第二十九章 圆（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 第二十九章圆单元提升卷，融合生活应用与数学文化，覆盖圆的性质、位置关系等核心知识点，通过基础到综合的梯度设计，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆的基本概念（第3题真命题判断）、位置关系（第6题与坐标轴位置）|结合中考真题（如第7题河北中考题），基础巩固与概念辨析并重| |填空题|6/18|圆心角与弧（第11题）、数学史（第15题刘徽割圆术）|融入文化传承，考查空间观念与抽象能力| |解答题|8/72|外接圆性质（第17题）、切线与等腰三角形综合（第24题）|多问设计（如第24题三问），体现推理意识与模型应用，适配单元综合提升需求|

第二十九章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 7．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为圆形模板中，若零件完全在模板内且与模板至少有一个接触点，则为合格品．现有半径为的零件，要保证零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在（   ） A．半径为的圆内 B．半径为的圆上 C．半径为的圆外且半径为的圆内 D．半径为的圆外且半径为的圆内 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，是的一条弦，且，连接，若，则的度数是________． 12．（2026·浙江金华·二模）如图，直线，直线交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，交于点、，若，，则的长为____________． 13．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 14．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连结．若，则的度数为______． 15．（2026·甘肃天水·中考真题）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将的面积转化为的面积，其中．在中，等于周长，等于半径，若，，则扇形的圆心角等于________________度． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点 (1)求证： (2)若的半径为5，当时，求的长． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接，，． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是上一点，是的直径，点在上且平分半圆，． (1)若，求的长； (2)求阴影部分的面积． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，点B在圆上）裁剪后，得到如图所示的图形．某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置．圆圆同学连接了线段，点点同学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． (1)你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ (2)请通过尺规作图，作出圆心O（保留作图痕迹）． (3)简要说明你所作的点O是圆心的依据． 21．（10分）（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 22．（10分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． (1)连接，直接写出与的度数； (2)若，求的长． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 24．（10分）（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰内接于，，过点作的垂线交于点． (1)求证：； (2)如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； (3)如图3，延长交于点，点在线段上，，若，，求线段的长． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质可知，，，根据三角形内角和定理可得，再根据平角的定义可得结果． 【详解】解：中，，， ， 又， ，， ，， ． 故选：B． 2．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵经过圆心， ∴， 如图，连接， ， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径是． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）下列命题中，真命题有（   ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，逐一判断命题真假，统计真命题的个数． 【详解】解：①∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴“三点确定一个圆”是假命题． ②∵等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，∴“长度相等的两条弧是等弧”是假命题． ③∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题． ④∵平分弦（弦不是直径）的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，∴该命题是假命题． ⑤∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，∴三角形外心到三个顶点距离相等，该命题是真命题． 综上，真命题只有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（2026·山西阳泉·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 5．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 6．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 7．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某工厂生产圆形零件，质检标准规定：将零件放入一个半径为圆形模板中，若零件完全在模板内且与模板至少有一个接触点，则为合格品．现有半径为的零件，要保证零件合格，那么这些圆形零件的圆心必须落在（ ） A．半径为的圆内 B．半径为的圆上 C．半径为的圆外且半径为的圆内 D．半径为的圆外且半径为的圆内 【答案】B 【分析】根据合格零件的要求，推导零件圆心到模板圆心的距离范围即可得到结论． 【详解】解：设模板圆心为，零件圆心为，记 ∵零件要完全在模板内，零件上离最远的点到的距离为，所有点都不能超出模板 ∴ 又∵合格要求零件与模板至少有一个接触点，即至少有一个点在模板边界上 ∴ ∴，整理得 因此所有符合条件的零件圆心，到的距离都等于，即圆心落在半径为的圆上． 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 10．（2026·四川遂宁·中考真题）某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，是的一条弦，且，连接，若，则的度数是________． 【答案】/40度 【分析】先由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理得到，进而得到的度数，最后在中，由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 是的直径，是弦，且， ， ， 设与相交于点， 在中，，， ∴． 12．（2026·浙江金华·二模）如图，直线，直线交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，交于点、，若，，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由题意易得，，然后根据平行线的性质及圆周角定理可得，进而根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长为． 13．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 14．（2026·浙江杭州·一模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连结．若，则的度数为______． 【答案】/30度 【分析】由题意易得，，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 15．（2026·甘肃天水·中考真题）求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如公元世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积；世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将的面积转化为的面积，其中．在中，等于周长，等于半径，若，，则扇形的圆心角等于________________度． 【答案】 【分析】设的半径为，，根据的长求出圆的半径，根据，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设的半径为，， ∵等于周长，， ∴， ∴， ∴， 由题意，， 又∵， ∴， ∴，即． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，为圆上一点且于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】先由圆的半径相等以及，确定为中点，再根据圆周角和圆心角的关系求得、，可推断出为等边三角形，进而算出的面积，再算出扇形的面积，利用割补法即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：点、、均在圆上， ， 四边形为矩形，，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点 (1)求证： (2)若的半径为5，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，连接并延长交于点H， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，连接并延长交于点H，根据已知易得是的垂直平分线，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而利用等量代换即可解答； （2）根据（1）得出，进而利用等边三角形的判定与性质解答即可． 此题考查等腰三角形的性质，圆的有关知识，关键是根据已知得是的垂直平分线解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴ 18．（8分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连接，，． (1)求的长； (2)若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． 【答案】(1)8 (2) 是的直径，弦 即是的垂直平分线 ， ． 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键： （1）根据垂径定理，线段的和差关系及勾股定理计算即可； （2）由图可知，由垂径定理可得， 再根据全等三角形的判定与性质可得结论； 【详解】（1）解：连接 是的直径，弦 ，， ，， （2）解：略． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，是上一点，是的直径，点在上且平分半圆，． (1)若，求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理及推论，扇形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆周角定理可得，又点在上且平分，所以，则，然后通过勾股定理即可求解； （）连接，由点在上且平分，所以，则，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵点在上且平分， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵点在上且平分， ∴， ∴， ∴ ． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，点B在圆上）裁剪后，得到如图所示的图形．某兴趣小组需要寻找圆心所在的位置．圆圆同学连接了线段，点点同学说：“只要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． (1)你作的是哪条线段的垂直平分线（只需写一种）？ (2)请通过尺规作图，作出圆心O（保留作图痕迹）． (3)简要说明你所作的点O是圆心的依据． 【答案】(1)线段（或） (2)解：点O为所在圆的圆心． (3) 解：∵四边形为圆的内接矩形， ∴， ∴为圆的直径， ∵为的垂直平分线， ∴经过矩形的外接圆的圆心， ∴与的交点O为矩形的外接圆的圆心． 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理的推论，尺规作图，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用垂径定理的推论弦的垂直平分线经过圆心的性质解答即可； （2）作出的垂直平分线，与的交点即为圆心； （3）根据圆周角定理和垂径定理解答即可． 【详解】（1）解：作出线段（或）的垂直平分线即可． （2）略 （3）略 21．（10分）（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)，或， (2)当时，与直线相交；当或时，与直线相离． 【分析】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键． （1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标； （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为， 当点在直线右侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得，， ， 当点在直线左侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得， ， 当与直线相切时，点的坐标为或； （2）解：当时，与直线相交， 当或时，与直线相离． 22．（10分）（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． (1)连接，直接写出与的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，则．容易判断是等腰直角三角形，则，根据圆内接四边形的性质求出； （2）连接，根据直角三角形的性质可得，，进而推断出是等边三角形，则，，使用扇形弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的基本概念，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长公式，熟练掌握圆的基本性质是关键． 23．（10分）（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) 是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）略 （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵ • •， ∴ •， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长 ， ∴ ． 24．（10分）（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰内接于，，过点作的垂线交于点． (1)求证：； (2)如图2，当圆心恰好落在上时，求的度数； (3)如图3，延长交于点，点在线段上，，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：， ， ． ， ， ． 又， ． (2) (3) 【分析】本题考查了圆的基本性质，全等的性质与判定，三角形内角和，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出，，即可得到结论； （2）证明，得出度数； （3）在上取一点，使得，过点作于点，于点，由等腰三角形的性质和判定可得，证明，由，可得的长，在和中，根据勾股定理列方程，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点，且，由垂径定理得， 在和， ， ． 设，由（1）知， ，， ，解得，即． （3）在上取一点，使得， ，． ，． ． ． 如图，过点作于点，于点， ，， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． ，即． 令，在中，， 在中，， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十九章 圆（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.B 2.B 3.A 4.B 5.8 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.40°/40度 1 12.3m 13.3 <AD<4 14.30°/30度 15.20 169-83 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分) 【答案】(1) 证明：连接OC,连接AO并延长交BC于点H, 119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC,OB=OC B ∴.AH是BC的垂直平分线， ∴.∠BAC=2∠BAO, OA=OB, ∴.∠BAO=∠ABO ∴.∠BAC=2∠ABD: (2)解：由(1)可知∠BAC=2∠ABD=60°， .AB=AC, ∴△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°，AH⊥BC,BH=HC, .∴.∠DBC=30°， .OB=5, ∴.0H=2.5, m-33. BC=53. 18.(8分) 【答案】(1)(1)解：连接0C D B ,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB ∴.CE=DE .AB=10,AE=8, 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=0C=AB=5,0R=AE-0A=3. .CE=0C2-0E2=52-32=4 ∴.CD=2CE=8 (2) ,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB .∴.CE=DE即AB是CD的垂直平分线 ∴.AC=AD,PC=PD AP=AP ∴.△ACP≌△ADPSSS ∴.∠ACP=∠ADP .·∠ACQ=∠ADQ ∴.∠ADQ=∠ADP 19.(8分) 【详解】(1)解：，BC是⊙O的直径， .∠BAC=∠BDC=90°， 点D在⊙O上且平分BC, ∴BD=DC, ..BD=CD=52. “BC=BD+CD2=10 AB=8, ·AC=VBC2-AB=6 (2)解：如图，连接OD, B ,点D在⊙O上且平分BC, 3/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OD⊥BC, .∠COD=90°， .S阴形B分=S扇形cOD-SACOD -90π×25-1×5×5 360 -25m_25 42 20.(8分) 【答案】(1)解：作出线段CD(或CE)的垂直平分线即可. (2)解：点O为所在圆的圆心. B G (3) 解：，四边形CDEF为圆的内接矩形， .∠CDE=90°， .CE为圆的直径， ,FG为CD的垂直平分线， ∴FG经过矩形CDEF的外接圆的圆心， ∴.FG与CE的交点O为矩形CDEF的外接圆的圆心. 21.(10分) 【详解】(1)解：过P作直线x=2的垂线，垂足为A, V= x 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点P在直线X=2右侧时， AP=X-2=2.5, 得r9 把x= 3 代入直线解析式y=2x, 可得，y=22 4 当点P在直线X=2左侧时， PA=2-X=2.5, 得义方》 把x=代入直线解析式y多x。 可得y=-3 41 :当0p与直线x=2脚切时.点p坐标为3，牙或3引 2’42 2解，当x号时，0P吃直线x-2相交， 当x<方我x号，⊙P与直线x=2相离， 22.(10分) 【详解】（1)解：如图，连接CE, 519 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BC为⊙O的直径， ..OB=OC, .AB=AC, .AO⊥BC, .∠AOB=∠AOC=90, .OC=OE. :∠0CE=∠0BC=180°-∠A0C=45°， 2 由圆内接四边形的性质可得，∠BDE+∠OCE=180°， .∠BDE=180°-∠OCE=135°： (2)解：如图，连接OD, B .AD=BD=4, .点D是Rt△OAB斜边AB的中点， ..AD=BD=OD=4. OD=OB, ∴.△OBD是等边三角形， .∠DOB=60°， ∴.∠DOE=∠AOB-∠DOB=90°-60°=30°， .DE的长为 0π·0D-2π 180°-3 23.(10分) 619 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)△ABC是等边三角形.理由如下： 在⊙O中，：∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角， :.∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC, 又，∠APC=∠CPB=60°， .∠ABC=∠BAC=60, ∴.△ABC为等边三角形： (2)解：当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下： 如图，过点P作PE⊥AB,垂足为E.过点C作CF⊥AB,垂足为F. APB AB-PE,SABC AB-CF. AB PE+CF, 当点P为AB的中点时，PE+CF=PC,PC为OO的直径， 此时四边形APBC的面积最大. 又⊙0的半径为1， .其内接正三角形的边长AB=V3, S必唇APc=号 ×2x3=3. 2 24.(10分) 【答案】(1) 证明：.AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .∴.∠A=180°-2∠ACB」 .BE⊥AC, 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BEC=90°， ∴.∠EBC=90°-∠ACB. 又：∠A=180°-2∠ACB, ∴.∠A=2∠EBC. (2)解：，'BE过点O,且BE⊥AC,由垂径定理得AE=EC, 在△AEB和△CEB, AE=EC, ∠AEB=∠BEC, BE=BE, ∴.△AEB≌△CEB SAS, ∴.∠ABE=∠CBE 设∠A=x°，由(1)知∠EBC=-X° :∠ABE=90-X,∠EBC= 2, 90-X=交解得x=60,即∠A=600 (3)在BE上取一点G,使得CG=CF, .CG=CF,∴.∠F=∠CGF .∵∠A=∠F,∠A=2∠EBC. .∴.∠GBC=∠GCB. .∴.BG=CG 如图，过点G作GI⊥BC于点I,HJ⊥BC于点J, H F:∠JHC+∠ACB=90°∠ACB+∠EBC=90 G ∴.∠EBC=∠JHC CF=CH, ∴.BG=CG=CH 在△HCJ和△BGI中， 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EBC=∠JHC, ∠BIG=∠HJC, BG=CH, ∴.△HCJ≌△BGI AAS. ∴.HJ=BI=IC .'SABCH=10, :2BL-BL=10. 2 ∴.BI=V10,即BC=2/10 令CE=x在Rt△ABE中，BE2=102-10-xX2 在Rt△BCE中，BE2=|2V10P-x2, .CE=2 9/9