3.1.2 椭圆的几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，系统梳理椭圆的范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等几何性质，衔接椭圆标准方程，延伸至利用性质求方程、离心率，进而探究直线与椭圆的位置判断、弦长计算及中点弦问题，构建递进式学习支架。 以神舟十九号轨道实例导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过思考问题自主推导性质培养数学思维，结合分层例题与检测（基础到素养）助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升综合应用能力。

3.1.2 椭圆的几何性质 新课导入 很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟十九号在进入太空后,先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么在椭圆轨道中，近地点高度、远地点高度是如何计算的呢?首先,我们要认识椭圆的一些几何性质. 学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中，，的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 3.掌握并会判断直线与椭圆的位置关系. 4.会解决弦长与中点弦问题. 5.能解决与直线和椭圆位置关系有关的综合问题. 第1课时 椭圆的简单几何性质 新知学习 探究 一 椭圆的几何性质 思考1．根据方程画出椭圆，你能确定椭圆的边界吗? 提示 由方程 得,得，同理可得，故椭圆位于 和 围成的矩形内. 思考2．根据上面所画的图形，椭圆具有怎样的对称性?如何用方程加以说明? 提示 既关于坐标轴轴对称,又关于原点中心对称.若 满足方程,则易知,,也满足方程. 思考3．根据上面所画的图形，椭圆中有哪些特殊点?坐标是什么? 提示 令,则;令，则.故,为特殊点. ［知识梳理］ 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ② _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 顶点 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ④ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 轴长 短轴长为⑤ _ _ _ _ _ _ ,长轴长为⑥_ _ _ _ _ _ 焦点 ⑦ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 焦距 ⑨ _ _ _ _ _ _ 对称性 对称轴：⑩ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,对称中心：⑪ _ _ 离心率 ⑫ _ _ _ _ _ _ 【答案】 且； 且； ,,,； ,,,； ； ； ,； ,； ； 轴和 轴； 原点； ［例1］ （对接教材例1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它的草图. 【解】 将 化为标准方程为，所以，，则，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为，顶点坐标为,,,，焦点坐标为 和，离心率为，椭圆的草图如图. 用标准方程研究几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置； （3）求出,,； （4）写出椭圆的几何性质. 注意 长轴长、短轴长、焦距不是,,,应是,,. ［跟踪训练1］． （1） [（2025·佛山月考）]（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为5 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的取值范围为 （2） 若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为_ _ _ _ ，焦点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） BD （2） 9； 【解析】 （1） 选.由椭圆方程知,,，所以椭圆的长轴长为，焦距，离心率，，错误，正确； 椭圆中，点 在 上且不在 轴上，所以，正确. （2） 若，则，得（舍去）；若，则，解得 或（舍去），所以，所以焦点坐标为. 二 利用几何性质求椭圆的标准方程 ［例2］ 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1） 一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； （2） 经过点，离心率为，焦点在轴上； （3） 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【答案】 （1） 【解】根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设得 解得 故椭圆的标准方程为. （2） 根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题得 解得 故椭圆的标准方程为. （3） 设椭圆标准方程为， 如图所示，为等腰直角三角形，为斜边 上的中线，且，， 又因为焦距为6，所以， 则由椭圆的几何性质得， 所以椭圆的标准方程为. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有,等. ［跟踪训练2］．求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1） 经过点，； （2） 焦点在轴上，短轴长为12，离心率为. 【答案】 （1） 解：由题意可得椭圆焦点在 轴上，且,， 故椭圆的标准方程为. （2） 设椭圆的标准方程为，由题意得,，得，而， 解得,， 故椭圆的标准方程为. 三 椭圆的离心率及范围 ［例3］ 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，， ，则的离心率为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】方法一:由题意可设，结合条件可知，，故离心率. 方法二：由 可知 点的横坐标为，将 代入椭圆方程，解得，所以.又由 可得，故，变形可得，等式两边同除以，得，解得 或（舍去）. 母题探究．若将本例中“， ”改为“为钝角”，求的离心率的取值范围. 解：由题意知以 为直径的圆与椭圆有四个交点，故，所以.又，所以，即.所以，又，所以，所以 的离心率的取值范围为，. 求椭圆离心率的值或范围的方法 （1）直接法：若已知，可直接利用求解；若已知，或，可借助于求出或，再代入公式求解. （2）方程、不等式（组）法：若，的值不可求，则可根据条件建立，，的关系式，借助于，转化为关于，的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幂，得到关于的方程或不等式，即可求得的值或范围. ［跟踪训练3］． （1） 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. （2） 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点，使 ，则椭圆的离心率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （1） 选.设椭圆的焦距为，则,， 因为直线 的斜率， 由题意可得， 则，解得，所以椭圆的离心率为. （2） 设，，则， ， 即， ，即，当且仅当 时，等号成立， 故， 即，又，所以. 课堂巩固 自测 1．焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意知，,,则,得, 所以椭圆的标准方程为. 2．[（2025·太原期中）]（多选）已知椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【解析】选.由椭圆，可知椭圆的焦点在 轴上，且,,，椭圆的四个顶点分别为,,,，焦点分别为,，椭圆的短轴长为，离心率为，故 错误，,,均正确. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.不妨设椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在 中，， ， ， 所以， 即椭圆的离心率. 4．（教材P92练习T3改编）比较椭圆与的形状，则_ _ _ _ 更扁.（填序号） 【答案】① 【解析】把 化为标准形式，离心率，又 的离心率，则，故①更扁. 1.已学习：椭圆的简单几何性质． 2.须贯通：（1）根据几何性质求椭圆方程的方法. （2）求离心率的常用方法：直接法，方程（不等式）法. 3.应注意：焦点的位置对椭圆性质的影响；椭圆离心率的范围为. 课后达标 检测 A 基础达标 1．若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是4，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意，椭圆焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为，则 可得 所以该椭圆的标准方程为. 2．若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆的短轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】选.由题知 则，故，所以短轴长为. 3．已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两端点连线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.椭圆长轴的两端点为,， 设，则由题设可得,即，又, 故，故, 即，故. 4．[（2025·南通期末）]已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选.当 时，可得，此时椭圆的离心率为，由，可得，解得； 当 时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得， 解得， 即 可推出椭圆 的离心率为，反之则推不出，所以“”是“椭圆 的离心率为”的充分不必要条件. 5．[（2025·常州期中）]（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且，，三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选.由题设，，,所以，，,故，正确，错误；而，故 正确. 6．（多选）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，短轴长为2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 椭圆的离心率为 C. D. 【答案】ABC 【解析】选.对于椭圆，由已知可得 则,，, 对于，因为椭圆的焦点在 轴上，故椭圆 的方程为，故 正确； 对于，椭圆的离心率为，故 正确； 对于，设点 为椭圆的左焦点，易知点，将 代入椭圆方程可得，故，故 正确； 对于，，故，故 错误. 7．已知是椭圆上一点，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设, 所以 , 由于，故当 时，取最小值. 8．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意可得，则， 因为椭圆方程为，即，且焦点在 轴上，则,，可得，解得. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为,，若上存在一点，使线段的中垂线过点，则的离心率的最小值是_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设椭圆 的半焦距为， 由题意可知， 根据存在性，结合椭圆性质可知，解得， 可得 的离心率,，所以 的离心率的最小值是. 10．（13分）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1） 离心率为，短轴长为；（6分） （2） 与有相同的焦点，且长轴长为4.（7分） 【答案】 （1） 解：由题得 解得 所以椭圆的标准方程为 或. （2） 由椭圆 得，故该椭圆的焦点坐标为， 又,所以,故. 所以椭圆的标准方程为. B 能力提升 11．[（2025·无锡期中）]如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当，各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.由题意知 与 的长度不变， 已知，设,，则， 当 滑动到 位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长， 又由已知可得，当 在右顶点时，恰好在 点，则长半轴长. 所以, 故椭圆 的离心率为. 12．（多选）已知椭圆的焦点为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为8 C. 椭圆的离心率为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】选.由题意可知，，， 故 为等边三角形，则，，又， 所以，，， 所以焦距，正确； 离心率，错误； 由椭圆定义可知，的周长为，正确； 设，则，又，由余弦定理可得，解得， 所以，正确. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为，则椭圆的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】令点 的纵坐标为，则，的周长为，依题意，， 解得，因此， 即， 而，则， 解得，即，所以椭圆 的离心率的取值范围是，. 14．（15分）设椭圆的左、右焦点是,，离心率为，上顶点坐标为. （1） 求椭圆的方程；（5分） （2） 设为椭圆上一点，且 ，求的周长和面积.（10分） 【答案】 （1） 解：由题意知 解得，所以椭圆的方程为. （2） 由（1）知， 所以， 又因为 为椭圆 上一点，所以，所以 的周长. 在 中，由余弦定理得 ， 即,① 由，得，② ，整理得， 所以 的面积 或. C 素养拓展 15．[（2025·天津期中）]（15分）已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，点为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为椭圆短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率. （1） 求椭圆的标准方程；（3分） （2） 试判断椭圆是否是“圆椭圆”?并证明你的结论；（5分） （3） 点为点关于原点的对称点，点也异于点，直线，分别与轴交于，两点，试问以线段为直径的圆是否过定点?证明你的结论.（7分） 【答案】 （1） 解：由，椭圆 的离心率，得，解得， 所以椭圆 的标准方程为. （2） 椭圆 是“圆椭圆”，证明如下： 由（1）知，，设，，则， 于是 ， 而，因此当且仅当 时，，此时点， 即 点到 点距离的最大值仅在 点为椭圆短轴的另一端点时取到，所以椭圆 是“圆椭圆”. （3） 以线段 为直径的圆过定点，证明如下： 由（2）知，，，，则，， 直线， , 则,，,, 若以线段 为直径的圆过定点，由对称性知点 在 轴上，设，则,，,, 于是， 即， 解得，所以以线段 为直径的圆过定点. 第2课时 直线与椭圆的位置关系 新知学习 探究 一 直线与椭圆的位置关系 ［知识梳理］ 直线与椭圆的位置关系的判断方法：联立消去得到一个关于的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、直线与椭圆公共点的个数、对应一元二次方程解的个数及 的取值的关系如表所示： 直线与椭圆位置关系 直线与椭圆公共点的个数 解的个数 的取值 相交 两个不同的公共点 ①_ _ 个 ②_ _ 0 相切 一个公共点 ③_ _ 个 ④_ _ 0 相离 没有公共点 ⑤_ _ 个 ⑥_ _ 0 【答案】2； ； 1； =； 0； ［例1］ 已知直线,椭圆.试问当取何值时,直线与椭圆 （1） 有两个不同的公共点? （2） 有且只有一个公共点? 【答案】 ［例1］ 【解】 将直线 的方程与椭圆 的方程联立,得 消去 整理得.① 方程①的根的判别式. （1） 当,即 时, 方程①有两个不相等的实数根, 即直线 与椭圆 有两个不同的公共点. （2） 当,即 时, 方程①有两个相等的实数根, 即直线 与椭圆 有且只有一个公共点. 判断直线与椭圆的位置关系的方法 （1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. （2）对于过定点的直线，可以通过定点在椭圆内、在椭圆上或在椭圆外判定直线和椭圆的位置关系. ［跟踪训练1］． （1） 直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 （2） [（2025·杭州期中）]若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） , 【解析】 （1） 选.方法一:联立 消除 得， 则， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交.故选. 方法二：直线 过点，因为，点 在椭圆内部，故直线 与椭圆 相交. （2） 动直线 即，易知动直线过定点，若动直线 始终与椭圆 有公共点， 则 解得 且，所以 的取值范围是,. 二 椭圆的弦长及中点弦问题 ［例2］ 已知椭圆的短半轴长为3，离心率为. （1） 求椭圆的方程； （2） 过的直线交椭圆于,两点，且为的中点，求弦的长度. 【答案】 （1） 【解】由题意可得 且，即， 因为，可得， 解得，所以， 所以椭圆 的方程为. （2） 设,，因为 为 的中点，可得,，则 两式相减得， 即， 即， 所以直线 的方程为，即， 联立方程组 整理得，可得,， 则 . （1）直线与椭圆相交弦长的求法 ①直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长. ②利用弦长的公式：设直线的斜率为,方程为,设端点,， 则 . （2）解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知,是椭圆上的两个不同的点,是线段的中点,则 由,得,变形得 ,即. ［跟踪训练2］． （1） 已知直线与椭圆相交于,两点，若中点的横坐标为1，则（ ） A. B. C. D. 1 （2） 已知斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.设,, 把 代入 得， ，因为 中点的横坐标为1， 所以，解得.故选. （2） 设直线，直线 与椭圆的交点为,，联立 消去 得，则，解得，可得，，由题意可得，解得， 所以直线 的方程为. 三 与椭圆有关的最值或范围问题 ［例3］ 已知直线交椭圆于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值. 【解】 由 解得 或 因此. 设直线 的方程为，设，. 由 得. ，故. 又，的交点在，之间， 故. 因为直线 的斜率为1， ，， 所以. 又四边形 的面积 ， 当 时，取得最大值，最大值为， 所以四边形 面积的最大值为. 与椭圆有关的最值问题的求解方法 求解与椭圆有关的最值问题时，一般先根据条件列出所求目标函数的解析式,然后根据函数关系式的特征可化为（1）二次函数的最值问题求解；（2）基本不等式的最值问题求解；（3）三角函数的最值问题求解. ［跟踪训练3］． （1） 已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. （2） 若点和点分别为椭圆的两个焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】（1） B （2） A 【解析】 （1） 选.直线 恒过定点，且点 在椭圆上， 设直线与椭圆另外一个交点为，所以，则，弦长为 ， 当 时，弦长最大，最大值为. （2） 选.由已知设,,，且， 则，代入 得， 因为， 所以， 即 的最小值为4. 课堂巩固 自测 1．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】选.由 消去 并整理得，显然， 因此方程组 有两个不同的解，所以 与 相交. 2．（多选）已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆截得的弦长与被椭圆截得的弦长一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.直线 过定点, 对于，,即,过定点,两直线不关于 轴、轴、原点对称，故被椭圆 所截得的弦长不可能相等，故 错误； 对于，,即,两直线关于 轴对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确； 对于，，即,两直线关于 轴对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确； 对于，,即,两直线关于原点对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故 正确. 3．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上异于，的一点，直线，与直线分别交于，两点，则的最小值为_ _ _ _ . 【答案】6 【解析】设， 则， 由椭圆方程可知， 故顶点，， 则直线 和直线 的斜率之积， 设直线 的方程为， 则与 的交点， 设直线 的方程为， 则与 的交点,， 所以，当且仅当,即 时，等号成立，所以 的最小值为6. 4．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 的中点坐标为， 则， 设，，则，， 相减得到，， 即，， 又，，解得，，椭圆的方程为. 1.已学习：直线与椭圆的位置关系. 2.须贯通：三种方法：（1）设而不求法.（2）公式法求弦长.（3）点差法. 3.应注意：直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程，避免所求值无意义. 课后达标 检测 A 基础达标 1．直线与椭圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与，取值有关 【答案】C 【解析】选.因为直线 过点,，而,为椭圆 的右顶点和上顶点，故直线 与椭圆 相交. 2．已知过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于，两点，且，则这样的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】选.由题易知，左焦点坐标为，若直线垂直于 轴，则直线为，代入椭圆方程得，可得，此时，所以由椭圆性质知，过左焦点使 的直线有且仅有一条. 3．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】选 表示椭圆，故可得 且，又直线 过定点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故.综上所述，且. 4．[（2025·铜川期中）]已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可得 为等腰直角三角形，且 为 中点， 所以，由题意可得，所以， 解得，所以，所以， 所以， 解得 舍去. 5．已知直线与椭圆相交于,两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选.设，, 由题可知，，， 则 所以， 即，解得， 所以，则， 所以. 6．（多选）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，且与在第四象限交于点,的左、右焦点分别为，,则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为 C. 以为直径的圆过点 D. 【答案】BC 【解析】选.由题意可知 为椭圆 的上顶点，如图， 对于，直线 经过 的右焦点 和上顶点， 所以,，则，所以 的离心率为，错误； 对于，由椭圆的定义可知，的周长为，正确； 对于，由 中分析可得，，所以，所以 ，则以 为直径的圆过点，正确； 对于，由 中分析可知 的方程为， 由 解得 或 则,，, 所以，错误. 7．如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长为，则这个椭圆的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设椭圆的标准方程为， 由题知 解得 则所求椭圆的标准方程为. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】设点 关于直线 的对称点为，则， 因为,所以，所以，即，又，所以椭圆 的离心率 的取值范围是，. 9．已知椭圆,且，直线与椭圆相交于,两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设，，因为,在椭圆 上， 所以 两式相减得， 即. 因为点 是线段 的中点，所以，. 所以， 又直线 的斜率为，则, 解得. 当 时，椭圆方程为，可得，所以. 10．[（2025·北京期中）]（13分）已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，. （1） 若中点的纵坐标为，求直线的方程；（6分） （2） 若，求的值.（7分） 【答案】 （1） 解：根据题意可得直线 的斜率存在且不为0，故可设直线 的方程为， 设,，的中点为，如图， 联立 整理可得， ， 解得 或， 则， 由 中点的纵坐标为， 可得， 解得 或（舍去）， 因此直线 的方程为. （2） 由（1）可得 ， 又，可得， 整理可得， 解得（负值已舍去），即，满足题意， 因此直线 的方程为， 即， 可得. B 能力提升 11．（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别为，，，且，，均不为0，为坐标原点，则（ ） A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 直线与直线的斜率之积为 D. 若直线，，的斜率之和为1，则的值为 【答案】CD 【解析】选. 椭圆 的离心率为， 因为，所以，即，则 错误； 设，,,,则，, 两式相减可得，所以，则 错误； 同理可知,,则 正确； 又，则 正确. 12．已知实数，满足，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】因为，所以，， 根据数形结合，，，可看作是椭圆 的一半，如图， 又 等价于过点 和点 的直线斜率，由图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值. 设切线为， 联立 消去 得， 令， 解得， 所以，即 的取值范围是,. 13．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]（13分）已知和为椭圆上两点. （1） 求的离心率;（5分） （2） 若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程．（8分） 【答案】 （1） 解：由题知 解得 所以,所以 的离心率. （2） , 设点 到直线 的距离为，则 的面积为，解得. 易知直线，设， 则 解得 或 所以 或， 故 的方程为 或. 14．[（2025·常州期中）]（15分）已知椭圆与直线交于点，,点为中点，为坐标原点. （1） 若过椭圆的一个顶点和一个焦点. ① 求椭圆的方程；（3分） ② 求的坐标.（5分） （2） 若椭圆的离心率为，以为直径的圆过原点，求椭圆的方程.（7分） 【答案】 ① 解：因为直线 与坐标轴交于，，又椭圆的焦点在 轴上， 所以，,所以, 所以椭圆 的方程为. ② 联立 消去 得，解得 或，不妨令，的坐标分别为，,， 所以 的坐标为,. （2） 由题意得，，解得，所以， 所以椭圆的方程可变为， 联立 消去 得， 设，， 因为直线 与椭圆有两个交点，， 所以，得，且，， 因为以 为直径的圆过原点， 所以， 所以， 所以 ，即， 解得，符合， 所以椭圆 的方程为. C 素养拓展 15．[（2025·河南期中）]已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆, 的离心率为，点，，，分别为蒙日圆与坐标轴的交点，，，，分别与 相切于点，，，，则四边形与四边形的面积的比值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意得蒙日圆 为， 则，， 直线 的方程为， 联立 得， ， 解得，， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $