3.1.1第1课时椭圆的定义与标准方程课件- 2026-2027学年高二上学期数学苏教版-选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义与标准方程，通过汽车油罐横截面、行星轨道等实际情境导入，衔接圆的定义，以问题引导学生抽象椭圆模型，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学抽象与直观想象，通过“想一想”辨析定义中常数与焦距关系，“通性通法”总结待定系数法等解题策略，典型例题与跟踪训练强化逻辑推理。学生能提升抽象思维与解题能力，教师可借助系统资源高效教学。

3.1.1　椭圆的标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解椭圆的实际背景 数学抽象 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆 的定义及标准方程 直观想象 第1课时　 椭圆的定义与标准方程 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体 中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影（如图）等.我 们已知道，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）椭圆上任意一点的特征是什么？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　（1）你能说说到底什么是椭圆吗？ 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 知识点一　椭圆的定义 平面内到两个定点 F1， F2的 ⁠的点 的轨迹叫作椭圆，两个定点 F1， F2叫作椭圆的 ，两个焦点间 的距离叫作椭圆的 ⁠. 距离之和等于常数（大于 F1 F2）　 焦点　 焦距　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【想一想】 定义中，将“大于 F1 F2”改为“等于 F1 F2”或“小于 F1 F2”的常 数，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：不是.①当2 a ＝ F1 F2时，点的轨迹是线段 F1 F2；②当2 a ＜ F1 F2时，点的轨迹不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ⁠ （ a ＞ b ＞0） ⁠ （ a ＞ b ＞0） ＋ ＝1　 ＋ ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图　形 焦点坐标 （－ c ，0），（ c ，0） （0，－ c ），（0， c ） a ， b ， c 的关系 a2＝ ⁠ b2＋ c2　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【想一想】 1. 从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？ 提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2项和 y2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”. 2. 在椭圆的标准方程中， a ＞ b ＞ c 一定成立吗？ 提示：不一定，只需 a ＞ b ， a ＞ c 即可， b ， c 的大小关系不确定. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足 PF1＋ PF2＝ 4，则点 P 的轨迹是椭圆. （　√　） （2）已知点 F1（－1，0）， F2（1，0），动点 P 满足 PF1＋ PF2＝ 2，则点 P 的轨迹是椭圆. （　×　） （3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝ b2 ＋ c2. （　√　） （4）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲线是椭圆. （　×　） √ × √ × 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知 a ＝ ， c ＝2 ，焦点在 y 轴上，则椭圆的标准方程为 　 ⁠. 解析： b2＝ a2－ c2＝（ ）2－（2 ）2＝1， b ＝1，所以椭圆 的标准方程为 ＋ x2＝1. ＋ x2＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 椭圆 ＋ ＝1的焦距是 ，焦点坐标是 ⁠ ⁠. 解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在 x 轴上，且 a2＝100， b2＝36，所 以 c2＝ a2－ b2＝64，解得 c ＝8.所以焦距2 c ＝16，两焦点的坐标分 别是（－8，0），（8，0）. 16　 （－8，0），（8， 0）　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 椭圆的定义 【例1】　已知椭圆 E ： ＋ ＝1，点 A ， B 在椭圆上且在 x 轴异 侧， F1， F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形 AF1 BF2的周长为 （　　） A. 8 B. 4 C. 3 解析：　由椭圆的定义， AF1＋ AF2＝ BF1＋ BF2＝2 a ＝4，故四边形 AF1 BF2的周长为8.故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若 PF1＋ PF2＝2 a （2 a ＞ F1 F2），则点 P 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 P 到两焦点 的距离之和必为2 a ； （2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因 此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应 先考虑是否能够利用椭圆的定义求解. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 命题甲：动点 P 到两定点 A ， B 的距离之和 PA ＋ PB ＝2 a （ a ＞0， 常数）；命题乙：点 P 轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　利用椭圆的定义，若点 P 轨迹是椭圆，则 PA ＋ PB ＝2 a （ a ＞0，常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若 PA ＋ PB ＝2 a （ a ＞0，常数）不能推出点 P 轨迹是椭圆.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 已知椭圆 ＋ ＝1上一点 P 到其一个焦点的距离为3，则点 P 到另一个焦点的距离为 ⁠. 解析：椭圆 ＋ ＝1，则 a2＝16，所以 a ＝4，根据椭圆的定义可 知椭圆上的点到两焦点的距离之和为2 a ＝8，因为椭圆上点 P 到其 一个焦点的距离为3，则点 P 到另一个焦点的距离为5. 5　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】　（链接教科书第83页例1、例2）求满足下列条件的椭圆的 标准方程： 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （1）两个焦点的坐标分别是 F1（－4，0）， F2（4，0），并且椭圆 上一点 P 到两个焦点的距离之和等于10； 解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）， 由已知得 c ＝4，2 a ＝10， 所以 a ＝5， b ＝ ＝ ＝3， 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）焦点坐标分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3 ）. 