第27章 反比例函数 重难点精练卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数重难点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合实际情境与几何综合，适配初中数学单元复习，助力抽象能力、推理意识与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|解析式求解、图像性质、函数图像辨析|第3题结合力学做功情境，体现应用意识；第6题对比一次函数与反比例函数图像，培养几何直观| |填空题|6题|性质应用、实际问题、几何综合|第13题以真空压缩袋密度与体积为背景，渗透模型意识；第15题结合中点与面积求k值，提升推理能力| |解答题|6题|函数综合、面积计算、存在性问题|第21题探究等腰直角三角形存在性，多问递进；第19题关联近视眼镜度数与焦距，强化数学与现实联系|

第27章反比例函数重难点精练卷 一、单选题 1．如果反比例函数的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数的图象位于第二、四象限 B．点在该函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 3．在力（单位：N）的作用下，若物体在力的方向上发生位移（单位：m），则力所做的功（单位：J）满足．当为定值时，与之间的函数关系如图所示．在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，则力（     ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 4．已知反比例函数（）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，线段端点的坐标为，，其中，反比例函数的图象交线段于点P．当时，m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 7．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若，则的面积为（     ） A．1 B． C． D．4 8．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，动直线轴，与直线和反比例函数的图象分别交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（     ） A．8 B．7 C．6.5 D．5 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 二、填空题 11．已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______． 12．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 13．真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 14．已知点与点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是__________． 15．如图，点A，D在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴上，轴，轴，为的中点．若的面积为8，则的值为__________． 16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 三、解答题 17．如图，反比例函数和一次函数交于，B两点． (1)求反比例函数解析式； (2)当时，写出x的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，且的面积为8，求点的坐标． 19．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 21．在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C A C C D A 1．D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将代入解析式得：， 解得：． 2．B 【详解】解：反比例函数，可得， 选项A，，反比例函数的图象位于第一、三象限，选项A错误，不符合题意； 选项B，将代入，得，点在函数图象上，选项B正确，符合题意； 选项C，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，因此选项C错误，不符合题意； 选项D，没有说明在同一象限内，整个实数范围内，函数不满足y随x的增大而减小，因此选项D错误，不符合题意． 3．A 【详解】解：由题意得， ∴， ∵物体在力的作用下的位移小于， ∴，解得； 即力大于． 4．B 【详解】解：∵反比例函数，且， ∴其图象经过二四象限，在每个象限内函数值随的增大而增大， ∵点，都在第四象限，且， ∴． 5．C 【分析】根据题意可得点P为线段的中点，从而得到点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点P为线段的中点， ∵线段端点的坐标为，， ∴点， 把点代入得： ， 解得：． 6．A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 7．C 【分析】先分别表示出，，故，，根据得，再联立方程组得，运用根与系数的关系得，整理得 ，然后表示 再运用勾股定理列式计算，得，建立方程，解得，最后把数值代入的面积公式计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点， ∴令，则， 则， ∴ 令，则，解得， 则； ∴ ∴ ∵ ∴ 联立， 整理得， 设A、B两点的横坐标分别是， ∴ ∴ 则 ∵点A、B在一次函数上 ∴， 即 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 整理得， ∴ 的面积． 8．C 【分析】根据交点作出图像，再由图象分析即可 【详解】解：由题意作图可得： ∴由图象可得：当或时，； 当或时，； ∴选项C正确． 9．D 【分析】设（，），根据轴，和的面积为3，得出，再根据反比例函数与线段有交点即可解答； 【详解】解：设（，）， ∵轴， 则点， 则线段长度为， 在中，，整理得：， 设反比例函数与线段交于点， 则，， ∵x最大是a，所以k最大是，也就是， ∴四个选项里只有D选项5满足， ∴k的值可能为5． 10．A 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 11．（答案不唯一） 【详解】解：∵反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的a的值为（答案不唯一）． 12．5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 13．10 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将代入得， 解得， 函数关系式为， 当时，． 14． 【分析】首先判断出函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小，然后结合求解． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点在第一象限，，， ∴． 15．16 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，利用中点坐标公式及平行线性质表示出点和点的坐标，进而表示出和的长，根据三角形面积公式建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中 点在反比例函数的图象上 轴，点在轴上 点的坐标为 为的中点 点的坐标为 轴 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上 点的坐标为 轴，轴 ∴ 16．6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 17．(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：将点代入中得：， 反比例函数的表达式为：； （2）解：联立， 解得：或， ∴， 结合函数图象可得：当时，x的取值范围为：或． 18．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 点在上， ， 把，坐标代入，则有，解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：记直线与轴相交于点， 的面积为8，即， ， ， ∴， 点的坐标为或． 19．(1) (2)小红的近视眼镜度数降低了度 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【详解】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 20．(1)， (2)或 (3)见解析， 【分析】（1）将代入求出，将代入求出，将，代入求解即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q即可；求出点M坐标，进而根据勾股定理求出、长度，即可求出的周长最小值． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴反比例函数表达式为， 将代入得， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知当时，或； （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，点Q即为所求； 由作图可知， ∴的周长， 可知的周长最小值， ∵点M横坐标为， ∴点M纵坐标为， 即， 当时，解得，即， 根据轴对称的性质可知， ∴，， ∴的周长最小值． 21．(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $