25.2.2 用公式法解一元二次方程-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

全程导练·九年级数学（上册）】 -m+16=6,解得m=10,.x2+8x+m=5化简为x2+ 8x+5=0,配方，得(x+4)2=11,即(x+n)2=11.故选D. 13.8814.x1=x2=3 15.解：(1)x2-10x=-9,x2-10x+25=-9+25, 即(x-5)2=16,.x-5=±4，.x1=9,2=1. (2)2x2-12x=6,x2-6x=3,x2-6x+9=3+9, 即(x-3)2=12,x-3=±25， 1=3+25,x2=3-25. 【素养探究创新练】 16.解：a2-4a+2b2-4b+6=a2-4a+4+2b2-4b+2= (a-2)2+2(b-1)2=0, ∴.a-2=0,b-1=0,解得a=2,b=1. :a,b,c是△ABC的三边长，∴.1<c<3, ,c是正整数，.c=2 微专题1利用配方法判断代数式的正负或求最值 1.a27 2 3解：(1)2+m+4=(+分+号 :(m+)≥0(m+2+ 11 1515 会 4 ·m2+m+4的最小值是5 4 (2)4-x2+2x=-(x-1)2+5. …(x-1)2≥0，.-(x-1)2≤0，.-(-x-1)2+5≤5， .4-x2+2x的最大值为5. (3)由题意得，花园的面积是x(20-2x)=-2x2+20x= -2(x-5)2+50. (x-5)2≥0， .-2(x-5)2≤0，.-2(x-5)2+50≤50， .x(20-2x)的最大值是50. 此时x=5,20-2x=20-2×5=10<15,符合题意， 即当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 【知识要点分类练】 1.B2.C3.A4.D 5.解：(1)，a=1,b=4,c=4, .4=b2-4ac=42-4×1×4=0, .方程有两个相等的实数根 (2)将原方程化为一般形式，得3x2-4x+2=0. 4=62-4ac=(-4)2-4×3×2=-8<0, .原方程无实数根 6.C7.D 8.解：(1)把x=0代入原方程，得3m-2=0,解得m= 2 (2)根据题意，得4=42-4(3m-2)≥0，解得m≤2. 【能力提升综合练】 9.A10.D11.A12.直角 13.(1)解：2 (2)证明：由x2+mx+m-2=0, 得4=m2-4(m-2)=(m-2)2+4. .(m-2)2≥0，.(m-2)2+4>0,即4>0， “.无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 ·2· 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： x=-1是方程的根， .(a+c)×(-1)2+2b×(-1)+(a-c)=0, ∴.a+c-2b+a-c=0,.a=b, .△ABC是等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： ,方程有两个相等的实数根， (2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 4b2-4a2+4c2=0,a2=b2+c2, .∴.△ABC是直角三角形. 【素养探究创新练】 15.解：(1)[-4,3]*[2，-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意，得x(mx+1)-m(2x-1)=0, 整理，得m.x2+(1-2m)x+m=0. 关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实 数根， ∴.4=(1-2m)2-4m·m≥0，且m≠0， 解得m≤子且m≠0， 第2课时用公式法解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.B2.C 3.解：(1).a=1,b=-3,c=-2, .4=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0, 方程有两个不相等的实数根， x=-b±√B-4ae_-3±页 2a 2 +23- 名=3+ 2 (2)a=1,b=-22,c=2, .4=b2-4ac=(-22)2-4×1×2=0, .方程有两个相等的实数根， 六有==-6±B-4c.-(-32)±02. 2a 2×1 (3)原方程可化为3x2-5x-2=0. a=3,b=-5,c=-2, .4=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, ·.方程有两个不相等的实数根， 从x=b±-4c.二(-5)±4型5±虹， 2a 2×3 6 1 01=2,西=-3 (4)原方程可化为x2-25x+10=0. a=1,b=-25,c=10, .4=b2-4ac=(-25)2-4×1×10=-20<0, .此方程无实数根. 4.解：由题意，得3x2+1=x+3,整理，得3x2-x-2=0. a=3,b=-1,c=-2, .4=b2-4ac=(-1)2-4×3×(-2)=25>0, .方程有两个不相等的实数根， x=1±V25=1±5 2×3 61 2 =3为=1， 救：的值为-子或1 5.(1)证明：x2-(m+4)x+3m+3=0, .a=1,b=-(m+4),c=3m+3, .△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(3m+3)=m2-4m+4= (m-2)2≥0， .不论m取何值，方程总有两个实数根。 (2)解：由(1)得4=(m-2)2, 由一元二次方程的求根公式， 得x=m+4±(m-2) 2 名=m+4+m-2 2 m+1,2=m+4-m-22=3, 2 .不论m取何值，方程有一根为定值，定值为3， 【能力提升综合练】 6.C7.D8.- 2 9.x1=1+3,2=1-3 3 2 10.解：(1)x=2=3 。(2)方程无实数根. (3)x1=x2=-2.(4)y1=2+2,y2=2-2 (5)x1=1+=1-而 2,x2= 2 11.解：(1).：已知方程是关于x的一元二次方程， ∴.m-1≠0，即m≠1. .a=m-1,b=-2m,c=m+1, ∴.b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, ..x= 2m±v4-m±1 2(m-1)m-11=1,2=千1 2 (2)由(1)知名=1，名=m+1=m+2三1+二 m-1= m-1 ·方程的两个根都为正整数， m二1是正整数 2 又：m为整数， ∴.m-1=1或m-1=2,解得m=2或m=3, ∴.当m=2或m=3时，该方程的两个根都为正整数. 【素养探究创新练】 12.(1)证明：因为4=[-(m+1)]2-4×2(m-1)=m2- 6m+9=(m-3)2≥0， 所以无论m取何值，方程总有实数根。 (2)解：①若腰长为4，则x=4是原方程的根。 将x=4代人原方程， 得16-4(m+1)+2(m-1)=0,懈得m=5, 所以原方程为x2-6x+8=0, 解得1=2,2=4， 此时三角形另外两边的长分别为4和2. ②若底边长为4，则原方程有两个相等的实数根， 所以4=(m-3)2=0,所以m=3, 所以原方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2。 由于2+2=4，不符合三角形的三边关系，所以此种情况 不存在. 综上，三角形另外两边的长分别为4和2 25.2.3因式分解法 【知识要点分类练】 1.D2.B3.C4.11 5.解：(1)x(x+55)=0,x=0或x+55=0, 参考答案及解析 1=0,2=-5V5. (2)(3y-4+y)(3y-4-y)=0, .3y-4+y=0或3y-4-y=0, y1=1,y3=2. (3)x2-2x+1=0,(x-1)2=0,.x1=x2=1. (4)(3x+1)(3x+1+1)=0,(3x+1)(3x+2)=0, .3x+1=0或3x+2=0, 1 2 小名=-3为=-3 6.D7.(1)直接开平方(2)配方(3)因式分解 8.解：(1)用直接开平方法，1=12，x2=0. 92=35-2四 (2)用公式法，1-35：2 8 8 (3)用配方法，m1=13,m2=-7. 2 (4)用因式分解法，x1=-3,=3 【能力提升综合练】 9.C10.C11.A 12.2或-号13.-1或414.6 15.解：(1)方程x2-mx+m+1=0的一个根为x=2, .22-2m+m+1=0, ∴.m=5, .一元二次方程为x2-5x+6=0, 解得x=2或x=3, ,m=5,方程的另一根为x=3. (2)当等腰三角形的三边长为2,2,3时，周长为7；当等腰 三角形的三边长为2,3,3时，周长为8. 【素养探究创新练】 16.解：(1)方程x2-x-20=0不是“隔根方程”。 理由如下：x2-x-20=(x-5)(x+4)=0, x-5=0或x+4=0,解得x1=5,x2=-4. 5-（-4)=9≠2， ∴方程x2-x-20=0不是“隔根方程”. (2)x2+(m-1)x-m=0,(x+m)(x-1)=0, x+m=0或x-1=0,解得x1=-m,2=1. 当-m=1+2时，解得m=-3; 当-m+2=1时，解得m=1. 综上所述，m的值为-3或1. 微专题2用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)(x-4)(x+3)=0,.x-4=0或x+3=0, 名1=4，x=-3. (2)(2x-3)(x+2)=0,∴.2x-3=0或x+2=0, 3 六为=2为=-2. (3)方程4x2-8x-5=0可分解为(2x-5)(2x+1)=0, 2x-5=0或2x+1=0,名=3名=-7 专题1一元二次方程的解法 1.解：(1)=号6=-号(2)m=52=-3. 2.解：(1)x1=1+5,x2=1-√5. 2=-1+9=-1- 2 3.解：(1)x(2x+1)-3(2x+1)=0,(2x+1)(x-3)=0, ·3…第2课时 用公式 知识要点分类练学” 知识点用公式法解一元二次方程 1在下列方程中，以=5±25+4c为根的是 A.x2-5x-c=0 B.x2+5x-c=0 C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0 2.用公式法解一个一元二次方程的根为x= -5±3，则此方程的二次项系数、一次项系 6 数、常数项可能为 A.6,5,1 B.3,5,-1 C.3,5,1 D.3,-5,1 3.用公式法解下列方程： (1)x2-3x-2=0; (2)x2-22x+2=0; (3)-3x2+5x+2=0; 第二十五章一元二次方程Y 法解一元二次方程 [答案P2] (4)x2+10=25x. 4.若代数式3x2+1的值与x+3的值相等，求x 的值 5.(江苏连云港期中)已知关于x的方程x2-(m+ 4)x+3m+3=0. （1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)不论m取何值，方程有一根为定值，请求出这 个定值 能力提升综合练单” 6.一元二次方程2x2-2x-1=0的较大实数根在下 列哪两个相邻的整数之间 () A.3和4 B.2和3 C.1和2 D.0和1 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自自 9 Y全程导练·九年级数学（上册）》 7.若一元二次方程x2+bx+4=0的两个实数根中 较小的一个根是m(m≠0)，则b+√仍2-16= () A.m B.-m C.2m D.-2m 8.如图，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正 半轴上，且点A对应的数是2x-1,点B对应的数 是x2+x.已知AB=5,则x的值为 A 0 B 8题图 9定义06=生2%，则方程(2x)-(:2*2) =1的解为 10.用公式法解下列方程： (1)6x2-11x+4=2x-2; (2)(x-1)(x+3)+5=0; (3)x(x+2√2)+2=0； (4)2y(y-1)+3=(y+1)2; (5)(x+2)(2x-3)=3x+2. 10 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 11.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+ m+1=0. (1)求该方程的根； (2)当m为何整数时，该方程的两个根都为正 整数？ 素养探究创新练中” 12.已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0. (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为4，另外两边长恰 好是此方程的根，求此三角形的另外两 边长