21.5 矩形（第2课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.5 矩形 （第二课时） 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握矩形的两个判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理进行几何证明与判断 经历矩形判定定理的探究、猜想与证明过程，体会逆向思维、转化与化归、类比的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会矩形判定在实际问题中的应用价值 知识回顾 1. 有一个角是 的平行四边形叫做矩形. 2. 矩形既是 对称图形，也是 对称图形，对称中心是矩 形两条 的交点，对称轴是过矩形对边 的两条直线. 3. 矩形的四个内角都是 ；矩形的两条对角线 ⁠. 直角　 中心　 轴　 对角线　 中点　 直角　 相等　 情景导入 问题 如何利用矩形的定义来判定一个四边形是矩形？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 判断有一个直角 证明四边形是平行四边形 注意事项： 核心逻辑为“平行四边形 + 一个直角 = 矩形” 先证平行四边形，再证其中一个角位直角 当题目中明确给出 “平行四边形” 时，优先用定义法，只需证一个直角即可，步骤更简洁 新知探究 我们已经知道，矩形的四个角都是直角. 反过来，一个四边形有几个角是直角，就能判定它是矩形呢？ 观察下列图形，说说你的看法. 从前两个图中可以看出来，当四边形有一个或两个直角时，不能判定四边形是矩形 第三幅图告诉我们，当四边形中有三个直角时，就可以判定四边形是矩形 探究一 新知探究 证明 如图：已知∠A=∠B=∠C=90°，求证四边形ABCD是矩形. A B C D 证明 又 四边形ABCD为平行四边形 又 四边形ABCD为矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 新知探究 矩形的判定定理一 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 四边形ABCD是矩形 A B C D 注意事项： 必须是三个角为直角，仅一个直角无法判定(如直角梯形) 明确 “互相平分” 的含义 出现多个直角时，优先考虑用此定理判定矩形 新知探究 探究二 矩形的对角线相等.那么，对角线相等的平行四边形是矩形吗? 已知:如图，在▱ABCD 中，AC=BD. 求证:▱ABCD 是矩形. 证明:四边形ABCD 是平行四边形 AD//BC，AD=BC 在△ABD 和△BAC 中 AD=BC，AB=BA，BD=AC △ABD△BAC ∠DAB=∠CBA 又 AD//BC ∠DAB+∠CBA=180° ∠DAB=∠CBA=90° ▱ABCD 是矩形 新知探究 矩形的判定定理二 对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形且AC=BD 四边形ABCD是矩形 注意事项： 必须同时满足两个条件：四边形是平行四边形，且对角线相等，缺一不可。 不能说 “对角线相等的四边形是矩形”，等腰梯形对角线也相等，但不是矩形。 适用场景：已知或易证平行四边形时，用此定理比证直角更快捷。 典例分析 例1 已知:如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA， OB，OC，OD 的中点. 求证:四边形EFGH 是矩形. 证明: 四边形ABCD 是矩形, AC=BD，且OA=OC，OB=OD. OA=OC=OB=OD. 又 E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点, OE=OG=OF=OH. 四边形EFGH 是平行四边形. 又 EG=OE+OG=OF+OH=HF, 四边形EFGH 是矩形. 矩形 ABCD 中，对角线相等且互相平分，因此 OA=OB=OC=OD； E、F、G、H 是各对角线中点，因此 OE=OF=OG=OH； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 EFGH 是平行四边形； 对角线 EG=OE+OG，HF=OF+OH，可得 EG=HF，因此 EFGH 是矩形。 典例分析 变式 已知:如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H 分别为OA， OB，OC，OD 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形. A B C D E F G H O 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。 又 E、F、G、H 分别为 OA、OB、OC、OD 的中点， OE=OG，OF=OH。 四边形 EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 即学即练 方法技巧 矩形的判定分两类，都有严格的前提条件： 基于平行四边形：平行四边形 + 一个直角 / 对角线相等 → 矩形； 直接判定：四边形 + 三个 / 四个直角 → 矩形 指出下列说法是否正确. (1)有一个角为直角的四边形是矩形. (2)两条对角线相等的四边形是矩形. (3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形. (4)四个角皆为直角的四边形是矩形. (1) 错误 理由：有一个角为直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），必须是平行四边形且有一个角为直角才是矩形 (2) 错误 理由：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），必须是平行四边形且对角线相等才是矩形 (3) 错误 理由：对角线互相垂直是菱形的特征，与矩形无关（矩形对角线不一定垂直，除非是正方形） (4) 正确 理由：四个角都是直角的四边形，既是平行四边形（同旁内角互补，对边平行），又满足矩形的定义，因此是矩形 即学即练 方法技巧 看到等腰三角形 + 底边中点，立刻想到三线合一，能直接推出垂直（直角）； 再结合平行四边形的性质，就能用定义法判定矩形。 已知:如图，AB=AC，D 为BC 的中点，四边形AEDB 是平行四边形.求证:四边形AECD 是矩形 证明： 四边形 AEDB 是平行四边形， AE//BD，且 AE=BD 又 D 是 BC 的中点， BD=DC。 AE=DC，且 AE//DC。 四边形 AECD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） AB=AC，D为BC的中点， AD⊥BC（等腰三角形 “三线合一” 性质），即∠ADC=90∘ 平行四边形 AECD中，∠ADC=90 ∘ 四边形 AECD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 课堂练习 1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，根据图中所标 数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是 （　B　） A. OB＝5 B. OD＝5 C. AB＝5 D. BC＝8 B 解：添加OD=5 理由：∠ABC=90°，OA=OC=5 OB=OA=OC=5， 又OD=5 OA=OC=OB=OD=5 四边形ABCD是平行四边形 又∠ABC=90° 四边形ABCD是矩形 课堂练习 2. 如图，在▱ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是 ⁠. 矩形　 解：四边形ABCD是平行四边形 AC=2CO，BD=DO 又∠1=∠2 BO=CO AC=BD 四边形ABCD是矩形 课堂练习 3. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，请添 加一个条件： ，使四边形BEFD为矩 形. 答案不唯一，如∠B＝90°　 D、E、F分别是AB、BC、AC的中点 DF//BC，EF//AB 四边形BEFD是平行四边形 增加条件∠B=90°，可得四边形BEFD是矩形 课堂练习 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，E是AC的中 点，连接DE并延长至点M，使ME＝DE，连接AM，CM. 求证： （1） 四边形AMCD是矩形； 解：（1） E是AC的中点，ME＝DE， 易得四边形AMCD是平行四边形. AB＝AC，AD是边BC上的中线， AD⊥BC. ∠ADC＝90°. 四边形AMCD是矩形 （2） 四边形AMDB是平行四边形. （2） 由（1），知四边形AMCD是矩形， ∴ AM＝CD，AM//CD. ∴ AM//BD. ∵ AD是边BC上的中线 ∴ CD＝BD. ∴ AM＝BD. ∴ 四边形AMDB是平行四边形 课堂练习 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF. （1） 求证：四边形ADFE是矩形； 解：（1） 四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC，AB＝DC. ∠ABE＝∠DCF. 在△ABE和△DCF中， △ABE△DCF. AE＝DF，∠AEB＝∠DFC AE//DF 四边形ADFE是平行四边形. 又 AE⊥BC ∠AEF＝90° 四边形ADFE是矩形 课堂练习 （2） 连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度. 解：（2） 由（1），知四边形ADFE是矩形， EF＝AD＝6. EC＝4 CF＝BE＝EF－EC＝2. BF＝BE＋EF＝8. AE⊥BC， 易得∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE中，∠ABE＝60°， 易得AB＝2BE＝4.∴ DF＝AE＝ ＝2 . 在Rt△DFB中，BD＝ ＝2 . 四边形ABCD是平行四边形， O是BD的中点. OF＝ BD＝ 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $