25.2.3 因式分解法 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从因式分解法基础概念到高次方程降次应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|因式分解法概念、解法选择、简单方程求解|直接考查定义（如解法选择填空题）、基础运算（如解方程题），巩固符号意识| |能力提升|新运算应用、函数结合、解题错误辨析|结合新定义（如“☆”运算）、跨知识点（函数与方程）、过程纠错（步骤正误判断），发展推理能力| |思维拓展|高次方程降次法、实际问题（等腰三角形边长）|类比迁移（从二次到三次方程）、实际情境应用，培养创新意识与模型观念|

25.2.3用因式分解法解一元二次方程 夯实基础 1.若 ,则计算 的结果是() A. B.0 C.1 D.2 2.关于的一元二次方程 的解为() A. B C. D 3.在下列各题的横线上填写适当的解法. (1)解方程区一3)2=4，用 法较适宜： (2)解方程x2+x-11=0,用 法较适宜： (3)解方程xx十4)=2x+4),用 法较适宜. 4.一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是 ,则另一个是 5.已知关于的一元二次方程 的两个根分别是5和1，则的值为一· 6.若矩形 的两邻边长分别为一元二次方程 的两个实数根，则矩形 的对角 线长为一 7.解方程： 第1页（共12页） 8.解方程：) 能力提升 9.方程 的根为· 10.对于实数，定义一种新运算“☆”如下：☆ ，例如4☆ 则关于的方程1☆ 的根为一 11.己知正比例函数 的图象上有一个点，点的横坐标是方程 的根，则点 的纵坐标为 12.己知方程 有个解，方程 有个解，，则() A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 13.对于解方程 ,小刚的做法如下： 第2页（共12页） 解：等号右边因式分解，得 步骤① 等号两边同时除以 ,得 ，步骤② 去括号，得 步骤③ 移项、合并同类项，得 步骤④ 系数化为1.得 步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 (填序号)· (2)请给出正确的解答过程. 思维拓展 14.求一元二次方程 时，可以先将左边 分解成 ，该方程变为 ，解得 ;求一元三次方程 也可以将左边 分解成 ,则该方程变为 ,从而求出该方程的解为： :这种利用分解因式将高次方程转化成一元一次方程和一元二次方程，从而 求出其解的方法称为降次法.请根据材料，完成下列解答： (1)解方程： 第3页（共12页） ① ② (2)解决下面问题： ①若关于的方程 的三个根可作为一个等腰三角形的三边长，求实数的值； ②若关于的方程 有实根，若所有实根之积为，求所有实数 根的平方和. 第4页（共12页） 第5页（共12页） 答案详解 1.解： 则 故选： 2根据方程的系数与形式可判断：(1)直接开平方法：(2)公式法：(3)因式分解法 3.解： 或 解得 故选： 4.解：由题意， 第6页（共12页） 或 其中一个是 另一个是 故答案为： 5解： 或 解得 关于的一元二次方程 的两个根分别是5和1， 故答案为：1. 6解：方程 ,即 则 解得： 则矩形 的对角线长是： 故答案为：5. 7.解：由题意得 或 第7页（共12页） 8.解：(1) 或 解得： (2) △ 9.解：方程 故答案为： 第8页（共12页） 10.解：1☆， 故答案为： 11.解：解方程 得 点的横坐标为或2， 当 时， 当 时， 即点的纵坐标为2或 故答案为：2或· 12.解：由 得， 因为 所以该方程有2个解， 第9页（共12页） 所以 由 得， 当和有一个是0时，该方程有1个解， 当和都不是0时，该方程有2个解， 所以 或2， 所以 或 故选： 13.解：(1)根据题意，可知步骤②两边同时除以 未考虑 可能为0的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②， 故答案为：②： (2) 或 第10页（共12页） 解得 14.解：(1)① 或 或 ② 或或 或； (2)① 或 方程的解是等腰三角形的三边长， 一条边长为1， 当1为等腰三角形的腰长时， 则 的一个解是1， 第11页（共12页） 此时 的两个根为 或 三角形的三条边长为1,1,3，不成立： 当1为等腰三角形的底边时， 有两个相等的实数根， ② 或 中△ 无解， 所有实根之积为， 有两个实数根， 时， 时，△，则方程无解， 第12页（共12页） 25.2.3　因式分解法 ▶ 【1分钟知识回顾】 根据要求解下列方程： (1)x2－3x＝0(公式法)．　　(2)2x(x－2)－5(x－2)＝0(配方法)．　　(3)9y2－4＝0(直接开平方法)． 解：∵a＝1，b＝－3，c＝0, 解：2x2－9x＋10＝0, 解：y2＝， ∴Δ＝b2－4ac＝9. x2－x＋5＝0, y1＝，y2＝－. ∴x＝. (x－)2＝， ∴x1＝0，x2＝3. x1＝2，x2＝. ★ 【教学目标】 课题 25.2.3　因式分解法 授课人 素养目标 1.了解因式分解法的概念，用因式分解法解一元二次方程． 2．学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程． 3．通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法. 教学重点 因式分解法解一元二次方程. 教学难点 1.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解． 2．针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 问题： 1．因式分解的方法有哪些？ 提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)、十字相乘法 2．我们前面学习了哪些解一元二次方程的方法？ 直接开平方法、配方法、公式法 3．对下面式子进行因式分解： (1)x2－x＝x(x－1)．　　　　　　　(2)4x2－64＝4(x＋4)(x－4)． (3)x2＋8x＋16＝(x＋4)2. (4)3x2－12x＋12＝3(x－2)2． (5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3). (6)x2－8x－20＝(x＋2)(x－10)． 学生独自思考，回答，教师点评. 通过复习直接开平方法、配方法、公式法等已有的方程解法以及提公因式法、公式法等因式分解的基本方法，唤醒学生知识储备， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度为(10x－5x2)m.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？ 分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，则得方程10x－5x2＝0．请大家分别用配方法和公式法求解该方程． 教师选派两名学生分别板演出两种解法的解题过程，并提出疑问：除了配方法和公式法外，能否找到更简便的方法？ 让学生分别用配方法和公式法求解同一方程，既复习巩固了已有解法，又为后续对比因式分解法提供参照，使学生在解法的对比中充分体会因式分解法的简便快捷， 活动二：实践探究、交流新知 　问题1：当a，b分别取什么值时，等式ab＝0成立？ 学生交流，讨论，得出结论． 问题2：依据问题1，你能解情境问题中的一元二次方程10x－5x2＝0吗？对比配方法和公式法，这种解法有什么优点？ 教师点拨，指导；学生思考，求解，回答，板演过程： 方程左边分解因式，得x(10－5x)＝0，则x＝0或10－5x＝0，解得x1＝0，x2＝2. 应用探究： (1)若(x＋1)(x－3)＝0，则x1＝－1，x2＝3． (2)若(2x＋1)(3x＋5)＝0，则x1＝－，x2＝－． (3)解方程x2－4x＝0时，方程可以变形为x(x－4)＝0，则x1＝0，x2＝4． (4)解方程4x(x＋3)－3(x＋3)＝0时，方程可以变形为(4x－3)(x＋3)＝0，则x1＝，x2＝－3． 学生自主解答问题，教师进行个别指导，然后学生进行做法讲述，教师进行点评与总结. 1.通过探讨“ab＝0”的条件，让学生理解“两个因式相乘为0，则至少有一个为0”的原理，为因式分解法提供理论依据，培养分析、归纳能力。2.学生在此基础上用因式分解法解方程，由理论到实践、水到渠成。3.设计环环相扣的探究活动，循序渐进、层层深入，使学生易于接受新知， 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第13页例4)解下列方程： (1)x(x－2)＋x－2＝0.　　　　　　(2)5x2－2x－＝x2－2x＋. 解：， ， 或， ，； （2）， 整理得：， ， ，． 【变式训练】　用因式分解法解方程： (1)y2＝2y；(2)x(2x－1)＝2(2x－1)；(3)(5x－4)2－x2＝0. 解：（1）y2－2y＝0，y(y－2)＝0， ∴y＝0或y－2＝0. ∴y1＝0，y2＝2. （2）x(2x－1)－2(2x－1)＝0， (x－2)(2x－1)＝0， ∴x－2＝0或2x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝. （3）(5x－4＋x)(5x－4－x)＝0， (6x－4)(4x－4)＝0， ∴6x－4＝0或4x－4＝0. ∴x1＝，x2＝1. 通过利用因式分解法求解两道典型方程的教学，帮助学生巩固因式分解法的解题步骤，强化“化0—分解—降次—求解”的规范流程， 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.方程x(x－4)＝0的解是(C) A．x＝0　　　　B．x1＝0，x2＝4　　　　 C．x1＝0，x2＝4　　　　D．x＝4 2．方程(x－3)(x＋4)＝－10的解为x1＝－2，x2＝1． 3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则第三边的长是5． 4．用适当的方法解下列方程： (1)(x－1)2＝36.(2)(x－4)2＝2(x－4)．(3)x2＋3x－18＝0.(4)2x2＋3x－1＝0. 解：(1)x1＝7，x2＝－5. (2)x1＝4，x2＝6. (3)x1＝－6，x2＝3. (4)x1＝，x2＝. 5.如图，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比是9：4，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径是x m，则大圆形场地的半径为(x＋5)m，根据题意，得πx2＝π(x＋5)2， 因式分解，得(2x＋10＋3x)(2x＋10－3x)＝0，5(x＋2)(10－x)＝0. ∴x＋2＝0或10－x＝0.解得 x1＝－2，x2＝10. ∵x1＝－2<0，不符合实际意义， ∴取x2＝10. 答：小圆形场地的半径为10m. 通过课堂检测进一步巩固因式分解法这一新知，当堂检测学生对方程变形、因式分解及求解步骤的掌握情况 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？ (2)本节课还有哪些疑惑？说一说． 教师总结： (1)用因式分解法解一元二次方程的步骤： 将方程右边化为0，左边因式分解； 根据“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程； 两个一元一次方程的根就是原方程的根． (2)一元二次方程的四种基本解法比较 2.布置作业： 方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 (x＋a)2＝b b＞0时，x1＝－a＋，x2＝－a－；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解. 配方法 x2＋px＋q＝0 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解．配方，得(x＋)2＝－q＋()2 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝. 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积. 方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解. 教材第14页练习，教材第17页习题25.2第6，9题. 指导学生系统整理本节课的解法知识，构建因式分解法与其他解法的联系，结合课堂教学实践进行反思 教学反思 本节课以抛体运动这一真实生活情境引入新课，通过对比直接开平方法、配方法等旧解法引出因式分解法，让学生直观体会因式分解法的简便快捷，激发学生主动探索的热情，课堂参与度较高。教学中我重点引导学生理解“利用因式分解把二次方程降次为两个一元一次方程”这一核心思路，掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解求解的步骤，并通过例题比较不同方法的优劣，帮助学生初步形成根据方程特点选择解法的意识。 从课堂练习看，学生基本掌握了因式分解法的步骤，能在简单方程中正确运用。但仍有部分学生忽略“方程右边必须化为0”这一前提，对原方程直接分解导致错误；对公因式、公式的识别不够敏锐，分解不彻底。后续教学我将强化“化0—分解—降次—求解”的规范流程训练，设计不同类型方程的对比练习，帮助学生总结各类方法的特点与适用情形，提升灵活选用解法解决问题的能力，体会数学方法之间的内在联系． 多数学生能掌握基本解题步骤，但在整理方程一般形式时易出现移项符号错误，部分学生出现因式分解不彻底的错误．后续需强化方程整理规范与因式分解技巧练习，通过易错辨析巩固转化思路，提升解题的严谨性与熟练度. 回顾因式分解法教学中学生的掌握情况与存在问题 一元二次方程的补充解法——十字相乘法 在一元二次方程的求解中，我们学过配方法、公式法两种通用解法。除此之外，还有一种简洁高效的因式分解技巧——十字相乘法，它是初中代数重要的拓展解题方法，能快速对特殊二次三项式分解因式、求解方程。 十字相乘法有着清晰的发展历程。早在19世纪，数学家们就开始探索二次多项式的快速分解方法。1870年左右，学者尼科尔森率先提出交叉相乘验证因式分解的运算思路；1896年，德国数学家吉雷特在《初等代数》中，首次正式采用十字交叉线的直观书写形式记录分解过程，标志着十字相乘法正式成型并普及。这种简洁直观的运算形式，一经推出就被广泛收录在各国代数教材中，沿用至今。 从数学本质来看，十字相乘法是整式乘法的逆向运算。对于二次三项式 \(x^2+px+q\)，若能找到两个数满足和为一次项系数、积为常数项，即可将式子分解为两个一次因式的乘积；对于二次项系数不为1的 \(ax^2+bx+c\)，只需拆分首尾系数，通过十字交叉相乘求和验证，即可快速完成因式分解。运用它解一元二次方程，能快速实现“降次”，相比公式法、配方法更加省时高效。 当然十字相乘法并非万能，它仅适用于有理数范围内可分解的二次三项式。若方程根为无理数或无实数根，则无法使用十字相乘法，此时仍需选用通用的公式法求解。 作为百年传承的经典代数方法，十字相乘法充分体现了数学“化繁为简、逆向思维”的核心思想。掌握它，能极大提升我们因式分解、解方程、化简代数式的速度与准确率，为后续二次函数、分式运算的学习打下扎实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $