暑假预习：新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦新定义实数运算与规律问题，通过类比迁移与特例归纳，培养抽象能力与推理意识，构建“概念生成-规律探究-应用拓展”的暑假预习体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义下的实数运算|3例+3变式|类比平方根/立方根定义新运算，结合性质探究与计算应用|从概念类比生成（四次方根/五次方根）到性质归纳（存在性/运算律），再到新定义符号的综合应用| |与实数运算相关的规律问题|3例+2变式|观察等式/图形特例，猜想一般规律并证明，涉及二次根式“穿墙”等现象|从特例观察（等式结构/面积关系）到规律抽象（用n表示一般式），再到推理证明与创新应用|

暑假预习：新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 暑假预习：新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 新定义下的实数运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 【答案】(1)①；②0；③不存在 (2) 【分析】（1）①根据四次方根即可求解；②根据四次方根即可求解；③根据四次方根的定义，即可获得答案； （2）首先根据立方根的定义、四次方根的定义及绝对值的性质进行计算，然后进行进一步运算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是； ②∵， ∴0的四次方根是0； ③∵， ∴不存在四次方根； （2）解：原式． 例2．（25-26七年级下·北京·期末）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 例3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据“”的新运算，使用同底数幂的乘法运算求解即可； （2）根据“”的新运算，使用同底数幂的除法运算求解即可； （3）分别列出与的值，由相等这一条件求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，； （3）解：根据题意，得，， ， ，即， 解得， 当为10时，的值与的值相等． 变式1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 变式2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 【答案】(1)解：， 证明如下： . (2)解：， 证明如下： （，为正整数）； (3) 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，猜想符合定义的结果并证明即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示，再证明即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值，进一步求解平方根． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级下·福建宁德·期末）对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． (1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） (2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． (3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 【答案】(1)①不是，②是 (2)③，④ (3)证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                    ∵， ， ， ，                                               ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”．                               证法：∵和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得；                                     ∴， ∵，   ，                                             ， ，                                                     又因为，，为整数， 所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． 【分析】（1）根据“倍准平方和数对”的定义，将两组整数分别代入求解，看是否满足“倍准平方和数对”的定义即可求解； （2）利用等量代换即可求解； （3）模仿小问（2）的求解过程即可求解， 【详解】（1）解：根据“倍准平方和数对”的定义， ， 不是的倍数， ∴整数和不是一组“倍准平方和数对”； ∵， 是的倍数， ∴整数和是一组“倍准平方和数对”； （2）证明：因为和是一组“倍准平方和数对”， ∴存在整数，使得． 因为 ． 因为是整数，所以是的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． （3）证明：见答案 考点二 与实数运算相关的规律问题 例1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 例2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得，结合可判断，小数部分为，从而求出的值，最后计算出整数部分即可． 【详解】（1）解：总结规律可得，； （2）解：利用（1）的规律可得， ； （3）解：同理（2）可得， ∵， ∴， ∴原数的小数部分为， ∴，解得， ∴原数的整数部分为． 变式1．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3)88 【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：∵（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ∴； 故答案为：； （3）解： ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 暑假预习：新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 新定义下的实数运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 新定义下的实数运算 例1．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 例2．（25-26七年级下·北京·期末）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 例3．（25-26七年级下·山东烟台·期末）用“”，“”定义两种新运算：对于两个整数，，规定，．例如：，． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 变式1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 变式2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： ，等． (1)【猜想】___________，并证明你的猜想； (2)【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． (3)【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的平方根. 变式3．（25-26七年级下·福建宁德·期末）对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”． (1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”） (2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整： 理由如下： 因为和是一组“倍准平方和数对”， 所以存在整数，使得． 因为 ③ ． 因为是整数，所以是④ 的倍数． 所以和也是一组“倍准平方和数对”． (3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对” 考点二 与实数运算相关的规律问题 例1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 例2．（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 (1)________（，且为整数）． 【应用规律】 (2)_______ (3)如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 变式1．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·期中）规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题． （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．． (1)______________； (2)__________________； (3)求出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $