暑假预习：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 暑假预习专项训练聚焦一次函数中的面积计算与特殊三角形存在性问题，通过精选例题与变式题构建系统性训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数中的面积问题|3例+3变式|坐标轴交点计算、图形面积求解、动点存在性探究|以一次函数表达式为基础，通过坐标转化实现代数与几何的结合，培养模型意识| |一次函数中的特殊三角形存在性问题|3例+3变式|等腰/直角三角形判定、图形变换综合、多解分类讨论|以三角形性质为核心，结合函数图像特征，发展推理能力与空间观念|

暑假预习：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 暑假预习：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． (1)求直线的函数表达式和a的值； (2)在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为， (2)在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出，根据轴对称的性质求出，设直线的解析式为，求出直线的函数表达式为，将代入直线求解即可； （2）设所在直线的函数表达式为，求出所在直线的函数表达式为，进而求出，根据三角形面积公式得到，进而得到，分点在轴上时，点在轴上时两种情况作答即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点， 当时，，当时，解得， ∴， ∵直线与直线关于x轴对称，且交y轴于点C， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． 点在直线上， ， 解得； （2）解：设所在直线的函数表达式为． 将点，代入，得， 解得， 所在直线的函数表达式为． 在中，令，得， ， ， ， ． 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 当点在轴上时，， 解得． ， 此时点的坐标为或； 综上可知，在坐标轴上存在点，使得，点的坐标为或或或． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知，一次函数，完成下列题目． (1)画出该函数的图象． (2)若点A坐标为，函数图象与x轴、y轴交点分别为B，C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先画出函数图象上的两个点，再画出直线即可解答； （2）求得的坐标，再计算的面积即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 函数图象见解析； （2）解：令，可得， 解得， ， 根据（1）可得， ∵点A坐标为， ， ∴的面积为． 例3．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】（1）求出时y的值即可得到答案； （2）根据列式求解即可； （3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点M的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①直角；②或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解； 【详解】（1）解：∵当时， 解得， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或． 变式2．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出，得到，，进而求出，设，则，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：与轴交于点， 当时，， 解得：， ； （2）解：∵ ， 与轴交于点， 当时，， 则， ∴， 点是的中点， ， ，， 设，则， ， 当时，， 解得：或， 或． 变式3．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)2 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积． （1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， 得， 解得， 一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、， 当时，， 解得，即， 当时，，即， ，，； （2）解：把点代入一次函数，得，解得， ， 当时，，即． ， ； （3）解：点是轴上的一个动点，设， ， ，， ， 或， 点的坐标为或． 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 例2．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点． (1)求点A和点B的坐标； (2)描出点A和点B，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点P在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为；点B的坐标为 (2)点A、点B及一次函数的图象如图所示． (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）根据建立方程求解，即可求出点A的坐标，将点代入一次函数求解，即可解题； （2）描出点A和点B，过这两点作直线，即可画出一次函数的图象； （3）利用勾股定理求出，根据是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上，分两种情况①当为腰时，②当为底时，结合图形，以及等腰三角形定义分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，有，解得， 点A的坐标为； 的图象经过点， ， 解得， 点B的坐标为； （2）略 （3）解：由（2）中图知，， 是以为腰的等腰三角形，且点P在x轴上， ①当为腰时，， 点P的坐标为或； ②当为底时， 结合（2）中图形可知，此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）分别把和代入一次函数中可求出点的坐标，把代入一次函数可求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式解答即可求解； （3）由（2）可得，，再根据等腰三角形的定义分三种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 令，得， 解得， ， 平移后的表达式为中，令，得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， 的面积为， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∴，， ， 当时，， 在中，由勾股定理得，， 点的坐标为或； 当时，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点的坐标为或； 当时， ∵， ∴点不在轴上，此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或或或． 变式1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)14； (3)或． 【分析】（1）将点代入直线，可求出的值；再把点C的坐标代入，求出b的值，进而求出B的坐标； （2）先求出直线与轴交点的坐标，计算出线段的长度，再以为底，点的纵坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式计算面积； （3）设点的坐标为，先根据两点间距离公式计算的长度，由以为底的等腰三角形可知，据此列出关于的绝对值方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵过点． ∴，解得：， ∴， ∵直线经过点， ∴代入得，解得， ∴， 令，则，解得：, ∴； （2）解：∵函数的图象与轴交于点，令，则，解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的纵坐标为，即中边上的高为， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵点，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和k的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②或或． 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得k即可； （2）①根据一次函数与坐标轴的交点坐标的特点求解即可； ②存在，分两种情况：或，再利用勾股定理建立方程分别求t的值即可． 【详解】（1）解：直线过点， ∴， 解得：， ∴， 将点代入直线得： ∴， 解得：． （2）解：①∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，解得：， ∴， ∵直线与x轴交于点D， ∴，解得：， ∴． ②∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，掌握以上基础知识是解本题的关键． 变式3．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次函数与y轴的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得点D的纵坐标为3，根据一次函数解析式可求出点D和点E的坐标； （2）设与轴的交于点，求出点F的坐标，根据求解即可； （3）分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作轴于点，延长交直线于点，利用一线三垂直模型证明，得到，再根据点A，点G和点H的坐标建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，，当时，，解得， ∴点，点； （2）解：设与轴的交于点， 在中，当时，，解得， 点， 由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴， ， ； （3）解：设， ①若点在点下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点，则， ∴ 又点是等腰直角三角形的直角顶点， ， ， 又， ， ， ； ∵， ∴ ∴， ， 解得． ， ； ②若点在点上方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可证， ∴． 同理可得， ∴， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 暑假预习：一次函数中的面积问题、一次函数中的特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 一次函数中的面积问题 一次函数中的特殊三角形存在性问题 考点一 一次函数中的面积问题 例1．（25-26八年级下·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、D，直线与直线关于x轴对称，若直线经过点，且交y轴于点C，连接交x轴于点E． (1)求直线的函数表达式和a的值； (2)在坐标轴上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）已知，一次函数，完成下列题目． (1)画出该函数的图象． (2)若点A坐标为，函数图象与x轴、y轴交点分别为B，C，求的面积． 例3．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点； (1)直接写出点B的坐标为________； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 变式1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 变式2．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点坐标； (2)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点 (1)求的值及点、的坐标； (2)求的面积； (3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标． 考点二 一次函数中的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 例2．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点． (1)求点A和点B的坐标； (2)描出点A和点B，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点P在x轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 例3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 变式1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，直线与轴交于点B，与直线交于点．             (1)求的值和点B的坐标； (2)求的面积； (3)点是轴上一点，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 变式2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和k的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $