精品解析：贵州贵阳市第三实验中学2025-2026学年第二学期第二次年级作业高一数学试卷

贵阳市第三实验中学2025-2026学年度第二学期第二次年级作业 高一年级数学 请考生注意： 1．考试时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即， 故. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据虚数的幂次运算性质及复数的乘法和除法运算，结合共轭复数的定义求解即可.   【详解】， 分母实数化得， 所以. 3. 已知向量为非零向量，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】因为，得到， 所以当时，有， 当时，成立，但得不出， 所以“” 是 “” 的充分不必要条件， 故选：A. 4. 若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的空间结构关系以及侧面积公式计算即可. 【详解】设是上下底面圆心，， 连接,过点作的垂线，垂足为, 在直角三角形中，,则圆台的母线长为,    由圆台的侧面积公式可得； 故选：C. 5. 函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象确定振幅、周期和相位，写出函数解析式，根据平移规则得到新函数解析式，代入自变量计算即得结果. 【详解】由图象可知，，图象与轴交点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，所以，解得， 将代入，得， 所以 ，所以，又因为，所以， 所以， 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以，所以. 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐一验证各选项的正误即得. 【详解】对于A，由，可得或，故A错误； 对于B，根据线面垂直的性质，两条平行直线中若有一条垂直于某平面，则另一条也垂直于该平面， 由可得，故B正确； 对于C，因，，若，且，则可得，满足条件， 但得不到，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质定理，只有当且时，才能推出，选项未说明，故D错误. 7. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形法则分别进行分解即可． 【详解】解：由图可得 ， 所以，， 则， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键，属于中档题． 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．部分答对得部分分，答错不得分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 10. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. 直线与所成角的正弦值为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】由正方体的结构特征及性质易得且、为等边三角形、为正四面体，进而判断各项正误. 【详解】 由正方体的结构特征及性质易得，且，故， 显然直线与所成角的正弦值不为，A错； 由正方体的结构特征及性质易得，即为等边三角形， 所以点到直线的距离为，C对； 同上易得为正四面体，且棱长为， 所以点到平面的距离为，D错； 直线与平面所成角的正弦值为，B对. 故选：BC 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【解析】 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 13. 若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点， ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点， 则，，，， 且，，， 过点作交于，显然，四边形为矩形， 且，， 在中，，，， 由，得，则，. 在中，，， 在中，， 在中，，， 因此圆台的上底面半径，下底面半径，高， 圆台的体积， 而球的体积，球的体积， 所以容器中水的体积. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）求函数在上的值域. 【答案】⑴，递增区间为，递减区间 ⑵ 【解析】 【分析】整理函数的解析式可得：. （1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可. ⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 【详解】 . （1）， 递增区间满足：， 据此可得，单调递增区间为， 递减区间满足：， 据此可得，单调递减区间为. （2），，， ， 的值域为. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 设O为坐标原点，，，， （1）求中点坐标 （2）求在上的投影向量的坐标 （3）与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用向量平行和垂直的坐标运算可得，解方程即可得到的坐标，最后利用中点公式即可求解； （2）利用投影向量公式计算即可求解； （3）分别求出与的坐标，若与夹角为锐角，则，且与不同向，利用向量的数量积运算求解即可. 【小问1详解】 设，则 由，则， 由，则，即， 联立，解得：， 则，即的坐标为， 由于的坐标为， 所以中点坐标为 【小问2详解】 由于，， 所以在上的投影向量为 【小问3详解】 由题可得，， 因为与夹角为锐角，则，且与不同向， 即，解得：且， 即实数的取值范围为 17. 已知，内角对应的边为满足: . （1）求角； （2）若，求； （3）若为锐角三角形，求边的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算可求得角； （2）利用三角形的面积可求得，利用余弦定理可求得； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换可求得，结合的范围，可求得边的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ∴， ∴，∵，∴， ∴，∴； 【小问2详解】 ∵⟹，∴， 由余弦定理可得：⟹，∴. ∵，∴. 【小问3详解】 解法一：由正弦定理可得：，∴， ∵，∴. ∴， ∵为锐角三角形 ∴可得：，∴，∴，∴. 故的取值范围为. 解法二：由余弦定理可得：⟹ ， ∵为锐角三角形，所以，又， ∴可得：，∴解得：， ∴，故的取值范围为. 18. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． 【小问3详解】 在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第三实验中学2025-2026学年度第二学期第二次年级作业 高一年级数学 请考生注意： 1．考试时间为120分钟，满分为150分． 2．所有题的答案必须答在答题纸的指定位置，否则不得分． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量为非零向量，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，，， D. ，， 7. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．部分答对得部分分，答错不得分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 10. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. 直线与所成角的正弦值为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 13. 若复数和复数满足，，，则________. 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）求函数在上的值域. 16. 设O为坐标原点，，，， （1）求中点坐标 （2）求在上的投影向量的坐标 （3）与夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知，内角对应的边为满足: . （1）求角； （2）若，求； （3）若为锐角三角形，求边的取值范围. 18. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $