第5章 5.4 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．4　三角函数的图象与性质 5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 1．了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点) 3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象． ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法 ①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)，用光滑的曲线连接． ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 4．余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 【思考】　 y＝cos x(x∈R)的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？ 【解析】　提示：因为cos x＝sin(x＋)，所以y＝sin x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos x(x∈R)的图象． 1．正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．(　　) 2．函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．(　　) 3．直线y＝与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象有两个交点．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√ 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 　(1)下列叙述正确的个数为(　　) ①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (2)函数y＝sin |x|的图象是(　　) 【答案】　(1)D　(2)B 【解析】　(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确． (2)y＝sin |x|＝结合选项可知选B. 【反思感悟】　 1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．正、余弦曲线的对称性 对称中心 对称轴 y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z y＝cos x(x∈R) (kπ＋，0)，k∈Z x＝kπ，k∈Z 【提醒】　对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1. 1．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点； ②y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同； ③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是 ． 【答案】　②④ 【解析】　对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同； 对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确． 二、用“五点法”作简图 　用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的图象． 【解】　取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图) 【反思感悟】　用“五点法”作图的步骤 (1)列表：取x＝0，，π，π，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来．在连线过程中要注意曲线的“凸性”． 2．利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 【解】　(1)取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 (2)描点连线，如图所示． 三、正弦(余弦)函数图象的应用 　(1)函数y＝的定义域为 ． (2)在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集． 【答案】　 【解析】(1)由2sin x－1≥0得sin x≥，画出y＝sin x的图象和直线y＝. 可知sin x≥的解集为 . (2)【解】　画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下： 因为sin ＝，所以sin(π＋)＝－， sin(2π－)＝－. 即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是. 【反思感悟】　用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法 (1)作出y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图象． (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值． (3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集． 3．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝lg cosx＋. 【解】　(1)要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，即2sin2x－sin x－1≤0， 解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得.　 (2)由题意，得x满足不等式组 即作出y＝cos x的图象，如图所示． 结合图象可得：x∈[－5，－π)∪(－，)∪(π，5]． 1．用”五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】　A 【解析】　由“五点法”可知选A. 2．函数y＝sin x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】　B 【解析】　作出y＝sin x在[0，π]上的图象可知，选B. 3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 【答案】　B 【解析】　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．不等式cos x<0，x∈[0，2π]的解集为 ． 【答案】　(，) 【解析】　由函数y＝cos x的图象可知，不等式cos x<0在[0，2π]的解集为(，)． 5．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有 个． 【答案】　两 【解析】　作y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－(图略)，知两函数图象有两个交点． 1．知识归纳： (1)五点法作图； (2)函数图象的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$