25.2.3因式分解法同步培优练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解法，通过基础巩固、综合应用、拓展延伸三层设计，实现从概念理解到运算能力再到实际应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点|选择1-8、填空11-14、解答17-18，直接考查因式分解法适用条件及解方程，强化运算能力| |中档|综合应用|选择9-10、填空15-16、解答19-21，结合分式、菱形面积、等腰三角形等情境，培养应用意识| |提升|拓展延伸|解答22-23，引入十字相乘法、换元法，通过数学阅读与问题解决，发展推理意识与创新意识|

25.2.3因式分解法同步培优练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.解方程(x-3=4最合适的方法是() A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 2.方程xx-1=0的解是（. A.x=0 B.x=1 Cx=0或x=-1D.x=0或x=1 3.一元二次方程x-1x-2=0的根是() A.X1=X2=1 B.X1=X2=2 C.x1=1'X2=2 Dx1=-1'X2=-2 4.一元二次方程x2-2x=0的解是() AX1=3’X2=1 BX1=2'X2=0 Cx1=3'x2=-2 D.X1=-2'X2=-1 5.一元二次方程y=6y的解为() A.y=0 B.y=6 Cy=3'y=6Dy1=0'y2=6 6.用因式分解法解方程，下列方法正确的是() A(2x-2(3x-4)=0'.2x-2=0或3x-4=0 B.:(x+3x-1)=1'x+3=1或x-1=1 C:(x-2(x-3)=2x3'X-2=2或x-3=3 D.:x(x+2)=0’x+2=0 第1页，共1页 7解方程(5x-1}?=-3(5x-1)的适当方法是() A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 8用因式分解法解方程g,X=X-2时，因式分解的结果为() A.42x-1x-1=0 B.42x+1x-1=0 C.42x-1x+1=0 D.42+1x+1=0 9若分式X+2x的值为0，则的值为()》 X A.2或0 B.2 C.-2或0 D.-2 10.一个菱形的两条对角线的长是方程x2-10x+24=0的根，则该菱形的面积为() A.6 B.10 C.12 D.24 二、填空题： 11.把下列各式因式分解： (1)x2+Xy=一； (2)x2-4=一 (3)x3+6x2+9x=一 (4)x2-7x+12=—1 12.方程xx-V2=0的根是 13.如果xx-1与2x-1互为相反数，那么x的值为 14.方程x-1川x+2=2x+2的根是 15.若x2+y}-5(x+y)-6=0则x2+y2=一 16.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2-8x+12=0的两根，则该等腰三角形的周长是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解下列一元二次方程： (1)x2-4x=0 第2页，共1页 (2)xx+2-4x+2=0: (3)x2x+1=4x+2: (4)川x+32=3xx+3 18.用合适的方法解下列方程. (1)9(x-22=16 (2)(3-x)x-(3-x)=0: (3)2x+x-3=0 （4)x2+10x-11=0 19.如果x=-2是关于x的一元二次方程x2+x+c2-8c-2=0的一个根，求c的值及另一个根。 20,.小敏与小霞两位同学解方程3x-31=X-32的过程如表： 小霞： 小敏： 移项，得3x-3-x-3}=0. 两边同除以x-3,得 提取公因式，得 3=X-3, x-33-x-3=0 则x=6.() x-3=0,或3-x-3=0, x1=3,X2=0.() 你认为她们的解法是否正确？若正确，请在括号内打“V”;若错误，请在括号内打“×”，并写出你的 解答过程. 第3页，共1页 21.(1)在下列各题的横线上填写适当的解法. ①解方程(x-1P=2:用一法较适宜， ②解方程x+2x=99,用法较适宜； ③解方程x2-x-1=0,用法较适宜； ④解方程3x2+2X=0,用法较适宜. (2)用适当的方法解下列方程： ①2x1P-2影 ②x2-2x-1=0; ③x(x-7)=8(7-x). 22.【分析问题】 “十字相乘法”适用于形如X+p+q)x+p9=0的方程： x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) X xXp+x×q=(P+q)x 例：用“十字相乘法”解方程x+2X-35=0. 策略一：竖分二次项和常数项：x2=x·X,-35=(-5)×(+7); 第4页，共1页 策略二：交叉相乘，验中项： -5 →7X-5x=2x; +7 策略三：横向写出两因式：x2+2x-35=(x-5)(x+7)=0,解得x1=5,x2=-7. (1)【解决问题】 用以上方法解一元二次方程：x-X-110=0; (2)【综合应用】 《九章算术)是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽有竿，不知其长短横放，竿比 门宽长出4尺竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等问门的对角线的长是多少？ 23.【阅读材料】方程X-1-5X-1+4=0是一个一元四次方程，我们可以把X-1看成一个整体， 设x2-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0.① 解：由方程①，得y1=1,y2=4。 当y=1时，即x2-1=1,.x2=2,∴.x=±V2: 当y=4时，即x2-1=4,∴.x2=5,∴.x=±V5, :原方程的解为x,=V2:X,=-2:X,=5x4=-V5 【解决问题】 第5页，共1页 (1)在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到（选填“降次”或“消元”)的目的，体现了数 学的转化思想； (2)请仿照材料的方法，解下列方程： ①x4-x2-6=0: ②x2-xP-4x2-x-12=0 第6页，共1页 参考答案 1.A 2.D 3.C 4.B5.D 6.A 7.D 8.C 9.D 10.C 11.【小题1】 x(x+y) 【小题2】 (x+2(x-2) 【小题3】 x(x+32 【小题4】 (x-3)(x-4) 12.x,=0'X2=V2 13.-2或1 14X1=-2'x2=3 15.6 16.14 17.【小题1】 解：因式分解，得xx-4=0.∴.x=0,或X-4=0.·∴.X1=0,X2=4 【小题2】 解：因式分解，得x+2x-4=0.∴.x+2=0,或x-4=0..x1=-2,X2=4. 【小题3】 解：整理，得x2x+1-22x+1=0. 因武分解，得x=22x+=0.x-2=0,或2x+1=0.X=2,X,号 【小题4】 第7页，共1页 解：移项，得x+3P-3Xx+3=0.因式分解，得x+3-3xx+3=0° x+3-3x=0.或x+3=0,x飞=-3 18.【小题1】 解：x-2P=16 2号 【小题2】 .(3-x)x-(3-x)=0, ∴.(3-x(x-1)=0, ∴.3-x=0或x-1=0, ∴.X1=3,X2=1 【小题3】 .∵b2-4ac=12-4×2×(-3)=25 x=-b±vb-4ac=1t5, 2a 4 x1=1,x2 【小题4】 x2+10x=11, x2+10x+25=11+25, (x+52=36'即x+5=±6 .x1=-11’x2=1 19.解：把x=-2代入方程，得 1-2}2-2+c2-8c-2=0即c2-8c=0 第8页，共1页 因式分解，得cc-8=0. 于是得c=0,或c-8=0,即C1=0,C2=8. 把c=0或c=8分别代入方程，得x2+x-2=0. a=1,b=1,c=-2, ∴.△=12-4×-2=9>0° :x=-1±9=二1±3 2 2 ∴.X1=-2,X2=1. .c的值为0或8，另一个根为1. 20.解：×× 移项，得3x-3-x-3=0 因式分解，得x-33-x+3=0. 于是得x-3=0,或3-x+3=0, 即X,=3'x2=6 21.【小题1】 直接开平方 配方 公式 因式分解 【小题2】 ①解：x-1=景X-1=号x光=号 ②解：a=1b=-2'c=-1b2-4ac=-22-4×1×-1=8 x=2±8=2±22-1±2，x=1+2,X=1-2 22 第9页，共1页 ③解：原方程变形，得xx-7+8x-7=0'.x-7x+8=0'x-7=0或x+8=0°∴x=7” X2=-8 22.【小题1】 分解方程如图所示，即x+10)(x-11)=0,解得x1=-10,x2=11; +10 11 【小题2】 根据题意，作图如图， B C 设门的对角线BD的长为X尺， 则门宽BC为x-4)尺，门高CD(x-2)尺， 由题意得(x-2}+(x-42=X” 化简得x2-12x+20=0, 即(x-10)(x-2)=0, 解得x1=10,X2=2(舍去)， 答：门的对角线的长为10尺. 23.【小题1】 第10页，共1页 降次 【小题2】 ①设x2=a,则原方程可化为a-a-6=0, ∴.a-3ja+2=0, 解得a1=3,Q2=-2. 当a=3时，x2=3, 解得x,=V3:X,=-V3 当a=-2时，x2=-2, -2<0,.此方程无解， :.原方程的解为x,=V3:X,=-3 ②设x2-x=y, 则原方程可化为y2-4y-12=0, .y-6y+2=0, 解得y1=6,y2=-2. 当y=6时，x2-x=6,即x2-x-6=0, ∴.x-3x+2=0, 解得X1=3,X2=-2； 当y=-2时，x2-x=-2,即x2-X+2=0 .△=b2-4ac=-7<0, 此方程无解， ∴.原方程的解为X1=3,X2=-2」 第11页，共1页