专题 2.4 有理数的除法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数除法核心知识点，从除法与乘法的逆运算关系切入，系统梳理除法法则（转化为乘法及直接定符号算绝对值）、分数化简（分子除分母及符号规律）、乘除混合运算（转化、定符号、约分）及四则混合运算（运算顺序与简便方法），构建递进式学习支架。 资料以分层题型设计为特色，含夯实基础与综合提升模块，例题结合变式题，同步检测覆盖选择、填空、解答。融入实际应用（如阶梯水费计算）和数学文化（《九章算术》问题），通过多样题型训练运算能力，实际情境培养应用意识，符号规律学习提升抽象能力，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题 2.4 有理数的除法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数除法法则 2 【知识点二】分数化简 2 【知识点三】有理数乘除混合运算 2 【知识点四】有理数四则混合运算 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】有理数直接除法计算 3 【题型2】化简分数 3 【题型3】有理数的乘除混合运算 4 【题型4】有理数的乘除混合运算的应用 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】有理数加减乘除四则混合运算 5 【题型6】有理数加减乘除简便运算 6 【题型7】判断正误 6 五.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 19．（本小题满分8分） 10 20．（本小题满分8分） 10 21．（本小题满分10分） 10 22．（本小题满分10分） 10 23．（本小题满分10分） 10 24．（本小题满分12分） 10 一.学习目标 1. 理解有理数除法和乘法互为逆运算，掌握有理数除法的两条法则。 2. 会进行有理数除法运算，掌握分数化简，理解分数可以看作分子除以分母。 3. 熟练掌握有理数乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再确定符号，最后计算绝对值。 4. 掌握有理数加减乘除四则混合运算，遵循先乘除，后加减，有括号先算括号内。 5. 会用有理数运算解决简单的实际应用题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】有理数除法法则 除法是乘法的逆运算，0不能作除数。 法则1（转化为乘法）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即： 法则2：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【要点提示】 ① 两个法则灵活选用：整数相除用法则2，直接定符号、算绝对值；分数、小数除法优先用法则1，变除为乘，约分计算。 ② 0可以做被除数，但绝对不能做除数。 ③ 做除法运算顺序：先定商的符号，再计算绝对值。 【知识点二】分数化简 分数可以理解为分子÷分母。即： 分数符号规律：，即：负号可放在分子、分母、分数前面任意一处。 【知识点三】有理数乘除混合运算 1. 运算步骤：全部除法转化成乘法 → 判断积的符号 → 约分计算。 2. 乘除属于同级运算，从左向右依次运算，不可随意调换运算顺序。 【知识点四】有理数四则混合运算 运算顺序： ① 先乘除，后加减； ② 有括号，先算括号里面（小括号→中括号→大括号）； ③ 同级运算，从左往右。 可以灵活使用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】有理数直接除法计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】化简分数 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列分数： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： （1）直接把下面无限循环小数化为分数______，______； （2）请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 【题型3】有理数的乘除混合运算 【例题3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【题型4】有理数的乘除混合运算的应用 【例题4】（26-27七年级上·浙江·开学考试）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． （1）李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ （2）王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： （1）求该便利店这一周平均每天营业额多少元； （2）每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】有理数加减乘除四则混合运算 【例题5】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川广安·期末）若定义一种新运算，规定，则______． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【题型6】有理数加减乘除简便运算 【例题6】（25-26七年级上·云南文山·期中）计算（能简便的要简便计算） （1） （2） 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算________． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）简便计算：必须用简便方法进行计算． （1） （2） 【题型7】判断正误 【例题7】（25-26七年级上·湖南永州·期中）小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： （1）他的计算过程是否正确？ （填写“正确”或“错误”）； ①的计算依据是 （2）如有错误，他在第 步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·期末）对于数a，b，定义一种新的运算“”：． （1）求的值； （2）若，求x的值； （3）小丁说：“．小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举例说明． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 2．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）进价为80元的商品，售价为100元，则该商品利润率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 7．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 8．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（   ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段（8：00-20：00）首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段（20：00-次日8：00）每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A．8.5元 B．15.5元 C．8.5元或15.5元 D．9元或15.5元 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 12．（25-26七年级上·天津河北·期中）计算的结果为_____． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 16．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 17．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 18．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河南信阳·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（本小题满分8分）（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3） （4） 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示， （1）在数轴上标出、， 并用“”连接； （2）化简： ． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·广东韶关·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）独立思考：解答王老师提出的问题，第5个式子为______，第n个式子为______． （2）实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：． （3）问题拓展：求． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 有理数的除法（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】有理数除法法则 2 【知识点二】分数化简 2 【知识点三】有理数乘除混合运算 2 【知识点四】有理数四则混合运算 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】有理数直接除法计算 3 【题型2】化简分数 5 【题型3】有理数的乘除混合运算 8 【题型4】有理数的乘除混合运算的应用 10 四.题型精析（综合提升） 12 【题型5】有理数加减乘除四则混合运算 13 【题型6】有理数加减乘除简便运算 15 【题型7】判断正误 17 五.同步检测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 19．（本小题满分8分） 26 20．（本小题满分8分） 27 21．（本小题满分10分） 27 22．（本小题满分10分） 28 23．（本小题满分10分） 29 24．（本小题满分12分） 30 一.学习目标 1. 理解有理数除法和乘法互为逆运算，掌握有理数除法的两条法则。 2. 会进行有理数除法运算，掌握分数化简，理解分数可以看作分子除以分母。 3. 熟练掌握有理数乘除混合运算：先把除法转化为乘法，再确定符号，最后计算绝对值。 4. 掌握有理数加减乘除四则混合运算，遵循先乘除，后加减，有括号先算括号内。 5. 会用有理数运算解决简单的实际应用题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】有理数除法法则 除法是乘法的逆运算，0不能作除数。 法则1（转化为乘法）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即： 法则2：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【要点提示】 ① 两个法则灵活选用：整数相除用法则2，直接定符号、算绝对值；分数、小数除法优先用法则1，变除为乘，约分计算。 ② 0可以做被除数，但绝对不能做除数。 ③ 做除法运算顺序：先定商的符号，再计算绝对值。 【知识点二】分数化简 分数可以理解为分子÷分母。即： 分数符号规律：，即：负号可放在分子、分母、分数前面任意一处。 【知识点三】有理数乘除混合运算 1. 运算步骤：全部除法转化成乘法 → 判断积的符号 → 约分计算。 2. 乘除属于同级运算，从左向右依次运算，不可随意调换运算顺序。 【知识点四】有理数四则混合运算 运算顺序： ① 先乘除，后加减； ② 有括号，先算括号里面（小括号→中括号→大括号）； ③ 同级运算，从左往右。 可以灵活使用乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】有理数直接除法计算 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 解：，，，， 故是． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】6 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． （1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （3）先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （4）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型2】化简分数 【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列分数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （3）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （4）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数与小数的四则运算及数的大小比较，依次计算各选项的运算结果，将结果与1比较大小即可得到答案． 解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），括号内应依次填入：______；______；______；______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数、小数、百分数、比和除法之间的互化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可得解，熟练掌握其转化方法并能灵活运用是解决此题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解 阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： （1）直接把下面无限循环小数化为分数______，______； （2）请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 【答案】（1） ；（2）， 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是仿照材料解题． （1）仿照材料里的方法将无限循环小数化为分数即可； （2）仿照材料里的方法将化为分数；先仿照材料求出，可得，再根据计算即可． 解：（1）解：，即， ∴， ，即， ∴， 故答案为：； （2）解：，即， ∴； ，即， ∴， ∴ 即． 【题型3】有理数的乘除混合运算 【例题3】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·阶段检测）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法、有理数的除法，首先根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法，然后再根据有理数的乘法法则进行计算，根据计算的结果判断正误． 解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． （1）解： ； （2）解： 【题型4】有理数的乘除混合运算的应用 【例题4】（26-27七年级上·浙江·开学考试）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． （1）李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ （2）王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【答案】（1）元；（2）24吨 【分析】（1）根据题意及有理数的乘法计算即可； （2）先计算第一阶梯满额水费，然后再计算第二阶梯满额累计水费，进行比较求解即可． （1）解：∵， ∴全部按第一阶梯单价收费：（元） 答：李叔叔家上月应交水费元． （2）解：第一阶梯满额水费：（元） 再计算第二阶梯满额累计水费（即用水25吨时的费用）： （元） ∵， ∴王阿姨家用水量超过15吨但不超过25吨，处于第二阶梯． 第二阶梯部分的水费：（元） 第二阶梯部分的用水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：王阿姨家上月用水24吨． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 解：由题意可得：. 故选：B 【变式2】（2026·陕西·中考真题）某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为_________． 【答案】 【分析】根据“数量（成本利润）单价”列式求解即可． 解：， ∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为26． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）某便利店一周每日营业额以 500 元为标准，超出记正、不足记负： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： （1）求该便利店这一周平均每天营业额多少元； （2）每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，求这周总盈利多少元． 【答案】（1）元；（2）元 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据每天固定成本200元，超出500元的部分按额外盈利，列式计算即可． （1）解： （元）， 答：该便利店这一周平均每天营业额为元； （2）解： （元）， 答：这周总盈利元． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】有理数加减乘除四则混合运算 【例题5】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算下列各题： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 解：选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 【变式2】（24-25七年级上·四川广安·期末）若定义一种新运算，规定，则______． 【答案】0 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6】有理数加减乘除简便运算 【例题6】（25-26七年级上·云南文山·期中）计算（能简便的要简便计算） （1） （2） 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律简便运算是解答的关键． （1）利用乘法分配律计算求解即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后加减运算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算________． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，由新定义得，进行裂项运算，即可求解；理解新定义，会用裂项法进行计算是解题的关键． 解：由题意得 ； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）简便计算：必须用简便方法进行计算． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可求解． （1）解：              ； （2）解： ． 【题型7】判断正误 【例题7】（25-26七年级上·湖南永州·期中）小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： （1）他的计算过程是否正确？ （填写“正确”或“错误”）； ①的计算依据是 （2）如有错误，他在第 步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】（1）错误；错误地应用了分配律（或除法没有分配律）；（2）① 【分析】本题考查有理数的混合运算，关键在于识别计算过程中的错误步骤并纠正． （1）小杨在第①步错误地应用了分配律，导致计算错误； （2）正确的做法是先计算括号内的减法，再按运算顺序计算． （1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的，①的计算依据是错误地应用了分配律 故答案为：错误；错误地应用了分配律（或除法没有分配律）； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 原式 ． 故答案为：①． 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】④ 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，再结合有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 解：由数轴可知，， 对于①，∵在原点左侧，，故①错误 对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误 对于③，∵，∴，故③错误 对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确 综上所述，结论正确的是④ 【变式3】（24-25七年级上·福建漳州·期末）对于数a，b，定义一种新的运算“”：． （1）求的值； （2）若，求x的值； （3）小丁说：“．小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举例说明． 【答案】（1）；（2）；（3）小丁的说法正确，理由详见分析． 【分析】此题考查了有理数的混合运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，列出方程求解即可； （3）利用题中的新定义列出代数式并进行判断即可． 解：（1）． （2）∵， 又∵ ， ∴． 解得． （3）小丁的说法正确，理由如下： ∵， 又∵， ∴． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 解：． 2．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 【答案】A 【分析】本题主要考查了除法的应用，通过计算每天加工椅子的数量来比较工作效率，王师傅每天加工6把，根据李师傅4天加工20把，求出李师傅每天加工数量，再进行比较即可． 解：∵李师傅4天加工20把椅子， ∴李师傅每天加工数量为：（把）， ∵， ∴王师傅做得快些． 故选：A． 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）进价为80元的商品，售价为100元，则该商品利润率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利润率公式：利润率利润进价，代入数据计算即可. 解：∵ 利润售价进价， ∴ 该商品的利润为 元， ∵ 利润率利润进价， ∴ 利润率为 . 4．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 5．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：． 6．（2026·江苏镇江·一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 8．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 解：由数轴可得，，且， ∴，． 9．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得； 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（   ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段（8：00-20：00）首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段（20：00-次日8：00）每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A．8.5元 B．15.5元 C．8.5元或15.5元 D．9元或15.5元 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意和表格中的数据，可以分别计算出小明爸爸此次停车所需支付的费用，然后即可判断哪个选项符合题意． 解：， 当在工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 当在非工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 解： ． 12．（25-26七年级上·天津河北·期中）计算的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用有理数除法法则（除以一个数等于乘以它的倒数），并处理符号，最后化简分数即可． 解： ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 解： 14．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 解：∵， ∴． 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 【答案】5100 解：（元） 16．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 17．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 解：根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 18．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）数学活动课上，小语设计了一个如图的程序图．若输入的，输出的数是a，若输入的，输出的数是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解流程图的运算方式是解题关键． 分别代入x的值进行运算，得到a和b，再相乘即可． 解：当时，输出的结果为； 当时，输出的结果为； ∴，， ∴， 故答案为： ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·河南信阳·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算和绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据有理数的加法运算知识，进行作答，即可求解； （2）根据有理数的减法运算知识，进行作答，即可求解； （3）根据有理数的乘法运算和绝对值的知识，进行作答，即可求解； （4）根据有理数的除法运算知识，进行作答，即可求解； （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； 20．（本小题满分8分）（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘除法则计算即可； （2）先算括号，再算除法即可． 解：（1）解：． （2）解：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示， （1）在数轴上标出、， 并用“”连接； （2）化简： ． 【答案】（1）在数轴上标出、如下： ；（2） 【分析】本题考查了数轴表示数、绝对值化简，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点距离相等； （2）先判断正负再化简． 解：（1）由数轴的定义得：，且， 则， 所以； （2）由数轴的定义得：，且， 则，， 所以． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·广东韶关·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． （1）独立思考：解答王老师提出的问题，第5个式子为______，第n个式子为______． （2）实践探究：在（1）中找出规律，并利用规律计算：． （3）问题拓展：求． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的混合运算； （1）根据已知条件得到第一个式子的分母是，第二个式子的分母是，第三个式子的分母是，由此即可求解第五个式子和第个式子； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解； （3）根据题意，将每个式子拆成，由此即可求解． 理解题意，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）解：∵，，，， ∴第五个式子是， 第个式子是． （2）解： ． （3）∵，，，， ∴ ． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 【答案】（1）甲的解法错误，乙与丙的解法正确；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键． （1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可； （2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可； （3）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可． 解：（1）解法一中，除法是没有分配律的，计算是错误的； 则甲的解法错误，乙与丙的解法正确； （2）原式的倒数为 故原式； （3）原式的倒数为 故原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $