精品解析：天津市东丽区2025-2026学年下学期期末学业水平监测试卷八年级数学

学业水平监测试卷 （八年级数学） 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B.，被开方数含分母，不是最简二次根式； C.的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D.，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，3，6 C. 6，8，10 D. 5，7，9 【答案】C 【解析】 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 3. 函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得． 4. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把各选项点的横坐标代入直线解析式算出值，和对应点纵坐标对比，相等的点就在直线上． 【详解】解：将各点横坐标代入计算： 当时，，A不符合题意； 当时，，B符合题意； 当时，，C不符合题意； 当时，，D不符合题意． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，，再根据两直线平行，同旁内角互补可得．解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行，对角相等． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 6. 如图，小明想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点定义判定为的中位线，利用三角形中位线定理计算的长． 【详解】解：点分别为的中点，  是的中位线，  ，  ，  ． 7. 一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先将销售数据从小到大排序，再分别计算三个四分位数的位置，结合位置确定对应数值． 【详解】解：将销售数量从小到大排序得：，，，，，，，，，． ∵数据共10个，为偶数个，为排序后的第5个数据和第6个数据的平均数， ∴； ∴为排序后的第3个数据，即 ∴为排序后的第8个数据，即 故答案为：A． 8. 若点，在函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的系数符号判断函数增减性，结合两点横坐标的大小关系比较对应函数值即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 9. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 10. 如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象，确定函数值  时对应的自变量  的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象过点，且随的增大而减小． ∵不等式，即函数值． ∴观察图象可知，当时，函数图象在直线的下方． ∴不等式的解集为． 11. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的现在得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 12. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 【详解】解：在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形， ∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC，CD=BC， ∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC， ∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC， ∴∠CDF=∠EBC， 在△CDF和△EBC中， DF=BC，∠CDF=∠EBC，CD=EB， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确； 在▱ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC， ∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC， ∴∠CDF=∠EAF，故②正确； 同理可证△CDF≌△EAF， ∴EF=CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE=CF， ∴EC=CF=EF， ∴△ECF是等边三角形，故③正确； 当CG⊥AE时， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABG=30°， ∴∠ABC=180°-30°=150°， ∵∠ABC=150°无法求出，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，综合性强，解题的关键是考查学生综合运用数学知识的能力． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上） 13. 化简的结果是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据二次根式的性质即可得． 【详解】解：， 故答案为：5． 14. 将直线沿轴向上平移个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律，得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入解析式，即可求解． 【详解】解：直线沿轴向上平移个单位长度， 平移后的直线解析式为． 又平移后的直线经过原点， 把，代入解析式得，， 解得，． 15. 某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． 【答案】 7 【解析】 【分析】根据平均数求出的值，再将数据排序后根据中位数定义计算结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数为7，共7个数据， ∴这组数据的总和为 ， 已知6个数据的和为 ， 计算得 ， 将这组数据从小到大排列为：，7个数据的中位数为排序后的第4个数， 因此这组数据的中位数是7． 16. 等边三角形的边长为6，则此等边三角形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据等边三角形三线合一的性质得到的长度，利用勾股定理求出高的长，再根据三角形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于， 等边三角形的边长为，， ， 由勾股定理得， ． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的“拉手点”． 已知点，． （1）在点，，中，线段的“拉手点”是___________； （2）若直线上存在线段的“拉手点”，的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据“拉手点”的定义求解即可； （2）分两种情况求出的最值即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ，， 点到线段的距离， 则在线段上的点到的距离， 故线段上不存在点，使得，那么点不是线段的“拉手点”， 所以，在点，，中，线段的“拉手点”是． （2）如图， 设的解析式为， ， 解得， ， 则直线与线段平行，在线段上的点到直线的距离处处相等， 情况一：当直线在点上方时，作直线，延长交直线于点， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵，．， ∴， ∴， ∴， ∵在直线中，当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 此时点到直线的距离是， 令， 则， 过点作， ∵在直线中，当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴直线为的角平分线，， ∴， 又， 则，直线与线段有“拉手点”， ∴， ∴； 当往上平移时变大，则变大，即在线段上的点到直线的距离， 则直线与线段没有“拉手点”； 当往下平移也满足条件，即； 情况二：当直线在点下方时， 假设点满足，则符合直线上存在线段的“拉手点”， ∴， ∴， ∴直线上存在线段的“拉手点”，则的取值范围为． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可解答； （2）利用平方差公式和二次根式的乘法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；5 （2） 解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 21. 为了解某校学生每周阅读课外读物的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________图①中m的值为__________；统计的这组学生阅读课外读物的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生阅读课外读物时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每周阅读时间是的人数为多少． 【答案】（1）50，16，3，3 （2）2.8 （3）200人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：（名）， ，即， ∵在该组数据中3出现的次数最多， ∴众数为3； 中位数为排序后的第25位和26位的平均数， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：这组学生阅读课外读物时间数据的平均数为（小时）． 答：统计的这组学生阅读课外读物时间数据的平均数为2.8小时． 【小问3详解】 解：（人） 答∶该校学生每周阅读时间是的人数为200人． 22. 如图，已知过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，先利用直线求出点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先根据直线和的解析式求出点和点的坐标，然后利用即可求出结果． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴点在直线上， ∴在直线中，令，得：， ∴点为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴令，得：， ∴， ∵直线， ∴令，得：，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴，， ∴． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 24. 在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境． 已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家，文具店离家．小明从家跑步到体育场；在那里锻炼了后，又匀速步行了到文具店买圆规；在文具店停留了后，匀速步行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与小明离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.6 （2）填空： ①体育场到文具店的距离为________km； ②小明从文具店返回家的速度为________； ③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为________． （3）当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】（1） 填表如下： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.4 3 2.6 2.2 （2）①；②；③10或67 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象中线段的含义作答即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③根据离开和回家时离家，两种情况进行求解； （3）利用待定系数法以及函数图象写函数关系式即可． 【小问1详解】 解：由题意知，前15，小明匀速运动，速度为， ∴在第12时，离家的距离为 ， 由图象可知，30时，离家的距离为；65时，离家的距离为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，， 故答案为：； ②解：小明从文具店回家用了， ∵， ∴小明从文具店走回家的速度为， 故答案为：； ③解：由题意知，出发去体育场，离家距离为2时，离家的时间为， 从文具店回家，离家距离为2时，还需要时间为， ∴离家时间为， ∴当小明离家的距离为2时；他离开家的时间为10或67， 故答案为：10或67； 【小问3详解】 解：设45到55之间的函数解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， ∴当时，关于的函数解析式为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义． 25. 矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及三角形的全等，熟练的运用矩形的性质，通过矩形的性质得出线段和角度之间的相等关系从而构建全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出线段和角度之间的等量关系，证明即可． （2）补全图形，构造全等三角形，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学业水平监测试卷 （八年级数学） 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，3，6 C. 6，8，10 D. 5，7，9 3. 函数有意义，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 一家汽车零售店的10名销售人员9月份销售的汽车数量（单位：辆）如下：2，3，6，8，9，10，10，12，12，14，则汽车销售数量的四分位数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 若点，在函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB､AD为边向外作等边△ABE､△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A､E之间，连接CE､CF､EF，则以下四个结论：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．一定正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上） 13. 化简的结果是______． 14. 将直线沿轴向上平移个单位长度后经过原点，则的值为___________． 15. 某班7个学习小组人数如下：6，6，7，x，8，8，9．已知这组数据的平均数为7，则这组数的中位数是___________． 16. 等边三角形的边长为6，则此等边三角形的面积为__________． 17. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 18. 在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的“拉手点”． 已知点，． （1）在点，，中，线段的“拉手点”是___________； （2）若直线上存在线段的“拉手点”，的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． （1）直接写出下列线段的长度： ， ； （2）连接，判断形状，并证明你的结论． 21. 为了解某校学生每周阅读课外读物的时间（单位：），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________图①中m的值为__________；统计的这组学生阅读课外读物的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生阅读课外读物时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每周阅读时间是的人数为多少． 22. 如图，已知过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）若与y轴交于点C，与x轴交于点A，则点A的坐标为________，点C的坐标为________，四边形的面积是________（直接写出答案即可）． 23. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 24. 在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境． 已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家，文具店离家．小明从家跑步到体育场；在那里锻炼了后，又匀速步行了到文具店买圆规；在文具店停留了后，匀速步行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离与小明离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/min 5 12 30 50 65 离开家的距离/km 1 2.6 （2）填空： ①体育场到文具店的距离为________km； ②小明从文具店返回家的速度为________； ③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为________． （3）当时，请直接写出关于的函数解析式． 25. 矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． （1）如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； （2）当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $