17.2解析几何面积问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何面积问题核心考点，涵盖三角形（底×高、行列式、焦点三角形公式）和四边形（割补法、对角线法）的计算方法及面积最值问题，按知识点梳理与典型例题分层架构，通过考点系统梳理、方法策略指导、高考真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破综合应用难点。 讲义突出高考实战导向，创新采用“公式推导-模型构建-最值探究”教学路径，如在三角形面积最值问题中，引导学生联立直线与椭圆方程，用韦达定理表示弦长，建立面积函数并结合导数或均值不等式求解，培养数学思维与模型观念。设置基础到综合的分层例题，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

解析几何 17.2 面积问题 学习目标 ● 掌握三角形面积的多种计算方法（底×高、行列式、焦点三角形公式） ● 掌握四边形面积的计算方法（割补法、对角线法） ● 能综合运用弦长公式和面积公式求解最值问题 知识点一 三角形面积的计算方法 1. 知识梳理 （一）基本面积公式 三角形面积的基本公式： 其中 为底边长， 为第三个顶点到底边所在直线的距离。 （二）坐标表示（行列式公式） 设 为原点，，，则： （三）焦点三角形面积公式 对于椭圆 ，、 为焦点， 为椭圆上一点，： 最大面积在 为短轴端点时取得。 （四）弦与原点构成的三角形 设直线 与曲线交于 、，则 到 的距离 ： 📌 提示：求面积最值的关键是建立面积与某个参数的函数关系，然后利用导数、均值不等式或二次函数性质求最值。注意检验参数的取值范围（由 确定）。 2. 典型例题 例1 （高考真题改编） 已知椭圆 （）过点 和 。 （1）求 的离心率； （2）若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程。 例2 （三角形面积最值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 例3 （焦点三角形面积） 已知椭圆 ，、 为焦点， 为 上一点，，求 的面积。 例4 （三角形面积与参数） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围。 例5 （面积最值综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围（ 为左焦点）。 知识点二 四边形面积的计算方法 1. 知识梳理 （一）四边形面积计算方法 方法一（割补法）：将四边形分割为两个三角形，分别计算面积后相加。 方法二（对角线法）：若对角线 、 的夹角为 ，则： 方法三（坐标法）：利用顶点坐标和行列式公式。 （二）常见四边形类型 1. 平行四边形：。 2. 梯形：。 3. 对角线互相垂直的四边形：。 📌 提示：圆锥曲线中的四边形面积问题通常需要联立直线与曲线方程，利用韦达定理表示边长或对角线长度，再代入面积公式求最值。 2. 典型例题 例1 （四边形面积最值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、，求四边形 面积的最大值。 例2 （椭圆内接平行四边形） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，求四边形 面积的最大值（ 为 关于原点的对称点）。 例3 （对角线垂直的四边形） 已知椭圆 ，、 是 上两点， 为原点，且 ，求 面积的最大值。 例4 （梯形面积） 已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点，直线 交 于 、 两点，求梯形 的面积。 例5 （面积最值综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求四边形 面积的最大值（ 为 上异于 、 的动点）。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：（1）；（2） 或 或 。 例2答案：。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案：。 知识点二 例1答案：四边形 面积的最大值约为 。 例2答案：四边形 面积的最大值为 。 例3答案： 面积的最大值为 。 例4答案：梯形退化为线段，面积为 。 例5答案：四边形 面积的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 17.2 面积问题 学习目标 ● 掌握三角形面积的多种计算方法（底×高、行列式、焦点三角形公式） ● 掌握四边形面积的计算方法（割补法、对角线法） ● 能综合运用弦长公式和面积公式求解最值问题 知识点一 三角形面积的计算方法 1. 知识梳理 （一）基本面积公式 三角形面积的基本公式： 其中 为底边长， 为第三个顶点到底边所在直线的距离。 （二）坐标表示（行列式公式） 设 为原点，，，则： （三）焦点三角形面积公式 对于椭圆 ，、 为焦点， 为椭圆上一点，： 最大面积在 为短轴端点时取得。 （四）弦与原点构成的三角形 设直线 与曲线交于 、，则 到 的距离 ： 📌 提示：求面积最值的关键是建立面积与某个参数的函数关系，然后利用导数、均值不等式或二次函数性质求最值。注意检验参数的取值范围（由 确定）。 2. 典型例题 例1 （高考真题改编） 已知椭圆 （）过点 和 。 （1）求 的离心率； （2）若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程。 【解析】 （1）将 代入：。将 代入：，。 （2）椭圆方程为 。设 。 利用弦长公式和 到 的距离，列方程 ，解得 或 或 不存在。 答： 的方程为 或 或 。 例2 （三角形面积最值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 【解析】 设 ，联立 ： 到 的距离 。 令 ，，。 在 上单调递减，最大值在 时取得。 答：。 例3 （焦点三角形面积） 已知椭圆 ，、 为焦点， 为 上一点，，求 的面积。 【解析】 ，。 答：。 例4 （三角形面积与参数） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围。 【解析】 由例2，。 当 时，（最大值）。 当 时，（取不到）。 答：。 例5 （面积最值综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围（ 为左焦点）。 【解析】 ，。 。 令 ，。 在 上单调递减，最大值在 时取得：。 答：。 知识点二 四边形面积的计算方法 1. 知识梳理 （一）四边形面积计算方法 方法一（割补法）：将四边形分割为两个三角形，分别计算面积后相加。 方法二（对角线法）：若对角线 、 的夹角为 ，则： 方法三（坐标法）：利用顶点坐标和行列式公式。 （二）常见四边形类型 1. 平行四边形：。 2. 梯形：。 3. 对角线互相垂直的四边形：。 📌 提示：圆锥曲线中的四边形面积问题通常需要联立直线与曲线方程，利用韦达定理表示边长或对角线长度，再代入面积公式求最值。 2. 典型例题 例1 （四边形面积最值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、，求四边形 面积的最大值。 【解析】 四边形 为直角梯形，。 设 ，则 。 当 、 异号时，。 令 ，。 求导 ，令 ： 此时 ，。 答：四边形 面积的最大值约为 （当 时取最大值）。 例2 （椭圆内接平行四边形） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，求四边形 面积的最大值（ 为 关于原点的对称点）。 【解析】 四边形 为平行四边形，。 设 ，，则 ，。 利用椭圆参数方程 ，，，： 答：四边形 面积的最大值为 。 例3 （对角线垂直的四边形） 已知椭圆 ，、 是 上两点， 为原点，且 ，求 面积的最大值。 【解析】 设 ，， 即 。 利用极坐标或参数方程，设 ，。 利用 的约束，可求得 。 答： 面积的最大值为 。 例4 （梯形面积） 已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点，直线 交 于 、 两点，求梯形 的面积。 【解析】 代入 ：，（切线），。 代入 ：，（切线），。 两条切线平行，但退化为线段，面积为 。 答：梯形退化为线段，面积为 。 例5 （面积最值综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求四边形 面积的最大值（ 为 上异于 、 的动点）。 【解析】 四边形 面积 。 （由知识点一·例2）。 ， 为 到直线 的距离。 当 为椭圆上距 最远的点时， 最大。 利用椭圆参数方程和点到直线距离公式，可求得最大值。 答：四边形 面积的最大值为 。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 三角形面积的基本公式 是计算面积的基础工具。 ● 焦点三角形面积公式 可快速求解焦点三角形面积问题。 ● 求面积最值的关键是建立面积与参数的函数关系，利用导数或均值不等式求最值。 ● 四边形面积通常用割补法分解为三角形面积计算。 二、常见学生错误 ● 设直线时忘记讨论斜率不存在的情况。 ● 韦达定理代入时符号出错。 ● 求最值时忘记检验参数的取值范围（由 确定）。 ● 四边形面积计算时分割方法不当，导致计算复杂。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（三角形面积的计算方法） ● 第 2 课时：知识点二（四边形面积的计算方法） 学科网（北京）股份有限公司 $