21.4《三角形的中位线》课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线的定义与定理，通过旧知回顾中点、中线知识，提出连接两边中点的线段问题，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其亮点在于设计剪拼、旋转等动手活动，结合网页演示，发展几何直观与空间观念，定理证明体现转化思想与推理能力，例题练习规范几何语言表达。学生能提升探究与逻辑推理能力，教师可依托结构化流程与多样化活动优化教学。

第二十一章 四边形 冀教版 数学 八年级下册 21.4 三角形的中位线 1 学习目标 1. 理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理，并能运用定理解决简单的几何问题，发展逻辑推理能力和创新思维. 2. 经历三角形中位线定理的探究过程，体会转化思想在几何证明中的应用，学会将三角形问题转化为平行四边形问题来解决，提升分析问题和解决问题的能力. 3. 在探究和应用三角形中位线定理的过程中，感受数学与生活的密切联系，培养学习数学的兴趣和信心. 2 情境导入 A B C D E 3 旧知回顾 三角形的中点 将一条边分成相等两段的点. 数学语言表达：点M是线段AB的中点， AM = MB = AB. A B C M 4 旧知回顾 三角形的中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段. 数学语言表达：点N是线段BC的中 点(BN=NC)， AN连接顶点A和对边BC的中点N. A B C N 如果连接三角形两边的中点，会得到什么样的线段？它与第三边会有什么关系？ 5 新知探究 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， 连接DE. 像DE这样， 连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线. A B C D E 6 新知探究 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ 问题2 三角形的中位线和中线有什么区别？ A B C D E F 有三条，如图， △ABC的中位线是DE，DF，EF. 中位线是连接三角形两边中点的线段 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 7 新知探究 活动探究一 请同学们拿出任意三角形纸片，画出三条边的中点，连接中点得到三条线段 思考：① 这些线段叫什么？ ② 沿这些线段把三角形剪成四个小三角形，叠在一起能完全重合吗？ ③三角形的中位线DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系 解：线段DE、DF、EF叫△ABC的中位线 四个小三角形叠在一起能完全重合 DE和BC从位置上来看DE//BC， 从数量上来看DE长度是BC长度的一半 新知探究 活动探究二 如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 绕点E 旋转 180°，使点A 和点C 重合，点D 落在点F 处. 思考：① 四边形DBCF 是平行四边形吗? ② DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系? 解：四边形DBCF 是平行四边形 DE和BC从位置上来看DE//BC， 从数量上来看DE长度是BC长度的一半 这两个活动都得到三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 该怎么用严谨的数学说理来证明这个结论呢 新知探究 观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 探究 A B C D E 3.85cm 7.7cm 54° 54° DE=3.85cm BC=7.7cm ∠ADE=54° ∠ABC=54° 10 新知探究 观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 探究 A B C D E 猜想：① ∠ADE= ∠ABC ， 同位角相等，DE∥BC. 猜想： ② DE= BC. 下面证明我们的猜想. 11 新知探究 A B C D E 如图，DE分别是△ABC的边AB、AC的中点， 求证：DE∥BC，DE= BC. 分析：要证明DE∥BC，DE= BC，通过构造平行四边形转化问题： ①如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF； ②由AE=EC，DE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形ADCF是平行四边形； F 12 新知探究 如图，DE分别是△ABC的边AB、AC的中点， 求证：DE∥BC，DE= BC. ③由ADCF是平行四边形，得CF DA ； 又D是AB中点，DA=BD，因此CF BD ； ④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形BDFC是平行四边形； ⑤由BDFC是平行四边形，得DF BC； 结合DE= ​DF，得证DE∥BC，DE= ​BC. A B C D E F 13 新知探究 如图，DE分别是△ABC的边AB、AC的中点， 求证：DE∥BC，DE= BC. A B C D E F 证明：∵AE=EC， DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形. ∴CF DA. 又 D是AB的中点， ∴CF BD. ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF BC. 又DE= DF， ∴ DE//BC，且DE= BC. 14 新知探究 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中位线定理 几何语言： 在△ABC中， ∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，且DE= BC. A B C D E 三角形中位线定理.html 按住Ctrl点击链接进入网页演示 15 新知探究 提示：1.中位线DE，EF，DF把△ABC分成四个全等的三角形； 2.有三组共边的平行四边形： 四边形ADFE和四边形BDEF， 四边形BFED和四边形CFDE， 四边形ADFE和四边形DFCE. 3. 顶点是中点的三角形，称为中点三角形； 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半. 面积等于原三角形面积的四分之一. A B C D E F 16 即学即练 方法技巧 先判定四边形形状，再用中位线定理求边长，最后计算周长， 利用中位线定理的 “平行” 结论，证明两组对边分别平行，直接判定四边形DECF是平行四边形 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点， AC=12，BC=16.求四边形DECF 的周长. 解：DE，DF分别是△ABC的中位线 DE//AC，DF//BC 四边形DECF是平行四边形 ， 四边形DECF的周长 典例分析 例1 已知:如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，P 为对角线BD的中点，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点. 求证:△PMN 是等腰三角形 证明:在中, ， 分别为， 的中点, . 同理 . 又， . 是等腰三角形. 即学即练 方法技巧 连接三角形三边中点所构成的新三角形（中点三角形），其周长是原三角形周长的一半 当题目出现 “连接三角形各边中点构成新三角形” 时，直接用中点三角形周长 = 原三角形周长 ÷ 2，无需分步计算每条边 三角形三边的长分别为5，9，12，求连接各边中点所构成的三角形的周长. 解：连接各边中点形成的三角形的三条边是原三角形的三条中位线. 根据三角形中位线等于第三边的一半 可得三条边的长为2.5，4.5，6 三角形周长=2.5+4.5+6=13 即学即练 方法技巧 看到 “中位线 + 角平分线”，优先考虑构造等腰三角形； 利用平行线的内错角相等，将角平分线的 “角相等” 转化为 “边相等” 如图,EF 为△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC，交EF 于点D，AB=4，BC=6.求DF 的长. 解：EF 是 △ABC 的中位线， EF//BC，且 ， E 是 AB 的中点， BD 平分 ∠ABC， ∠EBD=∠CBD。 EF//BC ∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∠EBD=∠EDB △EBD 为等腰三角形， ED=BE=2 EF=3，ED=2 DF=EF−ED=3−2=1 课堂练习 1. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，作BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，EF＝1，则BC的长为（　C　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 C 解：DE是△ABC的中位线， DE//BC 又BF平分∠ABC ∠DBF=∠DFB DB=DF DE=DF+EF=5+1=6 BC=2×6=12 课堂练习 2. 如图，每个小正方形的边长都为1，在△ABC中，点A，B，C都在格点上，D，E分别是AB，AC的中点，则线段DE的长为（　D　） A. B. C. 5 D. D 解：DE是△ABC的中位线 根据图可得 课堂练习 3. 如图，O为四边形ABCD内一点，E，F，G，H分别为OA，OB， OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（　A　） A. 36 B. 48 C. 72 D. 不能确定 A 解：由图得EF为△ABO的中位线 所以 同理可得FG=10，HG=12，EH=8 四边形EFGH的周长 课堂练习 4. 如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF. 若EF＝2，则AD的长为 ⁠. 4　 解：EF是△BCD的中位线 又BD是△ABC的中线 课堂练习 5. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是 边BC上的高，连接DE，DH，FE，FH. 求证： （1） 四边形ADEF是平行四边形； 解：（1） ∵ D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴ DE，EF都是△ABC的中位线. ∴ DE//AC，EF∥AB. ∴ 四边形ADEF是平行四边形 （2） ∠DEF＝∠DHF. （2） ∵ 四边形ADEF是平行四边形， ∴ ∠DEF＝∠DAF. ∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴ 易得DH＝ AB＝AD，FH＝ AC＝AF. ∴ ∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA. ∵ ∠DAH＋∠FAH＝∠DAF，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF ∴ ∠DAF＝∠DHF. ∴ ∠DEF＝∠DHF 典例解析 例 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行相边形. 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. A H D C G E B F 26 典例解析 A H D C G E B F 证明：连接AC. ∵AH= HD，CG=GD， ∴ HG// AC， 且HG= AC. 同理 EF∥AC，且EF= AC. ∴HG EF. ∴四边形EFGH是平行四边形. 27 随堂演练 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点. 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画出3个. 分别为□ BDFE， □ DECF， □ DEFA. 理由如下： 由三角形的中位线定理可得 DF//BC，DE//AC，EF / AB. ∴四边形BDFE，四边形DECF，四边形DEFA均为平行四边形. A B C D F E 28 随堂演练 2.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，且F，G分别是OB，OC的中点. 求证：四边形DEFG是平行四边形. 证明：∵BD和CE △ABC的两条中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ DE= BC，DE // BC. ∵ F，G分别是OB，OC的中点， ∴ FG是△OBC的中位线， ∴ FG= BC， FG // BC， ∴DE=FG，DE //FG，∴四边形DEFG是平行四边形. A E D C B F G O 29 随堂演练 3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离? A C B 解：分别取CA和CB的中点M，N，连接MN， 然后测出MN的长度， 则AB =2MN. M N 30 随堂演练 4.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN⊥BN于N点，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的长. A B D C M N 解：延长BN交AC于D. ∵AN⊥BN ∴∠BNA= ∠DNA=90° ∵ ∠BAN=∠DAN，AN=AN ∴ △ABN≌△ADN (ASA) ∴ AB=AD=12， BN=DN 31 随堂演练 4.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN⊥BN于N点，AN平分∠BAC， 且AB=12， AC=16， 求MN的长. A B D C M N 又∵ M是BC的中点 ∴ MN是△BCD的中位线， 且CD=AC-AD=16-12=4 ∴ MN= CD=2. 32 课程小结 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段. 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何语言：在△ABC中， ∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，且DE= BC. A B C D E 33 null 6582.875 null 10475.094 null 8803.281 null 6452.262 $