25.2.2 公式法 （教案+同步练习） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

25.2.2　公式法 ▶ 【1分钟知识回顾】 1．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式：Δ＝__b2－4ac__． 3．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)当Δ＞0时，方程有__两个不相等__的实数根； (2)当Δ＝0时，方程有__两个相等__的实数根； (3)当Δ＜0时，方程__无__实数根. ★ 【教学目标】 课题 25.2.2　公式法 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 3．能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理． 4．通过运用公式法解一元二次方程，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，并会用数学语言表达现实世界. 教学重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用，以及利用根的判别式进行相关的判断和计算. 教学难点 一元二次方程求根公式的推导. 授课类型 新授课 课时 ✓ 【课堂流程】 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 (学生活动)用配方法解下列方程： (1)6x2－7x＋1＝0.　　　　　　　　(2)4x2－3x＝52. 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)． (1)移项； (2)化二次项系数为1； (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方； (4)原方程变形为(x＋n)2＝p的形式； (5)如果右边是非负数，直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，一元二次方程无解． (探究学习)如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的根. 引导学生总结用配方法解一元二次方程的一般步骤（移项、化系数、配方、开方、求解），使解题过程条理化、规范化， 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！ 通过设置问题情境，让学生产生“如何快速判断方程根的情况”的悬念，激发深入探究新知的欲望， 活动二：实践探究、交流新知 　　问题1：利用配方法，你能解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？ 学生自主解方程，选择一名学生进行板演． 教师点拨：我们不妨把a，b，c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤一步步推下去． 解：移项，得ax2＋bx＝－c． 二次项系数化为1，得x2＋x＝－． 配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2． 变形，得(x＋)2＝． ①当b2－4ac＞0时，x＋＝±. 方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝. ②当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－. ③当b2－4ac＜0时，方程无实数根． 教师提示： (1)在开方环节能直接开平方吗？需要注意什么？ (2)等号右边的值可能为负吗？ 学生小组内交流、讨论，达成共识． 练习：试用公式法解方程6x2－7x＋1＝0. 学生自主解方程，简述方法，教师点评. 1.让学生回顾配方法思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，逐步推导求根公式，体会从特殊到一般的数学思想。2.通过解方程的体验，让学生感受数式通性，并通过对b2－4ac取值的分类讨论，体会数学推理的严谨性与结论的确定性， 活动二：实践探究、交流新知 　　问题2：回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？ 学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识． 得出结论： 可以发现，式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 教师提示：当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为x＝的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式，利用求根公式解方程的方法叫作公式法． 练习：判断一元二次方程2x2＋x＋1＝0的根的情况. 3.通过小组讨论交流，激发学生学习的积极性，发挥互帮互助的集体优势，在合作中共同突破判别式这一重难点。4.引导学生自己分析、归纳判别式与根的关系，自主构建知识体系 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第11页例3)用公式法解下列方程： (1)x2－4x－7＝0.　　　　　　