解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法一　由椭圆的定义知2 a ＝ ＋ ＝6＋ ＋6－ ＝12， 解得 a ＝6. 又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 . 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二　因为所求椭圆过点（4，3 ）， 所以 ＋ ＝1. 又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32， 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上，还 是两个坐标轴上都有可能； （2）设方程：依据上述判断设出椭圆的方程； （3）寻关系：依据已知条件，建立关于 a ， b ， c 的方程组； （4）得方程：解方程组，将求得的结果代入所设方程即为所求. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 提醒　在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可 设所求椭圆的方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）， 不必考虑焦点位置，用待定系数法求出 A ， B 的值即可. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点（2，－ ）， ； 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：法一　若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 由已知条件得解得 则 a2＜ b2，与题设中 a ＞ b ＞0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 法二　设椭圆的一般方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）. 将两点（2，－ ）， 代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同的焦点. 解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在 y 轴 上，且 c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16.　① 又点（ ，－ ）在椭圆上， 所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1.　② 由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 与椭圆有关的轨迹问题 【例3】　（链接教科书第87页习题10题）已知圆 F1：（ x ＋2）2＋ y2 ＝4，圆 F2：（ x －2）2＋ y2＝36，若动圆 M 与圆 F1外切，与圆 F2内 切，求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：设动圆 M 的半径为 r ， ∵动圆 M 与圆 F1外切，与圆 F2内切， ∴ MF1＝2＋ r ，且 MF2＝6－ r ，于是 MF1＋ MF2＝8＞ F1 F2＝4， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 F1， F2为焦点的椭圆， 故 a ＝4， c ＝2，∴ b2＝12，椭圆方程为 ＋ ＝1， 又∵当 M 点为椭圆左顶点时，动圆 M 不存在，故不合题意，舍去， 故动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1（ x ≠－4）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 求椭圆轨迹方程的常用方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆 等）的定义，则可用定义法直接求解； （2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列 出等式后化简，得出动点的轨迹方程； （3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨 迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知 P 是椭圆 ＋ ＝1上一动点， O 为坐标原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为 ⁠. 解析：设 P （ xP ， yP ）， Q （ x ， y ）.由中点坐标公式得所 以又点 P 在椭圆 ＋ ＝1上，所以 ＋ ＝ 1，即 x2＋ ＝1. x2＋ ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 椭圆 ＋ ＝1的焦点坐标是（　　） A. （±5，0） B. （0，±5） C. （0，±12） D. （±12，0） 解析：　∵ c2＝ a2－ b2＝169－25＝122，∴ c ＝12.又椭圆的焦点 在 y 轴上，故焦点坐标为（0，±12）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 到两定点 F1（－2，0）和 F2（2，0）的距离之和为4的点 M 的轨迹 是（　　） A. 椭圆 B. 线段 C. 圆 D. 以上都不对 解析：　 MF1＋ MF2＝ F1 F2＝4，∴点 M 的轨迹为线段 F1 F2. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 在椭圆 ＋ y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点 F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点 F1，再次被椭圆反射后又回到 F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为 ⁠. 解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4 a ，即4 . 4 　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）； 解：∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. ∵椭圆经过点（2，0）和点（0，1）， ∴解得∴椭圆的标准方程为 ＋ y2＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）椭圆的焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P （0，－10）， 点 P 到离它较近的一个焦点的距离等于2. 解：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. ∵点 P （0，－10）在椭圆上， ∴ ＝1，∴ a2＝100. ∵点 P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－ c －（－10）＝2， ∴ c ＝8，∴ b2＝ a2－ c2＝36. ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $