第5章 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．6　函数y＝Asin(ωx＋φ) 1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点) 2．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点) 3．求函数解析式时φ值的确定．(易错点) A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．(　　) 2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．(　　) 3．把函数y＝cos x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos 3x的图象．(　　) 【答案】　1.√　2.√　3.× 一、三角函数图象之间的变换 　(1)将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ． (2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋)＋1的图象？ 【解】　(1)y＝－cos 2x－3　y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，得y＝cos[2(x＋)＋] ＝cos(2x＋π)＝－cos 2x， 再向下平移3个单位长度得 y＝－cos 2x－3的图象． (2)法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2(x＋)的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin(2x＋)＋1的图象． 法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin(x＋)的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin(2x＋)的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin(2x＋)的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin(2x＋)＋1的图象． 【反思感悟】　由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 1．(1)为了得到函数y＝sin(3x－)的图象．需将函数y＝sin(x－)的图象(　　) A．纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C．横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．纵坐标变为原来的，横坐标不变 (2)将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋) C．y＝2sin(2x－) D．y＝2sin(2x－) (1)【答案】　C　(2)D 【解析】　(1)只需将函数y＝sin(x－)的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数y＝sin(3x－)的图象，故选C.(2)函数y＝2sin(2x＋)的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)，故选D. 二、由图象求三角函数的解析式 　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式． 【解】　逐一定参法 由图象知A＝3， T＝－(－)＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点(－，0)在函数图象上， ∴0＝3sin(－×2＋φ)． ∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z， 得φ＝＋kπ(k∈Z)． ∵|φ|<，∴φ＝. ∴y＝3sin(2x＋)． 【反思感悟】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)，求f(x)的解析式． 【解】　由最低点M(，－2)，得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为， 故＝，即T＝π，ω＝＝＝2. 由点M(，－2)在图象上得 2sin(2×＋φ)＝－2， 即sin(＋φ)＝－1， 故＋φ＝2kπ－(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－(k∈Z)． 又φ∈(0，)， ∴φ＝.故f(x)＝2sin(2x＋)． 三、y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用 　(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，若f()＝f()，且f(x)在区间(，)上有最小值．无最大值，则ω＝(　　) A. B． C. D． (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值． (1)【答案】　B 【解析】　因为f()＝f()， 所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值． 所以当x＝时，f(x)取得最小值． 所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)． 又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω>0， 所以k＝1，即ω＝8－＝. (2)【解】　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ<π，∴解得φ＝. 由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin(ω＋)＝0，即ω＋＝kπ， 解得ω＝－，k∈Z. 又f(x)在[0，]上是单调函数， 所以T≥π，即≥π. ∴ω≤2，又ω>0， ∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2. 故φ＝，ω＝2或. 【反思感悟】　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间． (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质． 3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则下列为f(x)的单调递减区间是(　　) A．[－，－] B．[－，－] C．[，π] D．[π，π] 【答案】　B 【解析】　由T＝－＝，得T＝π＝，所以ω＝2. 当x＝时，f(x)＝1，可得sin(2×＋φ)＝1.因为|φ|<， 所以φ＝，故f(x)＝sin(2x＋)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z，结合选项可知[－，－]为f(x)的单调递减区间，选B. 1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】　C 【解析】　y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋)，因此由y＝cos 2x向左平移个单位，故选C. 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的A与最小正周期T分别是(　　) A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝ C．A＝，T＝ D．A＝，T＝ 【答案】　D 【解析】　由题图可知A＝(3－0)＝，设周期为T，则T＝－(－)＝，得T＝. 3．在函数y＝2sin(4x＋)的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是 ． 【答案】　(，0) 【解析】　由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z.所以当k＝1时，y＝－＝，即(，0)离原点最近． 4．要得到函数y＝sin(－x＋)的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向 个单位． 【答案】　右平移 【解析】　y＝sin(－x)→y＝sin(－x＋)＝ sin[－(x－)]，可把y＝sin(－x)的图象向右平移个单位． 5．已知方程2sin(2x＋)－1＝a，x∈[－，]有两解，求a的取值范围． 【解】　由题意2sin(2x＋)＝a＋1. 令y＝2sin(2x＋)，y＝a＋1， 作出函数y＝2sin(2x＋)在[－，]上的图象如图． 显然要使y＝a＋1与图象有两个交点， 只须－2<a＋1<0或a＋1＝2. 即－3<a<－1或a＝1. ∴a的取值范围是{a|－3<a<－1或a＝1}． 1．知识归纳： (1)图象的变换． (2)由图象求函数的解析式． (3)三角函数的性质的综合问题． 2．方法归纳：特殊点法，数形结合法． 3．常见误区：求φ值时递增区间上的零点和递减区间上零点的区别． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$