(2)2x2－2x＋1＝0. (3)5x2－3x＝x＋1. (4)x2＋17＝8x. 例2　(教材第18页习题25.2第10题)无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由． 【变式训练】 1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（　D　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（　C　） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0无解，则c的取值范围为c＞． 4.解下列方程： （1）， 整理得：， △ ， ， ，． （2）， ， △， 则， 所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例题设置由易到难、层层递进，为学生提供层次分明的学习过程，让不同水平的学生都能有所收获； 活动四：随堂检测 【随堂检测】 1.用公式法解一元二次方程3x2－4x＝8时，方程化为一般形式后的a，b，c依次为(B) A．3，－4，8 B．3，－4，－8 C．3，4，－8 D．3，4，8 2．方程7x2－6x－5＝0的解为x1＝，x2＝． 3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜且m≠1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．解方程：5x2－2x－1＝0. 解：∵a＝5，b＝－2，c＝－1， ∴Δ＝(－2)2－4×5×(－1)＝24＞0. ∴x＝＝＝. ∴x1＝，x2＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通过课堂检测及时巩固公式法的解题步骤，强化学生对化一般形式、确定各项系数及运用判别式判断根的情况的理解，规范解题格式，提升运算的准确性与熟练度；同时当堂掌握学情，发现共性问题， 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课学习内容： ①求根公式的概念及其推导过程； ②公式法的概念； ③应用公式法解一元二次方程； ④初步了解一元二次方程根的情况． (2)公式法解方程时应注意以下几点： ①用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①方程必须化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；②Δ≥0. ②用求根公式求一元二次方程的根，实际上就是把a，b，c的值代入代数式求值，所求得两个值即为所求方程的两个根．在代入a，b，c的值时一定要注意它们的符号． ③注意表示未知数的字母．如方程t2＋2t＝3中“t”为未知数，其解为t1＝1，t2＝－3，而不要习惯写成x1＝1，x2＝－3. ④当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，而不要误认为只有一个实数根． ⑤当方程的字母系数中已含有a，b，c时，在书写时应注意回避．如解关于x的方程x2－3ax＋(2a2－ab－b2)＝0时，千万不能写成a＝1，b＝－3a，c＝2a2－ab－b2，否则就把一元二次方程一般式中的系数a，b，c与题中的字母系数相混淆．正确的做法是：二次项系数为1，一次项系数为－3a，常数项为2a2－ab－b2，然后直接代入公式．或者记为A＝1，B＝－3a，C＝2a2－ab－b2，再代入公式求解． ⑥在解一元二次方程时，要明确哪个字母是未知数，如“关于x的方程mx2＋2x＋1＝0”是指明x为未知数，而m为未知的常数． ⑦当Δ<0 时，直接判断此方程无实数根，而这种判断一元二次方程无实数根的过程也是解方程． 2．布置作业： 教材第12页练习，教材第17页习题 25.2第4，5题. 通过课堂小结引导学生归纳本节课的知识与方法，梳理求根公式的推导及应用要点，培养学生的归纳概括能力和语言表达能力，使知识更加系统化， 教学反思 本节课由配方法自然引入公式法的推导，教学中我引导学生对一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）进行配方，逐步推导出一元二次方程的求根公式，让学生经历公式形成的完整过程，理解求根公式的来龙去脉，体会从特殊到一般的数学思想，并掌握利用公式法求解一元二次方程的基本步骤。从课堂反馈看，学生能够理解求根公式的推导逻辑，掌握公式法的解题步骤，多数同学能正确代入公式求解，课堂参与度高，教学目标基本达成。但教学中仍存在不足：部分学生在推导过程中出现移项、去分母、化二次项系数等环节的疏漏，对每一步变形的依据理解不深；对判别式Δ＝b2－4ac的符号意义理解不透彻，不能根据Δ的符号判断方程根的情况，解题时不先判断根的个数便盲目套用公式；代入求值时符号处理易出错。后续教学我将强化推导细节的指导，逐步板书、步步讲解，帮助学生理清每一步变形的依据；增加判别式Δ与根的情况关系的辨析练习，养成“先判Δ、再套公式”的习惯；强化符号运算的专项训练，提升解题的严谨性与准确性． 结合本节课的教学实践进行深入反思，回顾教学设计与课堂实施中的得失，总结经验、发现问题， 一元三次、四次方程有求根公式吗？ 我们知道：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可用公式x＝来求得解，这个公式早在公元9世纪已由中亚细亚的阿尔·花拉子米给出． 一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有求根公式吗？有，这个公式是1945年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫作“卡当公式”．可是，事实上发现公式的人并不是卡当本人，而是塔尔塔利亚． 至于一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0的求根公式由卡当的学生弗拉利找到了． 三次、四次方程公式问世之后，无数数学家投入到五次方程的研究。欧拉、拉格朗日等大数学家反复尝试，耗费两百多年却始终无法找到通用求根公式。拉格朗日深入分析二、三、四次方程的解法，发现方程求解和根的排列置换密切相关，他率先提出猜想：五次方程或许根本不存在通用根式解，但没能给出严格证明。 之后意大利数学家鲁菲尼率先尝试证明五次方程没有通用求根公式，写出长篇论证，不过证明存在漏洞，当时没有得到学界普遍认可。1824 年，年轻的挪威数学家阿贝尔完善并严格证明：一般的一元五次及五次以上方程，不存在只用加减乘除、开方写出的通用求根公式，也就是阿贝尔鲁菲尼定理。但阿贝尔没有解决：哪些具体的高次方程能够用根式求解。 这个遗留难题，最终由法国数学奇才伽罗瓦彻底解决，他建立起全新的 “伽罗瓦理论”，开创了代数学崭新的研究方向。 伽罗瓦的论文在生前无人读懂，在他离世十几年之后，数学家刘维尔整理发表他的手稿，这份天才的成果才被整个数学界看见。 通过以上材料的阅读，你知道一元三次、四次方程有求根公式吗？一元五次方程呢？从中，你受到哪些启发呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $25.2.2公式法 夯实基础 1.解方程 最适当的方法是() A.直接开方法B.配方法 C.求根公式法 D.因式分解法 2.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定、、的值.对于方程 ,下列叙述 正确的是() A. B C. D 3.若一元二次方程的根为 ,则该一元二次方程可以为() A. B C. D 4.已知关于的方程 为常数)，对根的情况判断正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况与值有关 5.关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 的值可以是一·（写出 一个即可) 6.一元二次方程 的根是一· 7.用公式法解方程： 第1页（共10页） 8.解方程： (用公式法)· 能力提升 9.若直线 不经过第三象限，则关于的方程 的实数根有() A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 10.己知，，是 的三边长，若一元二次方程 没有实数根，则 是_三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” 11.定义： ·则方程 的解为 12.小明在解方程 的过程中出现了错误，其解答如下： 解： ,第一步 第二步 ,第三步 ，第四步 (1)小明的解答是从第步开始出错的： 第2页（共10页） (2)请按照小明的方法，写出本题正确的解答过程， 13.若一元二次方程的右边被墨水污染 口. (1)若方程的一个解为 时，求“口”的值： (2)若“口”表示，求· 14.己知关于的方程 (1)若 是该方程的一个解，求的值： (2)若该方程有实数根，求的取值范围. 第3页（共10页） 思维拓展 15.当， 时，若代数式 的值为3，则代数式 的值 为() A.5 B. C.1 D. 第4页（共10页） 答案详解 1.解：由 的特点可知，求根公式法最适当， 故选： 2.解： ,或 或 故选： 3.解：，方程的解为： ,故符合题意： ·方程的解为： ,故不符合题意： .方程的解为： ,故不符合题意： ,方程的解为： ,故不符合题意. 故选：· 4.解： 根的判别式△ 4 第5页（共10页） 原方程有两个不相等的实数根. 故选： 5,解：将方程整理得： 该一元二次方程有两个不相等的实数根， △ 解得 的值可以是5. 故答案为：5（答案不唯一）. 6.解：原方程可化为 △ 方程有两个不相等的实数根， 7.解： △ 第6页（共10页） 8.解：根据公式法求解可得： △ 9.解：由题知， 因为直线 不经过第三象限， 所以 当 时，方程为 解得 所以此方程有1个实数根. 当 时， V 所以此方程有两个不相等的实数根， 综上所述，该方程的实数根有1个或2个. 故选：· 第7页（共10页） 10.解：根据题意得 且△ 即 所以 所以 是钝角三角形. 故答案为：钝角、 11.解：根据题中的新定义得： 整理得： 这里 △ ,即 故答案为： 12.解：(1)由小明的解答过程可知，从第一步开始出错的，因为没把方程化为一元二次方程的基 本形式， 故答案为：一： (2) 第8页（共10页） 13.解：(1)由条件可知 “口”的值为3. (2)由题意得方程为 4 14.解：（1)由条件可知 整理得 解得 (2)由条件可知： 第9页（共10页） 解得 即 时，关于的方程 有实数根. 15.解：一元二次方程为的两个根为 代数式 的值为3， 代数式 的值为， 故选： 第10页（共10页）