05椭圆及其几何性质——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆及其几何性质，系统整合概念、标准方程、几何性质及焦点三角形等核心考点，按“知识梳理-回归教材-考点突破-跟踪练习”逻辑架构，通过教材例题回扣、考点方法小结、分层真题训练，帮助学生构建知识网络，突破定义应用、离心率计算等难点。 资料以“回归教材+方法建模”为特色，如在焦点三角形教学中，引导学生从定义出发推导面积公式，培养数学思维与推理能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，结合离心率求法等策略指导，助力学生高效掌握解题规律，为教师把控一轮复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——05 椭圆及其几何性质 知识梳理： 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P表示椭圆；(2)若a＝c，则集合P表示线段；(3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ. 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.1.1节例2】如图3.1-5，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图3.1-5 【人教A版选择性必修一第3.1.1节例3】 如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图3.1-6 【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第4题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例6】动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例7】如图3.1-13，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？ 图3.1-13 【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 【人教A版选择性必修一习题3.1第5题】已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 【人教A版选择性必修一习题3.1第6题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【人教A版选择性必修一习题3.1第7题】彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程． 【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【人教A版选择性必修一习题3.1第13题】已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【人教A版选择性必修一习题3.1第14题】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 考点梳理： 例、已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第3题】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 小结： 1．椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 例、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 例、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点P1(，1)，P2(－，－)的椭圆的标准方程为________________． 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 小结： 求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义确定2a，2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下： 例、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题】比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与；（2）与． 例、已知椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线,的斜率之积为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 例、设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 小结： 1．求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的取值范围时，要注意应用这些不等式． 例、设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 例、设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 例、（多选题）设椭圆的两个焦点分别为,，上顶点为，点在上，则( ). A. B. 的最大值 C. 的最大值为5 D. 的最大值为 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 小结： 与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 跟踪练习： 1、已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(y≠0) 2．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9且k≠0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 5. 设,为椭圆的两个焦点，点在上，若，则( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 6．（2026·湖南·一模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知曲线C：＋＝1(λ＞0)，则(　　) A．当λ＝3时，C是圆 B．当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为(2，0) C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2 D．当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆 13．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．的短轴长为 C．为等边三角形 D．为等边三角形 14. 已知椭圆，在，，，中恰有三点在椭圆上，则椭圆的方程为 . 15．椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则 ． 16．（2026·江西·一模）已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 17. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为 . 18．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 19．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围． 20．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——05 椭圆及其几何性质 知识梳理： 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P表示椭圆；(2)若a＝c，则集合P表示线段；(3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ. 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.1.1节例2】如图3.1-5，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图3.1-5 分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为，由点M是线段的中点，得，．因为点在圆上，所以． ① 把，代入方程①，得，即．所以点M的轨迹是椭圆． 【人教A版选择性必修一第3.1.1节例3】 如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图3.1-6 分析：设点M的坐标为，那么直线，的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线的斜率．同理，直线的斜率．由已知，有，化简，得点M的轨迹方程为．点M的轨迹是除去，两点的椭圆． 【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第4题】已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点M的轨迹是直线，并去掉点 【分析】设出点M的坐标，求出直线斜率，由可求出. 【详解】设点M的坐标为，则，，当时，，整理得，所以点M的轨迹是直线，并去掉点. 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例6】动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：如图3.1-12，设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M轨迹就是集合． 由此得．将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆． 【人教A版选择性必修一第3.1.2节例7】如图3.1-13，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？ 图3.1-13 分析：直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组 解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答． 解：由方程组，消去y，得． ① 方程①的根的判别式． 由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 【答案】 【分析】求出椭圆的左焦点，根据点斜式设出方程，联立直线方程与椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦的长． 【详解】椭圆方程为，焦点分别为，，直线过左焦点倾斜角为，直线的方程为，将方程与椭圆方程消去，得，设，，，，可得，，， 因此，． 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 【人教A版选择性必修一习题3.1第1题】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 【答案】椭圆，理由见解析， 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】点M的轨迹是椭圆，由满足可知，动点到定点的距离之和为10，且，所以动点的轨迹为椭圆.由可得，，焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为： 【人教A版选择性必修一习题3.1第5题】已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 【答案】，，，. 【分析】设是椭圆上一点，由面积可得，代入椭圆可得，即可求出坐标. 【详解】由椭圆方程可得，设是椭圆上一点，则，代入椭圆，则，所以点P的坐标为，，，. 【人教A版选择性必修一习题3.1第6题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】椭圆，理由见解析 【分析】如图，连接，由题得，且,即得点Q的轨迹是椭圆. 【详解】 如图，连接，则,所以,所以，且,所以当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆. 【点睛】本题主要考查轨迹问题，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【人教A版选择性必修一习题3.1第7题】彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程． 【答案】（1） 【分析】以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为轴建立平面直角坐标系，从而可得，解出，求出可得答案. 【详解】以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为轴建立平面直角坐标系. 设该椭圆的方程为， 由条件可得， 解得，所以， 所以 【人教A版选择性必修一习题3.1第8题】点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】；椭圆． 【分析】用坐标表示已知条件，列出方程并化简可得点M的轨迹方程． 【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合， 由此得．将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为；轨迹是椭圆． 【人教A版选择性必修一习题3.1第9题】如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点P在圆上即可求出. 【详解】设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 【人教A版选择性必修一习题3.1第10题】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【解析】 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴， ∴ ∴，∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 【人教A版选择性必修一习题3.1第13题】已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最小，最小值为. 【解析】 【分析】设椭圆上点，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求得. 【详解】设椭圆上点， 则点到直线距离 ，其中， （1）当时，，此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，，此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最大，最大值为； 【人教A版选择性必修一习题3.1第14题】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程：，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式和参数方程，消去，即可得到所求的结论． 【详解】（1）设一组平行直线的方程为，代入椭圆方程，可得，即为，由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交； （2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得，即有， 代入直线方程可得截得弦的中点为，，由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 考点梳理： 例、已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 答案：A 解析：由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，则c2＝a2－b2＝49－24＝25，所以a＝7，c＝5，因为3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.故选A. 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知，，所以， 所以．所以，所求椭圆的标准方程为． 例、【人教A版选择性必修一第3.1.1节练习第3题】已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析 【分析】根据椭圆的定义的周长为求解. 【详解】（1）由椭圆的定义得：， 所以的周长为. （2）不变，由椭圆的定义的周长为.只受a的影响，不受与轴的位置关系影响. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 小结： 1．椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)解决与焦点有关的距离问题． 2．焦点三角形的应用 椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等． 例、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 答案：B 解析：因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为C的上顶点，所以B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)．因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的标准方程为＋＝1.故选B. 例、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点P1(，1)，P2(－，－)的椭圆的标准方程为________________． 答案：＋＝1 解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第4题】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 【答案】（1）1；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据题意，分析可得要求的椭圆的焦点在x轴上，且，b，将a、b的值代入椭圆的标准方程即可得答案； （2）根据题意，分析可得：a＝3b，分2种情况讨论椭圆的焦点位置，综合即可得答案； （3）依题意求出、，再根据，求出，最后根据焦点的位置分类讨论即可； 【详解】（1）根据题意，椭圆经过点，，且， 则椭圆的焦点在x轴上，且，b，则椭圆的方程为：1； （2）根据题意，要求椭圆长轴长是短轴长的3倍，即， 若椭圆经过点，分2种情况讨论： ①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：， ②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：， （3）根据题意，即，又，所以，因为，所以 若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：． 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：． 小结： 求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义确定2a，2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下： 例、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题】比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与；（2）与． 【答案】（1）更接近于圆；（2） 更接近于圆. 【分析】探究可得离心率越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率，所以越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. （1）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率，因为，所以椭圆更接近于圆； （2）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率，因为，所以椭圆更接近于圆. 例、已知椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线,的斜率之积为，则的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A [解析]（法一：设而不求法）设，则, 则由,得，由，得， 所以，即，所以椭圆的离心率.故选. （法二：第三定义法）设右顶点为（图略），连接，由椭圆的对称性知，故， 由椭圆的第三定义得，故,所以椭圆的离心率. 例、设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C [解析]设,易知，因为，，所以 ， 因为，所以当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，显然该不等式不成立.故选. 小结： 1．求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的取值范围时，要注意应用这些不等式． 例、设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由P在C上，设P(x0，y0)，则＋y＝1，又B(0，1)，所以|PB|2＝x＋(y0－1)2，由＋y＝1，得x＝5－5y，y0∈[－1，1]，代入上式，得|PB|2＝5－5y＋(y0－1)2，化简，得|PB|2＝－4＋，y0∈[－1，1]．因此当且仅当y0＝－时，|PB|取得最大值.故选A. 例、设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 答案：A 解析：由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m<3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴0<m≤1. ②如图2，当焦点在y轴，即m>3时，a＝，b＝，tanα＝≥tan60°＝，∴m≥9.综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)．故选A. 例、（多选题）设椭圆的两个焦点分别为,，上顶点为，点在上，则( ). A. B. 的最大值 C. 的最大值为5 D. 的最大值为 【答案】BC [解析]由题意知,,，，故错误；的最大值为，故正确；，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为5，故正确； 设，满足，由题意知，， 当时，的最大值为，故错误.故选. 例、【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 【答案】1.5288×108km，1.4712×108km 【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论． 【详解】∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，∴半焦距约为2.88×106km， ∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km， 最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km． 小结： 与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 跟踪练习： 1、已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(y≠0) 答案：A 解析：∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＋＝1(x≠0)． 2．（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以，又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以，即椭圆的方程为. 3．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距，则点为椭圆的左焦点，其右焦点为，而直线恒过定点，所以的周长为.故选：D 4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9且k≠0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 答案：C 解析：曲线＋＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆．曲线＋＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为的椭圆．故选C. 5. 设,为椭圆的两个焦点，点在上，若，则( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B [解析]（法一：焦点三角形面积公式法）因为，所以 ， 从而，所以.故选. （法二：定义法）因为，所以 ，由椭圆方程可知，，解得，所以，又， 平方得，所以.故选. 6．（2026·湖南·一模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，点在上，且，，，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点在轴左侧，如图，作轴，垂足为．由，得，所以，即，则，，所以，即，则． 7．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，，因为面积为，故，得，即，将代入椭圆方程：，解得. ，，则. 8．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且，所以，解得. 9．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，因此有，所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，因此该圆的方程为，即，又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，由，代入椭圆： 中，得化简可得： ，解得：，又，故. 10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有，，，所以，又因为，即，，可得，解得，故离心率为．故选：B． 11．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为，因为，所以，为的中点，，，，，整理得，所以，即，，，在中，，在中，，，化简整理得， ，解得或，又，. 12．（多选）已知曲线C：＋＝1(λ＞0)，则(　　) A．当λ＝3时，C是圆 B．当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为(2，0) C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2 D．当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆 答案：AC 解析：对于A，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6，是圆，故A正确；对于B，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1，是焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当λ＝4时，曲线C：＋＝1，是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，故C正确；对于D，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．故选AC. 13．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（    ） A．的离心率为 B．的短轴长为 C．为等边三角形 D．为等边三角形 【答案】AC 【分析】先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出，进而求出离心率及短轴长，判断A，B，C，最后结合椭圆定义求出边长判断D. 【详解】由的左、右焦点分别为，得1，解得， 则，所以C的离心率，短轴长为，又因为，所以为等边三角形，故选项A正确，选项B错误，选项C正确；由题意设，则，解得，所以，又，所以，即不是等边三角形，故选项D错误. 14. 已知椭圆，在，，，中恰有三点在椭圆上，则椭圆的方程为 . 【答案】 [解析]由椭圆的几何性质可得点，，在椭圆上，代入椭圆的方程可得解得所以椭圆的方程为. 15．椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则 ． 【答案】 【分析】分析可知，利用勾股定理求出的值，然后利用椭圆的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的半径为（为坐标原点）， 因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且， 由勾股定理可得，因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，故. 16．（2026·江西·一模）已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质得到，利用椭圆的定义得到，利用离心率的公式得解. 【详解】如图：延长交直线于．由题可知， ，则，，因为，，所以，则. 17. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率，，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为 . 答案：4 [解析]由题意知，因为，所以，则，故椭圆方程为.设的坐标为，所以，.因为，，，，所以，则当时，取得最大值，最大值为4. 18．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 答案：8 解析：由|PQ|＝|F1F2|，得|OP|＝|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8. 19．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围． 解：(1)因为点M(1，m)在椭圆上，所以＋m2＝1，因为m>0，所以m＝， 因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)， 所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝. (2)因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理，得 cos∠F1MF2＝＝， 因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－12<0，又因为y＝1－，所以x<， 解得－<x0<，故横坐标x0的取值范围为. 20．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以，故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去），所以. 学科网（北京）股份有限公司 $