精品解析：黑龙江省绥化市第二中学2026-2027学年高二上学期开学考数学试题

高一数学开学测试 一、单选题（每题5分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 24π D. 40π 二、多选题（每题6分） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 11. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 三、填空题（每题5分） 12. 已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，且C为锐角，则________． 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 14. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 四、解答题 15. 已知复数，，. （1）若是纯虚数，求； （2）若的实部是虚部的2倍，求. 16. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学开学测试 一、单选题（每题5分） 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以虚部为． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题； 方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题； 本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述. 【详解】方法1： . 方法2： . 3. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量与共线，且， 则存在实数，使得，即， 可得，解得. 4. 已知中，，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，故或． 5. 为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此， 圆锥的高底面，故是直角三角形， 由勾股定理得母线长， . 6. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 7. 已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，A错误. 对于B，若，，则或与相交，B错误. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则，D错误. 8. 已知三棱锥中，平面ACD，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 24π D. 40π 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，，，所以， 所以. 又平面，所以三棱锥可补成长方体， 为长方体的体对角线，也就是三棱锥外接球直径. 如图， 设三棱锥外接球半径为，则. 所以三棱锥外接球的表面积为：. 二、多选题（每题6分） 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 【答案】ABD 【解析】 【详解】，的虚部为1，A正确； ，B正确； ，C错误； 的共轭复数为，D正确． 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围. 【详解】选项A，因为，所以，，解得，A正确. 选项B，因为，所以设，解得或，B错误. 选项C，时，，，，， 所以，所以夹角是，C错误. 选项D，，， 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，， 所以，D正确. 11. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，A正确; 对于B，由正弦定理得，B正确; 对于C，由正弦定理得，而，因此或，C错误; 对于D，由 ，得为钝角，因此是钝角三角形，D正确. 三、填空题（每题5分） 12. 已知的内角所对的边分别为，且，若的面积为，且C为锐角，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式求出，结合为锐角求得，再代入余弦定理计算边长 【详解】由三角形面积公式，将，，代入得：  ， 化简得，解得. 因为为锐角，故， 由余弦定理，代入已知值得：  , 因为为三角形边长，故，因此. 13. 已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为、，高为， 由台体体积公式可知，该圆台的体积为. 14. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算. 【详解】因为，， 所以在方向上的投影向量为. 四、解答题 15. 已知复数，，. （1）若是纯虚数，求； （2）若的实部是虚部的2倍，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先计算 ，再根据纯虚数的实部为 、虚部不为 列式；（2）利用分母实数化求出 的实部和虚部，再按题意列方程. 【小问1详解】 因为 是纯虚数，所以其实部为 ，且虚部不为 ，即 由 ，得 .此时符合题意，所以 【小问2详解】 将分母实数化，得 所以 的实部为 ，虚部为 . 由“实部是虚部的 倍”，得 整理得所以 16. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 17. 如图，在正三棱柱中，点是的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $