第六章几何图形初步单元测试卷 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 人教版七年级数学上册第六章《几何图形初步》能力培优卷，90分钟120分，覆盖立体图形、线段角计算等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，培养几何直观、空间观念与推理意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|立体图形识别（斗笠近似圆锥）、正方体展开图相对面、线段中点计算|结合生活情境（斗笠），考查空间观念与基础概念辨析| |填空题|6/18|线段三等分点（PB长度）、角折叠（折痕与OA夹角）、时钟夹角（1:30）|设置动态问题（折叠），培养几何直观与运算能力| |解答题|6/72|正方体表面爬行最短路径、长方体三视图计算、方位角与行程问题|综合应用（如蚂蚁爬行路径转化平面），体现推理意识与应用意识|

第六章《几何图形初步》单元测试卷（能力培优卷） ［时间：90分钟　　分值：120分］ 人教版七年级数学上册　　 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（　　） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 2．如图，一个正方体的表面展开图为"1-4-1"型：中间一横行从左到右依次标有数字 1、2、3、4，数字 5 所在的面位于数字 2 所在面的正上方，数字 6 所在的面位于数字 3 所在面的正下方。折叠成正方体后，与数字 3 所在面相对的面上的数字是（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 3．如图，已知线段 AB = 12 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC : CB = 2 : 1，点 M 是线段 AB 的中点，则 MC 的长为（　　） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 4．如图，已知 ∠AOB = 80°，∠AOC = 30°（OC 在 ∠AOB 内部），OD 平分 ∠AOB，OE 平分 ∠AOC，则 ∠DOE 的度数为（　　） A．15° B．25° C．40° D．55° 5．已知一个角的余角等于它的补角的 1/3，则这个角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．如图，射线 OA 表示北偏东 30° 方向，射线 OB 表示南偏东 80° 方向，则 ∠AOB 的度数为（　　） A．70° B．90° C．110° D．170° 7．下列说法：①两点之间，线段最短；②射线 AB 与射线 BA 表示同一条射线；③经过两点，有且只有一条直线；④角的两边画得越长，角就越大。其中正确的说法共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．下列说法：①等角的余角相等；②钝角没有补角；③一个角的补角可能小于这个角本身；④互余的两个角一定都是锐角。其中正确的说法共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．已知 ∠α = 48°39′，则 ∠α 的余角为（　　） A．42°21′ B．41°79′ C．41°21′ D．131°21′ 10．用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　） A．等边三角形 B．梯形 C．六边形 D．七边形 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，已知线段 AB = 18 cm，M、N 是线段 AB 的三等分点（AM = MN = NB），点 P 是线段 MN 的中点，则 PB = ______ cm。 12．如图，已知 ∠AOB = 60°，OC 平分 ∠AOB，OD 是 OB 的反向延长线，则 ∠COD = ______°。 13．如图，纸上画有 ∠AOB = 80°，将纸片沿过点 O 的直线 l 折叠，使射线 OA 落在 ∠AOB 内部，记折叠后 OA 的对应射线为 OA′，且 ∠A′OB = 30°，则折痕 l 与 OA 的夹角为 ______°。 14．将正方体的表面沿棱剪开铺平，得到的平面展开图共有 ______ 种不同的形状。 15．从一点 O 引出 n 条射线（任意两条不重合），最多可以构成 ½n(n−1) 个角；若恰好构成 45 个角，则 n = ______。 16．如图，下午 1 时 30 分，时钟的时针与分针的夹角为 ______°。 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 72 分） 17．（本题 10 分）如图，已知线段 AB = 16 cm，点 C 在线段 AB 上运动（不与 A、B 重合），点 M、N 分别是线段 AC、BC 的中点。 （1）当 AC = 6 cm 时，求线段 MN 的长；（4 分） （2）猜想线段 MN 与线段 AB 的数量关系，并说明理由。（6 分） 18．（本题 12 分）如图，已知 ∠AOB = 90°，OC 平分 ∠AOB，OD 平分 ∠BOC，OE 是 OA 的反向延长线。 （1）求 ∠AOC 的度数；（3 分） （2）求 ∠AOD 的度数；（4 分） （3）求 ∠DOE 的度数，并指出 ∠AOD 与 ∠DOE 的数量关系。（5 分） 19．（本题 12 分）一个角的补角比它的余角的 2 倍大 20°，求这个角。 （1）设这个角为 x°，用含 x 的式子表示它的余角与补角；（4 分） （2）列出方程并求这个角的度数，再写出它的余角与补角。（8 分） 20．（本题 12 分）如图，一个正方体的表面展开图为"1-4-1"型：中间一横行从左到右四个面依次标有字母 A、B、C、D，面 E 位于面 B 的正上方，面 F 位于面 C 的正下方，正方体的棱长为 2 cm。 （1）写出折叠成正方体后三组相对的面；（4 分） （2）一只蚂蚁从正方体下底面的一个顶点 P 出发，沿表面爬行到与 P 相对的顶点（上底面上与 P 相对的那个顶点）Q。说明：蚂蚁爬行的最短路径至少要经过两个面，并解释为什么"把经过的面展开成长方形，连接 PQ 的线段"就是最短路径的判断依据；（5 分） （3）将蚂蚁最短路径经过的两个面展开成一个长方形，写出这个长方形的长和宽，并直接写出最短路径的长（提示：两条直角边长分别为 2 cm 和 4 cm 的直角三角形，斜边长为 2√5 cm）。（3 分） 21．（本题 14 分）如图，一个几何体的主视图是长为 8 cm、高为 5 cm 的长方形，左视图是宽为 4 cm、高为 5 cm 的长方形（单位：cm）。 （1）这个几何体是什么几何体？它的俯视图是什么形状？并求俯视图（长方形）的面积；（4 分） （2）求这个几何体的棱长总和；（4 分） （3）求这个几何体的表面积；（3 分） （4）求这个几何体的体积。（3 分） 22．（本题 12 分）如图，港口 O 处，甲、乙、丙三船同时出发：甲船沿北偏东 30° 方向航行，速度为 20 海里/时；乙船沿南偏东 60° 方向航行，速度为 15 海里/时；丙船沿正东方向航行，速度为 12 海里/时。 （1）求甲船航向与乙船航向之间的夹角；（3 分） （2）求甲船航向与丙船航向、乙船航向与丙船航向之间的夹角；（4 分） （3）出发 2 小时后，甲、乙两船分别距港口 O 多少海里？此时以 O、甲、乙为顶点的三角形中，∠O 是多少度？两船相距多少海里？（5 分）（提示：两条直角边分别为 30 海里和 40 海里的直角三角形，斜边长为 50 海里） 参考答案与评分标准 （人教版七年级数学上册　第六章　能力培优卷） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．C　2．A　3．A　4．B　5．B　6．A　7．B　8．C　9．C　10．D 考点与易错提示： 1．用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成圆锥．故选：C． 2．横行四连面"隔一相对"：1 与 3 相对、2 与 4 相对，上下两面 5 与 6 相对，故与 3 相对的是 1。易错：误选 4（相邻面）。 3．AC = 12 × 2/3 = 8 cm，AM = 6 cm，MC = 8 − 6 = 2 cm。易错：误把 CB 当 MC 或漏减中点。 4．∠AOD = 40°，∠AOE = 15°，∠DOE = 40° − 15° = 25°。易错：误用 ∠BOC 角平分线或把 80°−30° 当答案（55°）。 5．(90 − x) = ⅓(180 − x)，解得 x = 45°。易错：把"余角是补角三分之一"与"补角是余角三分之一"混淆。 6．OA 与正北方向成 30°，OB 与正南方向成 80°，两方位角在南北方向线同一侧，∠AOB = 180° − 30° − 80° = 70°。易错：误以为夹角为 90°（错用 30°+60°）或误算 110°。 7．①③正确；射线 AB 与 BA 端点不同，是两条射线；角的大小与两边画出的长短无关。正确 2 个。 8．②错误（钝角有补角，如 120° 的补角是 60°）；①③④正确，共 3 个。③例：120° 的补角 60° 小于 120°。 9．90° − 48°39′ = 89°60′ − 48°39′ = 41°21′。易错：借位错误得 41°79′ 或 42°21′；D 是补角。 10．正方体只有 6 个面，截面边数最多为 6，故七边形不可能。 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．9　12．150　13．25　14．11　15．10　16．135 简要提示： 11．AM = MN = NB = 6 cm，MP = PN = 3 cm，PB = PN + NB = 3 + 6 = 9 cm。 12．∠COB = 30°，∠BOD = 180°（平角），∠COD = 180° − 30° = 150°。 13．∠AOA′ = 80° − 30° = 50°，折痕平分 ∠AOA′，故折痕与 OA 的夹角 = 25°。 14．正方体表面展开图共 11 种（1-4-1 型 6 种、2-3-1 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种）。 15．½n(n−1) = 45，n(n−1) = 90，n = 10。 16．时针每小时转 30°，1.5 小时转 45°；分针指向 6（180°）；夹角 = 180° − 45° = 135°。 三、解答题（共 72 分，分步给分） 17．（10 分） （1）BC = AB − AC = 16 − 6 = 10（cm）。（1 分） M 是 AC 中点：MC = ½AC = 3 cm（1 分）；N 是 BC 中点：CN = ½BC = 5 cm（1 分）； MN = MC + CN = 3 + 5 = 8（cm）。（1 分） （2）猜想：MN = ½AB，为定值 8 cm。（2 分，答出 MN = ½AB 即可） 理由：M 是 AC 中点，MC = ½AC；N 是 BC 中点，CN = ½BC。（2 分，两个中点关系各 1 分） MN = MC + CN = ½AC + ½BC = ½(AC + BC) = ½AB = 8（cm）。（2 分） 可见 MN 的长与点 C 的位置无关，始终为 AB 的一半。 18．（12 分） （1）OC 平分 ∠AOB，∠AOC = ½∠AOB = 45°。（3 分：角平分线定义 2 分，结果 1 分） （2）∠BOC = ∠AOC = 45°；OD 平分 ∠BOC，∠COD = ½∠BOC = 22.5°（2 分）； ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 45° + 22.5° = 67.5°。（2 分） （3）OE 是 OA 的反向延长线，∠AOD + ∠DOE = 180°（平角）（1 分）； ∠DOE = 180° − 67.5° = 112.5°（2 分）；∠AOD 与 ∠DOE 互补（∠AOD + ∠DOE = 180°）。（2 分） 19．（12 分） （1）设这个角为 x°，则它的余角为 (90 − x)°（2 分），补角为 (180 − x)°。（2 分） （2）由"补角比余角的 2 倍大 20°"列方程：180 − x = 2(90 − x) + 20（3 分：正确列出方程得 3 分） 解：180 − x = 200 − 2x，x = 20（3 分：解出 x = 20 得 3 分） 答：这个角是 20°；它的余角为 90° − 20° = 70°，补角为 180° − 20° = 160°。（2 分：余角、补角各 1 分） 验算：70 × 2 + 20 = 160 ✓ 20．（12 分） （1）横行四连面隔一相对：面 A 与面 C 相对（1 分），面 B 与面 D 相对（1 分），上下的面 E 与面 F 相对（1 分）；三组全部正确、书写规范再得 1 分。 （2）点 P 在下底面，点 Q 在上底面且与 P 相对，P、Q 不在同一个面内，所以最短路径至少要经过两个面（如前面和上面，或前面和右面等）。（2 分） 把路径经过的两个面沿公共棱展开成一个平面图形，蚂蚁在立体表面上的爬行路线就变成了平面内的折线；由"两点之间，线段最短"，连接展开后 P、Q 两点的线段即为最短路径。（3 分：说明"展开化为平面"得 2 分，引用"两点之间，线段最短"得 1 分） （3）展开后的长方形：长 = 2 + 2 = 4（cm），宽 = 2 cm（2 分：长、宽各 1 分）； 最短路径的长为 2√5 cm（约 4.5 cm）。（1 分）（说明：沿棱爬行需 6 cm > 2√5 cm，故展开路径更短。） 21．（14 分） （1）由主视图（长 8、高 5）与左视图（宽 4、高 5）可知，这个几何体是长为 8 cm、宽为 4 cm、高为 5 cm 的长方体（1 分）；俯视图是长 8 cm、宽 4 cm 的长方形（1 分）；面积 = 8 × 4 = 32（cm²）。（2 分） （2）棱长总和 = 4 × (8 + 4 + 5) = 4 × 17 = 68（cm）。（4 分：公式"4×（长+宽+高）"得 2 分，结果得 2 分） （3）表面积 = 2 × (8×5 + 8×4 + 4×5) = 2 × (40 + 32 + 20) = 184（cm²）。（3 分：列式 2 分，结果 1 分） （4）体积 = 8 × 4 × 5 = 160（cm³）。（3 分） 22．（12 分） （1）甲船北偏东 30°，与正东方向成 90° − 30° = 60°；乙船南偏东 60°，与正东方向成 90° − 60° = 30°（2 分：两个夹角各 1 分）； 甲、乙航向夹角 = 60° + 30° = 90°。（1 分） （2）由（1）知：甲船航向与丙船（正东）航向的夹角为 60°（2 分）；乙船航向与丙船航向的夹角为 30°。（2 分） （3）2 小时后：甲船距 O = 20 × 2 = 40（海里）（1 分）；乙船距 O = 15 × 2 = 30（海里）（1 分）； ∠O 是甲、乙两船航向的夹角，故 ∠O = 90°（2 分）； 甲、乙两船相距：因为 ∠O = 90°，两直角边为 40 海里和 30 海里，由提示知斜边为 50 海里，即两船相距 50 海里。（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $