黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026～2027学年度高二年级第一学期开学考试 数  学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知，为两个不共线的向量，若，则 A． B． C． D． 3．数据，，，，，，，，的第三四分位数为 A． B． C． D． 4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 A． B． C． D． 5．从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为 A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，为棱的中点，若点满足：平面平面，且平面，则点可以位于 A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 7．已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为 A． B． C． D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，若边上的高为，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则 A．的虚部为 B． C．向量，的夹角为 D．向量在上的投影向量为 10．已知随机事件，满足，，则 A． B． C．若，则 D．若，相互独立，则 11．如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则 A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12．已知（，，为虚数单位），则_________． 13．某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点，（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看，的仰角分别为，，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________． 14．已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 小郭和小张每下一盘棋，小郭胜的概率为0.3，小郭不输的概率为0.7． （1）若小郭和小张两人下一盘棋，求两人下成和棋的概率； （2）若小郭和小张连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求小郭至少有一盘棋胜的概率． 16．（本小题满分15分） 为调查高中学生的身高分布情况，某区从高中学生中随机抽取200名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，，，分组，得到样本的频率分布直方图（如图所示）． （1）求图中实数的值； （2）估计该区高中生的身高的众数，中位数和平均数（精确到）； （3）将身高在，，区间的学生依次记为，，三个组，按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组中抽取7名学生，求这三个组分别抽取的人数． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，求和的面积． 18．（本小题满分17分） 如图1，在矩形中，，，，分别为，的中点，将四边形沿折起至四边形处，使得二面角的大小为，连接，，，，如图2． （1）证明：平面⊥平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求到平面的距离． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，． （1）若平面，求的值； （2）求与平面所成角的正弦的取值范围； （3）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高二年级第一学期开学考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．A 9．BCD 10．CD 11．ABD 12． 13． 14． 15．解：（1）小郭和小张每下一盘棋，记“小郭胜”为事件，“和棋”为事件， 则，， 1分 因为事件，互斥，所以， 4分 所以． 6分 （2）记“小郭第盘胜”为事件，则，所以， 8分 又，相互独立，所以， 11分 所以小郭至少有一盘棋胜的概率． 13分 16．解：（1）由题意得， 1分 解得． 3分 （2）各组的频率依次为：0.025，0.15，0.2，0.275，0.2，0.1，0.05， 5分 所以该区高中生身高的众数为167.5（）， 6分 因为，， 7分 所以该区高中生身高的中位数在内，设中位数为， 则，解得， 故该区高中生身高的中位数约为167.3（）． 9分 ， 故该区高中生身高的平均数约为167.4（）． 10分 （3）身高在，，的人数依次为，，， 12分 按比例分配的分层随机抽样的方法从这三组抽取的人数分别为，，， 故按比例分配的分层随机抽样的方法从，，组抽取的人数分别为人，人，人． 15分 17．解：（1）因为， 所以， 2分 又，所以， 3分 所以， 即， 5分 因为，所以，所以，即， 又，所以． 7分 （2）由（1）知，又，， 由，得， 10分 即，解得（负根舍）， 12分 所以的面积． 15分 18．（1）证明：由题意知，，，平面，且， 所以平面， 2分 又平面，所以平面平面． 3分 （2）解：由题意得，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 易证是二面角的平面角，故，又，所以， 由（1）知平面，平面，所以，又，所以，从而四边形为正方形． 连接，则， 5分 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 8分 （3）解：由（1）知平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面，所以平面， 9分 由（2）知，． 11分 所以三棱锥的体积， 12分 在中，易求得，， 所以的面积， 14分 设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 所以，即，所以， 即点到平面的距离为． 17分 19．解：因为平面，，平面，所以，，所以为二面角的平面角，所以． 1分 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，，，， 3分 设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以． 4分 （1）由，得，由，得， 所以， 5分 因为平面，所以，所以， 解得． 6分 （2）因为，所以， 设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以， 7分 设与平面所成的角为，则 ． 9分 当时，； 10分 当时，，当且仅当时等号成立． 12分 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 13分 （3）由（1）知，所以． 设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以， 14分 由（2）知平面的一个法向量， 15分 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $