第27章 反比例函数 单元检测卷 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元检测卷，通过选择、填空、解答题全面考查反比例函数定义、图像性质及实际应用，注重基础巩固与跨学科情境融合，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/20分|反比例函数定义、图像分布、与一次函数综合|结合科学知识（如液体密度）设计情境题，考查数学抽象能力| |填空题|8题/16分|解析式求解、实际应用（杠杆原理、气体压强）|设置几何图形与函数结合题，培养几何直观与空间观念| |解答题|7题/64分|综合计算、图像分析、实际问题建模（打气筒充气）|通过“充气次数与直径关系”等真实情境，发展模型意识与应用能力|

第27章反比例函数单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 2．若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 3．下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 4．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 6．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．在一块平地上，划出一个占地面积为100平方米的矩形区域，这个矩形区域的相邻两边长为米，米，那么关于的函数图像位于平面直角坐标系中的（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 8．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．反比例函数过点和，则________． 12．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 13．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 16．如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 17．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 18．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，连接．若的面积为3，且当时，随的增大而增大，若点在该反比例函数的图象上且在点的右侧，则的取值范围是____________． 三、解答题（共64分） 19．已知， (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 20．如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 22．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 23．如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与该反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的有整点__________个； ②若区域内恰有3个整点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 25．如图，已知点，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积； (4)过点A作直线：，使它与反比例函数仅有一个公共点，求直线的解析式． 参考答案 1．D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 2．C 【分析】设点的坐标为，则，不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为，则，，据此可得答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点到两坐标轴的距离分别为，， ∴不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为， ∴，， ∴． 3．D 【分析】可通过判断与的乘积是否为非零常数，快速验证反比例函数． 【详解】解：A，由得，与的乘积不是定值，不符合； B，由得，是正比例函数，不符合； C，由得，与的乘积不是定值，不符合； D，，即与的乘积为非零定值，符合反比例函数形式． 4．B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 5．C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 6．D 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入一次函数表达式，得； ∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入反比例函数表达式，得，解得， ∴的值是，的值是． 7．C 【分析】先根据矩形面积公式推导得到关于的函数表达式，再结合边长的实际意义确定，的取值范围，即可判断函数图像所在象限． 【详解】解：∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，由题意得，整理得，该函数为反比例函数， 又∵，表示矩形的边长，边长为正实数， ∴， 可得， ∴函数图像只位于平面直角坐标系的第一象限． 8．B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 9．C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 10．C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 11． 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 12． 【分析】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 13．（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 14． 【分析】过点作轴于，过点作，进而可证明，根据全等性质得，，设，根据反比例函数的图象在第一象限，可判断，，，根据反比例函数的几何意义得：，进一步求出、等于，，，即可得，再根据列方程即可得，进一步得，把的坐标代入解析式，列出方程，解出即可得的值，代入计算即可得的值． 【详解】解：如图， 过点作于，过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴，，， 根据反比例函数的几何意义得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴，解得：，即：， ∴， ∵的图象经过点， ∴，化简得：，解得：，（舍）， ∴． 15．① 【分析】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 16．/ 【分析】设，求出，，，由得，由得，化简后得，即可解答． 【详解】解：设，由图可知， ∴， ∵轴于点D， ∴，， ∵直线过点A， ∴，即， 将代入得，， 解得, ∴，即， 将代入得，， ∴，即， 由图可知，B在x轴负半轴，C在y轴负半轴， ∴，， ∵，B在x轴负半轴， ∴， 整理得，即， ∴，， ∵， ∴，即，得， ∵ ∴ ∴ ，即， 将代入 得 解得 ∵， ∴． 17．4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 18． 【分析】先利用三角形面积公式求出，再结合反比例函数的增减性确定和的符号，得到反比例函数解析式，最后根据点的位置结合反比例函数性质求出的取值范围． 【详解】解：点坐标为，轴于点， ， ，， 的面积为，轴， ， 代入得：， 解得， 当时，随的增大而增大， 根据反比例函数的性质，得， 又反比例函数经过点， ， 解得， ，则， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上，且在点的右侧， 点的横坐标满足， 当时，，且当时，随的增大而增大， 当时，， 点在该反比例函数的图象上， ， ． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，分式的化简求值， 对于（1），根据分式的乘除法计算，并化到最简； 对于（2），将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：点在反比例函数的图象上， ． 即， 原式 ． 20．(1) (2)或6 【分析】本题主要考查了一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）画出函数、的图像，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，， 当点在线段上时，可有，， 此阶段 ∴的面积； 当点在线段上时，如下图， 可有，， ∴， ∴的面积． 综上所述，关于的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下图所示， 由图像可知，当时，或6． 21．(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 22．(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 23．(1)20 (2)， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）略 （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 24．(1)反比例函数的表达式为 (2)①4；②或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据新定义，画出图象进行判断即可； ②分直线在上方和直线在下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∴； （2）①当时，如图 有，共4个整点； ②当直线在上方时，如图： 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 当直线在下方时，如图： 当过点时，此时有3个整点，此时，解得； 当过点时，此时有2个整点，此时，解得； 故当时，满足题意； 综上：或． 25．(1)， (2)或 (3)6 (4) 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标为，根据A、B两点坐标得到一次函数解析式； （2）根据图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，令一次函数与y轴交点为点C，利用割补法得到，即可求解； （4）根据直线l经过点，得到，在联立函数解析式，化简后得到关于a的一元二次方程，根据直线l与反比例函数图象只有一个交点，得到方程有两个相等的实数等，令根的判别式等于0，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数解析式为， 令，得，解得， 点B的坐标为， 一次函数的图象经过和， ，解得， 一次函数解析式为． （2）解：根据图象，可知不等式的解集为或． （3）解：如图，连接，令一次函数与y轴交点为点C， 由一次函数解析式，可知点C坐标为， 根据图象，可知，． （4）解：直线经过点， ，得， 直线l的解析式为， 联立直线l和反比例函数的解析式，得， 化简得， 根据直线l和反比例函数图象只有一个交点，可知该方程有两个相等的实数根， 即，解得， ， 故直线l的解析式为． 学科网（北京）股份有限公司 $