完整罗列所有等可能结果，精准统计； 3. 树状图法：适用于两步及以上多步骤试验，分层列举结果，避免遗漏重复； 4. 角度占比法：转盘类试验，概率等于目标区域圆心角与周角（360°）的比值。 【要点提示】 ① 严格区分放回试验和不放回试验：放回试验总结果数不变，不放回试验总结果数依次减少； ② 转盘问题无需计数，直接通过圆心角占比计算概率，简洁高效。 【知识点五】概率的实际应用（游戏公平性） 利用概率可判断多人游戏是否公平：计算每位参与者的获胜概率，若所有参与者获胜概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平。 【要点提示】 游戏公平性的唯一判定标准：各方获胜概率是否一致，与游戏规则复杂程度无关。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】概率取值与事件类型对应判断 【例题1】（24-25七年级下·江西九江·期末）分别写有数字1至10的10张卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽取一张． （1）求卡片上的数字是5的倍数的概率和不是5的倍数的概率； （2）求卡片上的数字是奇数的概率和偶数的概率； （3）根据（1）（2）可以发现随机事件A发生的概率和随机事件A不发生的概率之间的关系是__________________． 【答案】（1）；（2）；（3）和为1 【分析】本题主要考查了求概率： （1）根据概率公式计算，即可求解； （2）根据概率公式计算，即可求解； （3）根据（1）（2）即可求解． 解：（1）解：10张卡片上的数字是5的倍数的数共2个，不是5的倍数的共8个 ∴卡片上的数字是5的倍数的概率为； 不是5的倍数的概率为； （2）解：10张卡片上的数字是奇数的5个，偶数的5个， ∴卡片上的数字是奇数的概率为； 卡片上的数字是偶数的概率； （3）解：∵， ∴随机事件A发生的概率和随机事件A不发生的概率之间的关系是和为1． 故答案为：和为1 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【分析】本题考查了概率的基本概念，理解并掌握必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件定义是解题的关键． 根据必然事件概率为，不可能事件概率为，随机事件概率在和之间。确定性事件包括必然事件和不可能事件，理解即可求解． 解：、必然事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、确定性事件包括必然事件和不可能事件，必然事件概率为，不可能事件概率为，故这种说法错误，故选项符合题意； 、不可能事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、随机事件发生的概率介于和之间，这种说法正确，故选项不符合题意． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为、、．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是___________．（填“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查的是概率的意义，理解概率的取值范围与事件发生可能性的对应关系是解题的关键．根据概率的取值意义：概率越接近，事件发生的可能性越大；概率等于则事件必然发生，进而判断出概率为的事件“发生的可能性很大，但不一定发生”． 解：甲事件发生的概率为，远小于，发生的可能性很小； 乙事件发生的概率为，接近，发生的可能性很大，但概率小于，因此不一定发生； 丙事件发生的概率为，表示一定发生，不符合“不一定发生”的描述． 故答案为：乙． 【变式3】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用编号把这些事件发生的机会在直线上表示出来． 、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是 ； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为的机会是 ； 、投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是 ． 【答案】；；，在直线上表示见分析． 【分析】此题考查了求概率，根据随机事件可能性大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数，二者的比值就是其发生的可能性大小，故可分别求出其概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、在一个不透明的袋中装有红球个，白球个，黑球个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出个球，取到红球的机会是； 、投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为是不可能事件，故概率为； 、投掷两枚普通硬币，一共有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种等可能结果，出现两个正面的由一种， ∴出现两个正面的机会是， 故答案为：；；， 在直线上表示如下， 【题型 2】单次试验直接计算概率 【例题2】（25-26七年级下·山东威海·期末）小明和小颖用标有数字1，2，3，4，5的五张卡片做游戏，这五张卡片除数字外完全相同．将五张卡片数字朝下分别放在桌面上，小明从中任意抽出一张（不放回），小颖从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到的数字大谁就获胜． （1）若小明抽到的数字为2，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； （2）若小明抽到的数字为5，则小明获胜的概率为__________，小颖获胜的概率为__________； （3）若小明抽完卡片后小明和小颖获胜的概率相同，则小明抽到的数字是__________． 【答案】（1），；（2）1，0；（3）3 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）根据5是最大的数得到小颖抽到的数都小于5，可得小明一定获胜； （3）根据题意得到剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量，据此求解即可． 解：（1）解：若小明抽到的数字为2，剩下的数字为1，3，4，5， ∴小颖抽到1的概率为，小颖抽到3，4，5的概率为， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为； （2）解：若小明抽到的数字为5，剩下的数字为1，2，3，4， ∴小颖抽到1，2，3，4的概率为1， ∵谁抽到的数字大谁就获胜， ∴小明获胜的概率为1，小颖获胜的概率为0； （3）解：∵小明和小颖获胜的概率相同，小明抽完后剩下4张卡片， ∴剩下的4张卡片中大于小明抽到的数的数量等于小于小明抽到的数的数量， ∴小明抽到的数字是3． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有5颗黑色棋子和2颗白色棋子，每颗棋子除颜色外都相同，任意摸出一颗棋子，摸到白色棋子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵盒子中有5颗黑色棋子和2颗白色棋子，每颗棋子除颜色外都相同，被摸到的可能性相等， ∴棋子总数为颗， ∴摸到白色棋子的概率为． 【变式2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）崂山茶礼盒中有4袋绿茶，2袋红茶，2袋花茶，外观完全相同，从中随机取出一袋，取到的不是花茶的概率为________． 【答案】 【分析】先求出所有等可能结果的总数，再求出“取到不是花茶”这一事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 解：由题意可知，所有等可能取的结果总数为 ， 事件“取到不是花茶”包含的结果数为 ， 根据概率公式可得取到的不是花茶的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·期末）任意掷一枚质地均匀的正方体骰子（各面上的数字分别是1，2，3，4，5，6）两次． （1）直接写出第一次点数结果为3的概率； （2）第一次点数结果为3，求出第二次点数结果与第一次点数结果之积为偶数的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据第一次点数为奇数，得出积为偶数需要第二次点数为偶数，确定对应结果数后代入公式计算． 解：（1）解：∵掷第一次骰子，所有等可能的点数结果共6种，其中点数为3的结果只有1种， ∴第一次点数结果为3的概率为； （2）解： 由题意得第一次点数为3，3是奇数，根据奇数乘偶数为偶数，可知要使两次点数的积为偶数，第二次点数必须为偶数， ∵第二次掷骰子所有等可能结果共6种，其中偶数点数为2，4，6，共3种， ∴第二次点数结果与第一次点数结果之积为偶数的概率为． 【题型 3】转盘圆心角类概率计算 【例题3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，小李和小颖制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘A被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5． （1）小李转动一次转盘A，指针指向数字为5的概率是； （2）小李和小颖用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将转盘A转出的数字作为被减数，转盘B转出的数字作为减数，如果差为正数，则小李胜；若差为负数，则小颖胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】（1）指针指向数字为5的概率是；（2）这个游戏对双方不公平，理由见分析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可得出答案； （2）根据题意画出表格得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 解：（1）解：A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6，共4种情况，其中数字为5的有1种， ∴指针指向数字为5的概率是． （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： 被减数 减数 2 3 5 6 5 0 1 5 0 1 4 1 2 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， ∴小李获胜的概率为，小颖获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．小明转出来的数字不大于6的概率与小亮转出的颜色是红色的概率是否相同？（   ） A．相同 B．小明转出的概率大 C．小亮转出的概率大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据概率公式进行计算即可． 解：小明转出来的数字不大于6的概率， 小亮转出的颜色是红色的概率， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西太原·期中）某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客不仅可以享受商品折扣，还可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖．现场设置了一个材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，指针所指区域即可领取对应奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为______． 【答案】 【分析】用二等奖对应的扇形的圆心角度数除以整个圆的圆心角度数即可求解． 解：∵二等奖对应的扇形的圆心角度数为，整个圆的圆心角度数为， ∴顾客转动一次转盘获得二等奖的奖品的概率为． 【变式3】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： （1）小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） （2）小华获得元红包的概率； （3）小华享受八折优惠的概率． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 解：（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】 两步放回试验概率计算（列表法） 【例题4】（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 （1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； （2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． （3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图． （1）直接由频率和概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解； （3）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解． 解：（1）解：上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是； ∵口袋中有四个完全相同的小球， ∴小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是； （2）解：画树状图如下：    由树状图可得共有16种可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有4种， ∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为； （3）解：画树状图如下：    由树状图可得共有12种可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种， ∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）李明从商店购买了一款盲盒卡片，打开后发现，有张卡片，张卡片．现将张卡片打乱放回盲盒中，若先从盲盒中随机抽取张，记录后放回、晃匀，再从中随机抽取张，则两次抽取的卡片，恰好张是卡片另张是卡片的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图求概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到等可能的结果数，再找出恰好张是卡片另张是卡片的结果数，然后根据概率公式求解即可． 解：画树状图如图所示： 共有种等可能的结果，其中张是卡片另张是卡片的结果有种， 恰好张是卡片另张是卡片的概率是， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设盒子中大约有白球x个，根据黑球有8个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为，据此列方程解题即可． 解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得： 解得: 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球然后放回，表格是试验进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 200 300 400 800 1000 2000 摸到黑球的频率 0.22 0.18 0.21 0.19 0.21 0.20 （1）根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是___________．（保留1位小数）； （2）求袋中白球的个数； （3）若小明同学摸出一个球后放回，再次摸出一个球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1）0.2；（2）袋中白球的个数为4个；（3） 【分析】（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.2左右，即为摸出黑球的概率； （2）袋中白球的个数为个，根据概率公式得到，然后解方程即可； （3）画树状图展示所有25种等可能的结果，再找出他两次都摸出白球的结果数，然后根据概率公式即可求解． 解：（1）解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.2左右， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.2． （2）解：设袋中白球的个数为，根据题意得， ， 解得， 经检验是方程的解， ∴袋中白球的个数为4个． （3）解：画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，两次都摸到白球的有16种情况， ∴两次都摸出白球的概率为． 【题型 5】 组合搭配类概率计算 【例题5】（2026·江苏苏州·一模）暑假小红准备到北京四大景点去游玩：.故宫，.天坛，.颐和园，.长城． （1）若小红随机选择其中一个景点游玩，恰好选中.天坛的概率是__________； （2）若小红随机选择其中两个不同景点游玩，求恰好选中.颐和园和.长城的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了概率与统计中的古典概型以及列举法求概率． （1）根据古典概率计算，随机选一个景点，共有四个独立的选项，而天坛是唯一的目标即可算出概率． （2）列表得出所有可能的结果，发现有十二种可能，其中恰好选中.颐和园和.长城的有两种，即可求出． 解：（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中.天坛的结果只有种， 恰好选中.天坛的概率是． （2）列表如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选中.颐和园和.长城的结果有：，，共种， 恰好选中.颐和园和.长城的概率为． 【变式1】（2026·北京昌平·一模）京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两人恰好体验同一行当的情况，然后利用概率公式求解． 解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，其中两人恰好体验同一行当的情况有4种， ∴两人恰好体验同一行当的概率是． 【变式2】（2026·河南周口·二模）从“嵩山、云台山、老君山、八里沟”4处河南景区中随机选2处，恰好选中嵩山和老君山的概率为___________． 【答案】 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式计算即可． 解：记嵩山为，云台山为，老君山为，八里沟为，画出树状图，如图所示： ∵共有12种等可能情况数，其中恰好选中嵩山和老君山的情况数有2种， ∴恰好选中嵩山和老君山的概率为． 【变式3】（2026·江苏宿迁·二模）2026年苏超持续爆火，江苏省13个地级市各有一支代表队参加比赛． （1）如果在热身赛时，宿迁队要从其余各球队中任意抽取一支球队踢一场热身赛，恰好抽中南京队的概率是 ； （2）如果在热身赛时，从宿迁队、徐州队、淮安队、连云港队四支球队中任意抽取两支球队踢一场热身赛，恰好抽中宿迁队和徐州队的概率是多少？（请用列表或画树状图的方法求出概率） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据题意确定总结果数和符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）用列表法确定所有等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后代入概率公式计算即可． 解：（1）解：  共有13支代表队，宿迁队需要从其余12支球队中抽取，总共有12种等可能的结果， 恰好抽中南京队的结果只有1种， 因此概率为． （2）解：记宿迁队为A，徐州队为B，淮安队为C，连云港队为D，根据题意列表如下： A B C D A - （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） - （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） - （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中宿迁队和徐州队的结果有2种，因此恰好抽中宿迁队和徐州队的概率为． 【题型 6】游戏公平性判断（高频易错） 【例题6】（25-26九年级上·全国·期中）如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字．小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加（若指针恰好停在分隔线上，则重转一次）；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜． （1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率． （2）你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平． 【答案】（1）；（2）不公平，见分析 【分析】本题考查了概率的含义及概率的求法，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种，从而根据概率公式可算出答案； （2）不公平，理由如下：分别算出小倩获胜的概率，再与小洋获胜的概率比大小，即可判断得出答案；进而根据使两人获胜的概率相等修改方案即可． 解：（1）解：根据题意画出树状图如下： 由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种， ∴小洋获胜的概率为：； （2）解：不公平，理由如下： （小倩胜）， ∴小倩获胜的可能性大； 修改游戏规则如下：若和大于0，则小洋获胜，否则小倩获胜（答案不唯一）． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？_____（填公平或不公平）_____ 获胜的概率大，概率是______ ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去， （1）求抽到印有4的卡片的概率； （2）你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平． 【答案】（1）；（2）不公平，理由及修改规则见分析 【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断． （1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可． 解：（1）解：因为8张卡片中，有2张是印有4的， 所以（抽到印有4的卡片）． （2）不公平． 理由：根据题意，得（小明去），（小亮去）． 因为，所以不公平． 修改规则如下：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一） 【题型 7】几何概率计算 【例题7】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） （2）小亮获胜的机会约为多大？ （3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据频率估计概率，即可求解； （2）根据概率的意义，即可求解； （3）设阴影区域面积为S，设整个图案面积为，先求出内圆面积为，由（1）得：，再由，即可求解． 解：（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为； （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 【变式2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·山东威海·期中）如图，在长方形中，顶点，直线分别交于点D，E，且点D为的中点． （1）求k的值及此时的面积； （2）现向长方形内随机投掷一枚飞镖，求飞镖落在内的概率．（若投在边框上则重投） 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由长方形的性质和已知条件“D是的中点”易求点D的坐标，把点D的坐标代入直线方程可以求得k的值；然后把代入函数解析式易求点E的坐标．再由三角形的面积公式求的面积，即可解题； （2）根据飞镖落在内的概率，即可解题． 根据题意分析得出点D、E的坐标是解题的关键． 解：（1）解：∵长方形中，顶点， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴ 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴飞镖落在内的概率． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根，土木华章，晋魂春秋，雄关万里，表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数出所有等可能结果数和所求事件的结果数，然后利用概率公式，即可计算． 解：∵从5条线路中随机选择1条，共有5种等可能的结果，选中“华夏之根”线路的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，选中“华夏之根”线路的概率为． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【答案】C 【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【点拨】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小．解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概率． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）在一个不透明的口袋里装有若干个只有颜色不同的球，如果口袋里装有6个红球，从中任意摸取一个，且摸出红球的概率是，那么袋中共有球（     ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】根据概率公式，已知红球个数和摸出红球的概率，列式即可求出总球数． 解： 摸出红球的概率 = 红球个数总球数， 已知红球个数为，摸出红球的概率为， 可得总球数为 （个） 即袋中共有18个球． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图所示的是一个边长为的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：正方形纸板面积为，空白部分面积为，空白部分所占面积是正方形纸板面积的，所以针尖落在空白区域的概率为． 5．（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 6．（2026·贵州·中考真题）某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）有五张正面分别标有数，0，1，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程的解是正整数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先整理一元一次方程得到，再找出所有a的取值中，使得方程的解为正整数的a的个数，最后根据概率公式计算概率，得到正确选项． 解：∵ ， 展开得：， 移项合并同类项得：， a的所有等可能取值为，共5种， 逐个验证得： 当时，，不是正整数，不符合； 当时，方程无解，不符合； 当时，，是正整数，符合； 当时，，不是正整数，不符合； 当时，，是正整数，符合． 因此符合条件的结果共2种， 根据概率公式得使关于x的方程的解是正整数的概率为． 8．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 9．（2026·四川成都·三模）在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，估计袋中白球有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋中白球有个，根据概率公式列方程求解即可． 解：设袋中白球有个，则总球数为个， 经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在， ，解得， 经检验是原方程的解， 估计袋中白球有个． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）元元抛一枚质地均匀的硬币2次，2次都是正面向上，则元元抛第3次时正面向上的概率为__________． 【答案】 【分析】抛一枚质地均匀的硬币，每次抛掷为独立事件．前两次抛掷的结果不影响第三次抛掷的结果，硬币只有正面向上和反面向上两种等可能结果，据此求解． 解：抛一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，且每次抛掷的结果互不影响， 抛第次时正面向上的概率是． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）从一副扑克牌中任意抽取1张，①抽到的牌是“A”；②抽到的牌是“黑桃”；③抽到的牌是“大王”．上述事件发生概率最大的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】分别计算三个事件发生的概率，再比较大小即可得到结果． 解：一副扑克牌共有张， ①抽到“A”的情况数为，概率为； ②抽到“黑桃”的情况数为，概率为； ③ 抽到“大王”的情况数为，概率为； ， 发生概率最大的是②．． 13．（2024九年级上·重庆江津·竞赛）从，，3，中随机任取一数，取到无理数的概率是________． 【答案】 解：从，，，中随机任取一数，共有种等可能的结果，其中无理数只有，共种结果， 取到无理数的概率为． 14．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球、3个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．若要使摸到红球的概率最大，则的最小值为_____． 【答案】4 解：袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，为正整数， 要使摸到红球的概率最大，则红球的数量为袋中最多， ∴， ∵是正整数， ∴的最小值为． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在一个不透明的口袋中装有16个白球和个黄球，它们除颜色外完全相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率为，则的值是________． 【答案】 【分析】根据口袋中装有16个白球和个黄球，故球的总个数为，再根据黄球的概率公式列式解答即可． 解：根据题意得：， 解得． 16．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为______． 【答案】 【分析】先求出红色区域对应的圆心角度数，再根据几何概率公式：概率=对应区域圆心角度数，计算指针落在红色区域的概率． 解：由图可知，蓝色区域圆心角为， 红色区域圆心角为：， 转盘停止时指针落在红色区域的概率为：． 17．（2024·湖北襄阳·二模）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 18．（2024·甘肃陇南·一模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形键盘上，飞镖落在白色区域的概率为___． 【答案】 【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 解：设正六边形边长为a， 则灰色部分面积为3×， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为, 所以镖落在白色区域的概率P= =. 故答案为：. 【点拨】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级上·全国·专题练习）将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见分析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北张家口·期末）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左转或右转．假设这三种可能性相同，现有嘉嘉和琪琪两人经过该路口． （1）嘉嘉从这三种情况中任选一个可能右转的概率是______； （2）利用树状图或列表法求两人之中至少有一人直行的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 解：（1）解：由题意得，经过路口共有3种等可能的情况，其中右转只有1种情况，因此嘉嘉右转的概率为； （2）解：画树状图为： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中至少有一人直行的结果有5种. 因此两人之中至少有一人直行的概率为． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·江苏·专题练习）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个． （1）从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）先求出黑球的数量，再由概率公式计算即可得解； （2）先根据任意摸出一个球是黑球的概率为求出盒子中球的总量，即可得解． 解：（1）解：因为共20个球，其中红球5个，白球9个， 所以黑球有（个）， 从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率为； （2）解：因为任意摸出一个球是黑球的概率为， 所以盒子中球的总量为：（个）， 所以可以将盒子中的白球拿出（个）， 所以． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）现有正面分别写有“最”“美”“附”“中”“人”的卡片共30张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有9张，“附”字卡片有6张，“中”字卡片有3张，“人”字卡片有8张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （2）从这些卡片中取出a张写有“最”字的卡片，再放入a张写有“美”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“美”字卡片的概率为，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据总卡片数和其他卡片数量算出“美”字卡片的数量，再根据概率公式计算抽到“美”字卡片的概率； （2）取出张写有“最”字的卡片，放入张写有“美”字的卡片后，总卡片数仍为张，此时写有“美”字的卡片数量为张，结合给定的概率列出一元一次方程，求解得到的值． 解：（1）解：由题意得，总卡片数为张写有“美”字的卡片数量为张， 因此随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为 （2）解：根据题意可列方程， 解得． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）学校开展交通安全知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分、、、四个等级），其中获得等级和等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中等级对应的圆心角的度数； （3）等级中有名女生，等级中有名女生，学校计划从等级为或的学生中抽取名参加区级交通安全知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？ 【答案】（1） （2），；（3） 【分析】（1）用等级的人数除以其人数占比即可求解； （2）求出等级的人数，可补全统计图，再用度乘以等级的人数占比可求出对应的圆心角度数； （3）用等级和等级的女生人数之和除以等级和等级的人数之和，即可求解． 解：（1）解：（名）， ∴共抽取了名学生． （2）解：等级的人数为（人）， 扇形统计图中等级对应的圆心角的度数为． （3）解：， ∴抽到女生的概率是． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． （1）先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． （2）若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． （3）若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 解：（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $