2.2 直线与圆的位置关系课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，系统梳理判定方法（几何法、代数法）、切线问题、弦长计算等核心内容，通过思维导图构建知识框架，按基础、中档、拔高梯度设计例题与练习，形成连贯学习支架。 其亮点在于突出数形结合思想，以几何直观（如距离与半径关系）和代数运算（如判别式、韦达定理）培养数学思维，结合教材改编题与高考真题实例，助力学生提升逻辑推理与运算能力，教师可借助一体化资源高效开展教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第二章 圆与方程 2.2 直线与圆的位置关系 本节探究直线与圆的三种位置关系，掌握几何法、代数法两种判定方式，会求解切线、弦长问题，体会解析几何数形结合的思想。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括129张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线与圆的位置关系及其判断方法 1 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交. 返回目录 4 2 直线与圆的位置关系的判断方法 设直线和圆的方程分别为， . （1）代数法：联立直线与圆的方程，得到一个关于， 的二元二次方程组，消 去或得到关于或的一元二次方程，其根的判别式为 ，由 与0的大小关系 判断方程组解的组数，进一步判断圆与直线的位置关系. 返回目录 5 （2）几何法：设圆心到直线的距离为,圆的半径为，由与 的大小关系判 断直线与圆的位置关系. 具体内容如下表所示： 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 几何法 代数法 方程组无解 方程组仅有一 组解 方程组有两组不同的解 返回目录 6 归纳总结 圆上的点到直线的最大距离与最小距离 记为圆的半径长， 为圆心到直线的距离. 相交 相切 相离 图示 最小距离 0 0 最大距离 返回目录 7 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P66练习T1（1）］直线与圆 的位置关系是 ______. 相交 返回目录 8 【解析】 由消去，整理得 ， 因为 ， 所以直线与圆相交． 圆的圆心坐标为，半径 ， 则圆心到直线的距离 , 所以直线与圆相交． 直线经过点，因为 ， 所以点，在圆 内部， 所以直线与圆的位置关系是相交.（特别地，当直线上一点位于圆内时，直线必定与 圆相交） . . 返回目录 9 例1-2 圆上的点到直线 的最大距离是( ) C A.18 B. C. D. 【解析】圆的标准方程为,则圆的半径，圆心 到直线的距离 ，故圆上的点到直线的最大距离是 . 返回目录 10 释疑惑 重难拓展 知识点2 弦长问题 图2.2-1 弦长问题有如下两种求解方法. （1）几何法.设直线与圆交于, 两点,如图2.2-1所示， 过圆心作的垂线交于点，由圆的性质知垂足为 的 中点.记圆心到直线的距离为（弦心距）,圆的半径为,则 ， ，弦长的一半 构成直角三角形的三边,由勾股定理得, ,即 . 返回目录 11 （2）代数法 若直线与圆的两个交点分别为,，直线的斜率为 （若斜率存在，设直线方程为 ）, ①当不存在时， ; ②当时， ； ③当存在且 时， （当时，即情况） 同理 . 通常把或 叫作弦长公式. . . 返回目录 12 图2.2-2 发散探讨 过圆内定点 的所有弦中，最长弦和最短弦分别是哪一条? 在弦长公式中，半径为定值,弦长是关于弦心距 的减函数.如图2.2-2所示，当弦心距 时,对应的弦最长,此时弦为过 点的直径；当弦心距取得最大值,即 时,对应的弦最短,此时弦 为过点且垂直于 的一条弦. 返回目录 13 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P66 T5］直线被圆 截得的弦 长为____. 返回目录 14 【解析】 圆心到直线的距离，半径 ,所以弦长 为 . 由 消去可得,解得,,所以两交点坐标分别为 ， ，所以弦长为 . 由 消去可得 , 设直线与圆的两个交点的坐标分别为, , 则，，所以弦长为 . 返回目录 15 例2-4 已知圆，直线过点，则当直线被圆 截 得的弦长最短时，直线 的方程为_______________． 【解析】易知，该圆圆心,半径为5，点在圆内,过点且与 垂直的直线 被圆截得的弦长最短.因为直线的斜率,故所求直线 的方程为 ,即 . 返回目录 16 知识点3 圆的切线问题 1 过圆上一点的切线 过圆上一点 的切线只有一条，如图2.2-3，切线有斜率存在和不存在两 种情况. 图2.2-3 返回目录 17 若切线的斜率存在，设为 . 当时，先求切点与圆心的连线所在直线的斜率 ，再由垂直关系知切线的 斜率，由点斜式可得切线方程;当时，可直接得切线方程为 （如图2.2-3（2））. 若切线的斜率不存在，可直接得切线方程为 （如图2.2-3（3））. 返回目录 18 知识延伸 过圆上一点 的切线方程 圆的方程 切线方程 返回目录 19 2 过圆外一点的切线 过圆外一点 引圆的切线必有两条，如图2.2-4，求其切线方程常用以下 方法： （1）几何法 设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径，可求得 ， 则可得切线方程. （2）代数法 设切线方程为，与圆的方程联立，消去（或 ）后得到关于 （或）的一元二次方程，由方程根的判别式求出 ，可得切线方程. 警示 若求得两个斜率，代入切线方程，则两条切线方程即为所求；若求得一 个斜率，则说明另一条切线的斜率不存在，进而求得两条切线方程. 返回目录 20 3 切线长 点 与切点之间的距离称为切线长.切线长可由勾股定理来计算，如图2.2- 4, . 图2.2-4 返回目录 21 知识延伸 过圆外一点 引圆的切线所得切线长公式 圆的方程 切线长 返回目录 22 4 切点弦 过圆外一点引圆的两条切线,切点分别为，（如图2.4-4）,弦 称为 该圆的切点弦. 返回目录 23 知识延伸 过圆外一点 引圆的切线所得切点弦方程 圆的方程 切点弦所在直线方程 （切点弦所在直线方程与经过圆上一点的切线方程形式相同） 返回目录 24 学思用·典例详解 例3-5 [教材改编P93 T2]以点为圆心，且与直线 相切的圆的标准 方程是______________________. 【解析】设圆的半径为,则由题知 , 故圆的标准方程为 返回目录 25 例3-6 (2026·河南省郑州外国语学校月考)已知过点 有且仅有一条直线与圆： 相切，则 ( ) A A. B. C.1或2 D.或 【解析】由题知点在圆上，则 ，解得 或 ， 又 为圆的方程，则 ， 解得，所以 . . . 返回目录 26 例3-7 过点作圆的切线, ，则切线长为 ___，过切点, 的直线方程为________________. 5 【解析】（1） 圆的方程可化为，则圆心为 ， 半径 . 所以 . 由切线长公式 ，可得 . 返回目录 27 （2） （运用圆的切线方程公式及直线方程的意义求解） 设切点,的坐标分别为,，根据过圆上一点的切线方程，得切线 的 方程为，将点 的坐标代入并整理， 可得 ， 同理可得 ②. 由等式①②可知，直线经过,两点，所以直线 的 方程为 . 返回目录 28 （直接运用圆的切点弦方程求解） 因为是圆 外一点，根据切点弦所在直线的方程 ，得 ， 整理得直线的方程为 . 点评 因为,，所以,在以为直径的圆上.因为 , ，则以为直径的圆的方程为 ,即 ，与圆的方程相减，即得直线 的方程为 .（下一节所学的求两圆相交弦问题） . . . . 返回目录 29 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系的判断 例8 ［教材改编P66练习T1］判断下列直线与圆 的位置关 系,若相交，则求出交点的坐标. 方法帮 返回目录 30 （1） ; 【解析】 （代数法） 将直线方程和圆的方程联立得 消去，得 , 因为 ， 所以直线与圆相离. （几何法） 点到直线的距离.又 , 所以 ,可知直线与圆相离. 方法帮 返回目录 31 （2） . 【解析】点到直线的距离 ，所以直线与圆相交. 联立方程消去得 ，化简整 理得，解得或 , 所以或故交点坐标分别为, （当直线和圆相交时，联立直线 与圆的方程即可求出它们的交点坐标） 方法帮 返回目录 32 【解析】已知圆心为，半径 . 方法帮 返回目录 33 2 由直线与圆的位置关系求参数 例9 已知圆，定点，过点的直线的斜率为 ，求符合下列情况 时， 的取值范围. （1）直线与圆相切； （2）直线与圆相交； （3）直线与圆相离. 方法帮 返回目录 34 【解析】 （代数法） 易知点在圆外，过点的直线的方程为 . 由消去,得 , 即 , . （1）令，即,得 . 所以当 时，直线与圆相切. （2）令，即，得 , 所以当 时，直线与圆相交. （3）令，即，得或 , 所以当或 时，直线与圆相离. 方法帮 返回目录 35 （几何法） 点在圆外，过点的直线的方程为 . 设圆心到该直线的距离为 , 则 . （1）令,即，得 , 所以当 时，直线与圆相切. （2）令,即，得 , 所以当 时，直线与圆相交. （3）令,即,得 , 所以当或 时，直线与圆相离. 方法帮 返回目录 36 例10 (2026·天津市华辰学校月考)若曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C., D., 【解析】将方程 变形为 ，它表示以 为圆心，2为半径的上半圆， （此处易误认为方程表示的是整个圆而致错） . . 方法帮 返回目录 37 图2.2-5 表示过定点，斜率为 的直线，如图2.2-5 所示. 直线的斜率 . 直线方程变形为 ， 由（圆心 到切线的距离为2） 得切线的斜率 . 由图知，当直线在直线和切线 之间变化时，直线与半圆有两 个交点，故 .（注意验证区间端点是否可以取得） . . . . 方法帮 返回目录 38 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题](2026·北师大实验中学摸底)已知直线 与 相交于，两点，为圆心，若 为钝角三角形， 则满足条件的实数 的值可能是( ) AC A. B.1 C.2 D.4 【解析】圆的圆心为，半径为，由于 为等腰三角形，若该三角 形为钝角三角形，则 ，设圆心到直线的距离为,则 ，则 ，整理可得，解得 ， 直线不过圆心，则，即, ．结合选 项可得满足条件的实数的值可能是 ，2． 方法帮 返回目录 39 3 由直线与圆的位置关系求圆的方程 例11 (2026·天津市华辰学校月考)已知圆的圆心与点关于直线 对称， 直线与圆相交于,两点，且，则圆 的方程为( ) C A. B. C. D. 方法帮 返回目录 40 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为 ，则 解得 即圆心 . 又圆心到直线的距离为 ， 所以圆的半径 . 故圆的方程为 . 方法帮 返回目录 41 由直线与圆的位置关系求圆的方程的思路 已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心 和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求得圆的方程. 基本步骤为：设与所求圆有关的参数 根据已知位置关系或数量关系建立方程 （组） 解出参数并检验 确定圆的方程. 方法帮 返回目录 42 【学会了吗丨变式题】 2.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线 相切，且圆心 在直线上，则圆 的标准方程为______________________． 【解析】 圆心在直线上， 可设圆心为，则点 到直线 的距离 ， 由题意知点也在直线上，即点是圆与直线 的切点， ，则 ， ， ． 圆心为，半径 ， 所求圆的方程是 方法帮 返回目录 43 题型2 圆的切线问题 1 已知切线斜率求切线方程 例12 已知圆的方程为，它与斜率为 的直线相切，求该切线方程 方法帮 返回目录 44 【解析】 设所求圆的切线方程为，即 ， 因为圆与直线 相切， 所以圆心到直线的距离 ，（直线与圆相切，则圆心到直线的距 离等于半径） 解得 . 故所求圆的切线方程为或 . 设所求圆的切线方程为 . . . 方法帮 返回目录 45 联立直线与圆的方程得消去，整理得 ，令 ，解得 . 故所求圆的切线方程为或 . 方法帮 返回目录 求斜率为 且与圆相切的切线方程（切线方程一般有两个）的方法 （1）先设切线的方程为，然后化为一般式 ,利用圆心到直 线的距离等于半径，列出方程求得 . （2）设切线的方程为,与圆的方程联立，化为关于（或 ）的一元二次 方程，再利用判别式等于0，求出 . . . 方法帮 返回目录 47 2 求过圆上一点的圆的切线方程 例13 已知圆和点，则过点且与圆 相切的直线与两坐标轴围 成的三角形的面积等于___． 方法帮 返回目录 48 【解析】 因为点在圆上，圆心与点 连线所在 直线的斜率 . 设切线的斜率为，则，所以过点且与圆 相切的直线方程为 ，即，易知该直线在轴、 轴上的截距分别为5， ，所以所求三角形的面积 . 显然点在圆 上， 又过圆上一点的切线方程为 ,（该结论即教材第67 页【习题2.2】第10题） 故过点且与圆相切的直线方程为,该直线在两坐标轴上的截距分别为5, , 所以所求三角形的面积 . . . 方法帮 返回目录 49 求过圆上一点 的圆的切线方程 先求切点与圆心的连线的斜率，若存在且，则由垂直关系知切线斜率为 , 由点斜式方程可得切线方程.如果或 不存在，则由图形可直接得切线方程为 或 . 方法帮 返回目录 50 3 求过圆外一点的圆的切线方程 例14 经过点，且与圆 相切的直线的方程为_______________ _____________. 和 方法帮 返回目录 51 【解析】因为,所以点在圆 外.（过一点作 圆的切线时，应先判断点与圆的位置关系.若点在圆外，则有两条切线；若点在圆上， 则只有一条切线） 若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为 ,即 . 又圆心为,半径,且圆心到切线的距离等于半径,所以 ,解得 ，（过圆外一点的圆的切线有两条，若求得的 值只有一个，则表示其中一条 切线的斜率不存在，不能遗漏） 所以直线的方程为 . 若直线的斜率不存在，则直线的方程为 ，显然满足题意. 综上可知，与圆相切的直线的方程为和 . . . . . 方法帮 返回目录 52 设所求切线方程为，其中 是圆上的切点， 将代入切线方程，得 . 由解得或 故所求切线方程为和 . 方法帮 返回目录 求过圆外一点 的圆的切线方程 几何法设切线方程为,即 .由圆心到直线的距 离等于半径，可得 ,切线方程即可求出. 代数法 设切线方程为,即 ,代入圆的方程，得到 一个关于的一元二次方程，由求得 ,切线方程即可求出. 注意 过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得的 值是一 个时，另一条切线斜率一定不存在. 方法帮 返回目录 54 4 求切线长 例15 若圆关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小值是___. 4 方法帮 返回目录 55 【解析】 （代数法） 由 ，得 ，依题意得,圆心在直线 上， 所以 , 即 ①. 经验证，点恒在圆 的外部. 易知由点向圆所作的切线长 ②, 将①代入②，得 .（统一变量，转化为求函数最小值） 由知，当时, . . . 方法帮 返回目录 56 （几何法） 因为过圆外一点的圆的切线长、半径和这点到圆心的距离 满足勾股定理，即 ，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，于是问 题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题. 由题意易知圆心，半径.由题可得圆心在直线 上，即 ,得，故点在直线 上， 所以点与圆心的距离的最小值即圆心到直线 的距离,易求 ，所以切线长的最小值为 . 方法帮 返回目录 57 切线长公式 （1）过圆外一点 引圆的切线，一般运用勾股定理 求切线长，结论如下: .其中 表示切线 长, 表示点 到圆心的距离. （2）过圆外一点引圆的切线，切点为 ，则 切线长为,其中为圆 的半径. 方法帮 返回目录 58 【学会了吗丨变式题】 3.已知圆.过点作直线与圆相切，则切线长为___，直线 的方程为_______________________. 3 或 图D 2.2-1 【解析】由题意知圆心为，半径 . 如图D 2.2-1，设切点为,连接，，则三角形 为直角三 角形，且 . 因为点的坐标为，所以,又 ，所以 ，则 ,即切线长为3. 依题意可设直线，即 . 圆心到直线的距离为，整理得 ， 解得或，故直线的方程为或 . 方法帮 返回目录 59 4.已知点是直线上的动点，， 是圆 的两条切线，，是切点，则四边形 的面积的 最小值为( ) B A. B. C. D. 【解析】易知圆的圆心为 ，半径为1，要使四边 形的面积最小，则直线与直线垂直（因为 是定值， 所以最小时， 最小） ，此时 ， 因此 ， 所以 ，故选B. . . . . 方法帮 返回目录 60 题型3 弦长问题 1 求弦长 例16 [教材改编P66 T5]直线被圆 截得的弦 长为_____. 方法帮 返回目录 61 【解析】 （代数法） 由直线与圆的方程，得 解得 所以直线与圆的交点为, . 故直线被圆 截得的弦长 . （几何法） 圆可化为 ,其圆心坐 标为,半径,所以圆心到直线的距离.设直线与圆 的交点为,,则,所以弦长 . 方法帮 返回目录 62 （弦长公式法） 由 得,（也可消去转化为关于 的一元二次方程，方法相同） 设两交点坐标分别为， , 则, ,（设而不求思想） 所以 . . . . . 方法帮 返回目录 63 直线与圆相交时，弦长的求法 设弦长为 . ①代数法:联立直线与圆的方程，求出, 两点坐标，再由两点间的距离公式求弦长 ; ②弦长公式法：利用根与系数的关系及公式 或 求解. ③几何法:利用半弦长，弦心距（圆心到弦的距离）,半径 为边组成的直角三角形求 解，则 （常用方法）. 方法帮 返回目录 64 2 已知弦长求参数 例17 已知直线与圆相交于， 两点，且 ，则 ( ) B A. B.0或 C. D. 或0 【解析】的圆心，半径，， 圆 心到直线的距离为 ，因此 ，即，解得或 ． 方法帮 返回目录 65 3 已知弦长求弦所在的直线的方程 例18 [教材改编P67 T8]已知直线过点且与圆交于 , 两点，且，求直线 的方程. 方法帮 返回目录 66 【解析】 圆的半径为5， ， 圆心到直线 的距离为3. 当直线的斜率不存在时，（当直线的斜率不确定是否存在时，需要对直线 的斜率 进行讨论） 直线过点 ， 直线的方程为 , 圆心到直线 的距离为3，满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 则圆心到直线的距离为，解得 ， 直线的方程为 ， 整理得 . 综上可得，直线的方程为或 . . . 方法帮 返回目录 67 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·天津市河北区检测)设直线与圆相交于 , 两点，若,则圆 的面积为____. 【解析】圆的方程可化为，可得圆心为 ，半径 ，所以圆心到直线的距离为 ，所以 ，解得，所以圆的半径 ，所以圆 的面积为 . 方法帮 返回目录 68 题型4 与圆有关的最值问题 1 圆上的点到直线的最值问题 例19 已知圆上的点到直线的最短距离为1，则 _________. 0或 【解析】因为，即，故圆心为 ,半径为1.根据 圆上的点到直线 的最短距离为1,可知圆与直线相离,可 得圆心到直线 的距离为2,（将圆上的点到直线的距离问题转化为圆心 到直线的距离问题） 即，解得或 . . . 方法帮 返回目录 69 2 利用几何意义求最值问题 例20 已知点在曲线 上. （1）求 的最大值和最小值； 【解析】设，即， 表示圆上的点与原点连线所在直线的 斜率. 如图2.2-6（1）所示，当直线与圆相切时，斜率 分别取得最大 值和最小值， 此时，解得 , 故的最大值是，最小值是 . 方法帮 返回目录 70 （2）求 的最大值和最小值； 【解析】设，即,表示经过圆上一点且与平行的直线在 轴 上的截距. 如图2.2-6（2）所示，当与圆相切时，截距 分别取得最大 值和最小值， 此时，即 . 故的最大值是，的最小值是 . 方法帮 返回目录 71 （3）求 的最大值和最小值. 【解析】 表示圆上点与原点距离的平方， 如图2.2-6（3）所示，在原点和圆心连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值 . 又圆心到原点的距离为2，半径为 , 故的最大值是 ， 的最小值是 . 方法帮 返回目录 72 【解析】原曲线方程可化为，该曲线表示以点为圆心， 为 半径的圆. 名师点评 对于某些看似孤立的变量范围问题，一旦设定参数，建立了方程，就赋予 了其直观的几何意义，于是便可以利用数形结合思想解决问题. 方法帮 返回目录 73 求解与圆有关的最值问题的思路 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，结合所给式子的几何意义，利用数形 结合求解.一般地： （1）形如 的最值问题，可转化为动直线的斜率问题； （2）形如 的最值问题，可转化为动直线的截距问题； （3）形如 的最值问题，可转化为动点到定点的距离问题. 方法帮 返回目录 74 【学会了吗丨变式题】 6.已知两点，，点是圆上任意一点，则 的面 积的最小值是( ) A A. B. C. D. 【解析】直线的方程为，,圆心为 ，半径为1，圆心到 直线的距离，所以圆上任意一点到直线 的最小距离为 ， . 方法帮 返回目录 75 新考法 思维创新 例21 新定义 对称函数 已知函数.对函数,定义 关于的“对称函数”为函数,满足：对任意的 ,两个点 ,关于点对称.若是关于 的“对称函数”，且恒成立,则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据“对称函数”的定义可知， ,可得 . 方法帮 返回目录 76 图2.2-7 而恒成立，即 恒成立,即恒成立.作出函数 与 的图象,如图2.2-7所示,当直线与半圆相切 时，圆心到直线的距离，求得 . 因为 恒成立，所以直线在半圆的上方，所以 ，即实数的取值范围是 . 方法帮 返回目录 77 素养提升 数学中的新定义试题主要体现在新定义的概念,引入新的符号和定义新的 运算.这些题在全面考查学生的数学知识、方法及数学思想的基础上,还着力考查学生 的创新思维能力与自主探索能力.解决此类试题时，首先要进行信息提取，明确新定 义的概念、符号和名称;其次对提取出的信息进行加工，探求解决方法，必要时可寻 找相近知识点，明确它们的共同点及不同点;最后对新定义型试题中提出的知识进行 转换，合理迁移，运用已学的知识加以解决.其中，对新定义信息的提取和化归转化 是解此类题的关键. 方法帮 返回目录 78 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 直线与圆的位置关系是高考的热点问题，主要有判断直线与圆的位置关系、由直线与 圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题、弦长问题及与圆相关的求最值问题等， 考查数形结合思想、转化与化归思想等.考查题型为选择题、填空题，难度为中等. 核心素养：数学运算（弦长的求解），直观想象（数形结合的应用），逻辑推理 （直线与圆的位置关系的推断）. 返回目录 79 考向1 直线与圆的位置关系的判断 例22 [多选题](新高考全国Ⅱ卷)已知直线 与圆 ,点 ,则下列说法正确的是( ) ABD A.若点在圆上，则直线与圆相切 B.若点在圆内，则直线与圆 相离 C.若点在圆外，则直线与圆相离 D.若点在直线上,则直线与圆 相切 返回目录 80 【解析】对于A，若点在圆上，则，所以圆心到直线 的 距离，所以直线与圆 相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则，所以圆心到直线 的距离 ，所以直线与圆 相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则，所以圆心到直线 的距离 ，所以直线与圆 相交，故C不正确； 对于D，因为点在直线上，所以,圆心到直线的距离 ,所 以直线与圆相切，D正确.故选 . 返回目录 81 考向2 直线与圆的位置关系的应用 例23 (2025·全国一卷)已知圆上到直线 的距离 为1的点有且仅有两个，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线 的距离 . 图2.2-8 如图2.2-8，当 时，圆（实线圆）上到直线的距离为1 的点有且仅有一个，当 时，圆（虚线圆）上到直线 的距离为1的点有且仅有三个，故当 时，圆上到直线的 距离为1的点有且仅有两个. 返回目录 82 例24 (2022·新高考全国Ⅱ卷)设点,,若直线关于 对称的直线与 圆有公共点，则 的取值范围是_ ____. , 【解析】 由题意知点关于直线 的 对称点为，所以 ，所以直线 的方程为，即 . 整理得，解得，所以实数的取值范围是 ． 如图2.2-9，直线与圆有公共点，易知圆心为 ， 半径为1，所以 ，（【易错分析】直线与圆有 公共点，可能有一个交点，也可能有两个交点，此处易漏取等号） 返回目录 83 易知关于 轴对称的圆的方程为 ，如图2.2-10，该对称圆与直线有公共点．直线 的方程 为，即,又对称圆的圆心为 ，半径为1， 所以，整理得，解得 ，所以实数 的取值范围是 ． 返回目录 考向3 圆的切线问题 例25 (2023·新课标Ⅰ卷)过点与圆 相切的两条直线的夹角 为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 图2.2-11 【解析】如图2.2-11，得 ， 所以圆心坐标为，半径，所以圆心到点 的距离为 .由于圆心与点的连线平分角 ， 所以，所以 ，所以 . 返回目录 85 考向4 弦长相关问题 例26 (2025·天津)与轴交于点,与轴交于点 ,与圆 交于,两点，,则 ___. 2 【解析】对于直线，令，得，令，得 ，所 以,，所以.因为,所以 . 圆的圆心为，圆心到直线的距离 ， 所以 . 返回目录 86 例27 ［开放题］(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线 与 交于,两点，写出满足“面积为”的 的一个值__ _______________. 2（答案不唯一） 【解析】 设直线为直线，由条件知的圆心 ，半径 ,到直线的距离, .由 ，得，整理得 ， 解得或 ，故答案可以为2. 返回目录 87 给什 么得 什么 由直线知直线过定点，由知圆 的圆心为 ，半径为2. 返回目录 88 求什 么想 什么 如图2.2-12，要使面积为，设 ，则 ,则 ， _______________________________ 所以，于是，解得或 . 图2.2-12 续表 返回目录 89 差什 么找 什么 设圆心到直线的距离为，由图2.2-12可知，或 ， 又，即或，解得或 . 续表 返回目录 高考新题型专练 1.[多选题](2026·江苏省常州市检测)已知直线 ，圆 ，则( ) BC A.圆心到的距离的最大值为 B.圆上至少有3个点到的距离为 C.圆上到的距离为 的点有且只有2个 D.若，与相交于，两点，过，两点作 的切线，则两切线的交点坐标 为 返回目录 91 【解析】直线，整理得 ，可知直 线恒过定点，又，所以点在圆 内， 易知圆的圆心为，半径 ， 所以当时，圆心到的距离取得最大值，为 ，故A错误； 由A知，当时，半径，所以圆上恰好有3个点到的距离为，当 与不垂直时，圆心到的距离小于，那么圆上会有4个点到的距离为 ，所以圆 上至少有3个点到的距离为 ，故B正确； 由圆的对称性可知，无论为何值，圆上到的距离为 的点有且只有2个，故C正确； 若，与相交于，两点，过，两点作 的切线，则两切线的交点必在圆 外，又，即点在圆上，所以点 不是 两切线的交点，故D错误. 故选 . 返回目录 92 2.新情境 [多选题] (2026·山东省济宁市期中)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理： 三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上． 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作， ， 点，点，且其“欧拉线”与圆 相切，则下列结 论正确的是( ) ACD A.的“欧拉线”方程为 B.圆上的点到直线的最大距离为 C.若点在圆上，则的最小值是 D.若点在圆上，则 的最大值是7 返回目录 93 【解析】，由题意可得的欧拉线为的中垂线，由 ， 可得的中点为，，且， 线段 的中垂线方程为 ，即 ，故A正确； 的“欧拉线”与圆相切， 圆心 到直线 的距离， 圆的方程为 ， 圆心到直线的距离， 圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，故B错误； 令，，代入圆的方程 ，可得 ，由于在圆上， 返回目录 94 有根，则，整理得 ，解得 ，的最小值为，即 的最小值为 ，故C正确； 可以看成点与点连线的斜率，设过点的圆 的切线方程为 ，则圆心到该直线的距离，解得 或 ，所以 的最大值是7，故D正确. 返回目录 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·山东省淄博中学期中)直线和圆 的位置 关系为( ) A A.相交 B.相切或相交 C.相离 D.相切 返回目录 96 【解析】 由，得，所以圆心为 ，半 径为1.因为圆心到直线的距离 ，所 以直线和圆 相交. 直线过定点,因为，所以点 在圆上 （过圆上一点的直线可能和圆相交或相切），过点与圆相切的直线方程为 ， 斜率不存在，不符合题意，应该舍去，故直线与圆的位置关系为相交，故选A. . . 返回目录 97 2.直线与圆 相交所得弦长为( ) A A. B. C. D. 【解析】圆的圆心坐标为，半径 ,圆心到直线 的距离,故弦长为 ,故选A. 返回目录 98 3.(2026·江苏省马坝高级中学调研)若点为圆的弦 的中点， 则弦 所在直线的方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】，即，即圆心 ，由题意可知， ，，则，所以弦 所在的直线的方程为 ，即 ． 返回目录 99 4.[多选题]已知圆 ，则下列说法正确的是( ) BC A.直线与圆 相切 B.圆截 轴所得的弦长为4 C.点在圆 外 D.圆上的点到直线 的最小距离为3 返回目录 100 【解析】由圆得，所以圆心 ，半径 . 对于A,圆心到直线的距离为1，所以直线与圆 不相切，故A不正确； 对于B,圆心在轴上，故圆截轴所得的弦长为 ，故B正确； 对于C,点到圆心的距离，所以点 在圆 外，故C正确； 对于D,圆心到直线的距离，所以圆 上的点到直 线的最小距离为，故D错误．故选 ． 返回目录 101 5.新定义 平行相交［多选题］ (2026·陕西省渭南市检测)对于两条平行直线和圆的 位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相 切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相 交”．已知直线， 与圆 的位置关系是“平行相交”，则实数 的取值可以是 ( ) BCD A.1 B.2 C.3 D.4 返回目录 102 【解析】由已知得直线， 平行， ，解得或.当 时两直线方程相同，两直线重合， 不合题意;当时经检验知符合题意， .此时两直线方程为 ，，将圆 的方程 配方整理得，圆心坐标为，半径为 .当两直线与圆“平行相 切”时，或 ，当两直线与圆“平行相离”时， 且，即.故当两直线与圆“平行相交”时，且 ，结 合选项可知选 . 返回目录 103 6.与直线平行，且与圆 相切的直线方程是______________ _________________. 或 【解析】圆的圆心为，半径 ，由题意可设所求切线的方程为 ，故,解得 ，故所求切线方程为 或 ． 返回目录 104 7.(2026·江苏省徐州市联考)由直线上的一点向圆 引一条切 线，则切线长的最小值为____． 图D 2.2-1 【解析】如图D 2.2-1，设直线上有一点，过点 作 圆的一条切线，切点为，圆心为，的坐标为， 为 圆的半径，长度为1， ，要 使最小，即求的最小值，此题转化为求直线 上 的点到圆心的最小距离．设圆心到直线 的距离为 ，则，的最小值为 ， 此时 . 返回目录 105 8.新考法 结构不良 已知圆经过点， ，且____． 在①经过点，②与轴有公共点，半径为2,③被直线 平分这三个条件中 任选一个，补充在上面问题中，并加以解答． （1）求圆 的方程； 返回目录 106 【答案】选①.设圆的方程为 . 因为圆经过三点，， ， 所以解得 所以圆的方程为 . 选②.由点，，知线段的中垂线方程为 ． 设圆的圆心坐标为 ， 因为圆的半径为2，所以 ， 即，解得或 ． 所以圆的方程为或 ． 返回目录 107 又圆与轴有公共点，所以圆的方程为 ． 选③.由点，，知线段的中垂线方程为 ． 由解得所以圆心坐标为 ， 所以半径 ， 所以圆的方程为 ． 返回目录 （2）若经过点的直线与圆相切，求直线 的方程． 【答案】当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ， 即 ． 因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线 的方程为 ． 综上所述，直线的方程为或 ． 返回目录 109 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2024·全国甲卷改编)已知直线，其中 ，与圆 交于，两点，则 的最小值为( ) C A.2 B.3 C.4 D. 返回目录 110 图D 2.2-2 【解析】因为，即 ，代入直线方程 得 ，即 ，令得 故直线恒过点 . 设，圆 化为标准方程得 ，圆心坐标为，半径为 . 当时，最小，， ，此时 . 设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图D 2.2-2可知， 返回目录 111 10.(2026·安徽省合肥市期中)设点是函数 图象上任意一点，点 的坐标为，当 取得最小值时圆 上恰有2个点到直线 的距离为1， 则实数 的取值范围为( ) C A., B., C. D. 返回目录 112 图D 2.2-3 【解析】由题得图D 2.2-3.点 的坐标为 ，可得点在直线 上．由 ，两边平方可得： ，可得轨迹为半圆，且圆心为 . 经过圆心且与直线垂直的直线 的方程为 ，由解得 当 取得最小值时，点的坐标为，，解得 ． 圆的方程为 ， 返回目录 113 圆心到直线 的距离 ， 又圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数 的取值范围为 ，即 ． 返回目录 11.已知圆上的点到直线 的最大距离 为，最小距离为,若，则实数 的值是( ) D A. B.1 C.或1 D. 或1 返回目录 115 【解析】圆的圆心坐标为，半径为 ， 圆心到直线，即的距离， 易知当直线与圆相切时，，当直线与圆 相交时， ，均不合题意，故直线与圆 必相离. 此时圆上的点到直线的最大距离为,最小距离为 . 因为，所以，即，得 ，符合 题意，即，解得或.综上，或 ．故选D． 返回目录 116 12.[多选题](新高考全国Ⅰ卷)已知点在圆上,点, , 则( ) ACD A.点到直线的距离小于10 B.点到直线 的距离大于2 C.当最小时, D.当最大时, 返回目录 117 【解析】设圆的圆心为，由题易知直线 的方程为 ,即，则圆心到直线的距离 ，所以 直线与圆相离，所以点到直线的距离最大值为 ， ，故A正确. 易知点到直线的距离的最小值为， ，故B不 正确. 返回目录 118 图D 2.2-4 过点作圆的两条切线，切点分别为, ，如图D 2.2-4 所示，连接,,,则当最小时，点与 重合， ，当 最大时，点与重合， ，故C,D都正确. 返回目录 119 图2.2-1 13.新情境 太极图 (2026·江苏省南京市第十三中学学情检测) “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为 “阴阳鱼太极图”.如图2.2-1是放在平面直角坐标系中的“太极图”， 图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界） 的动点，则 的最小值为____. 【解析】记，则为直线的斜率，故当直线 与半圆,相切时，斜率 最小. 设，则，解得或 （舍去），即的最小值为 . 返回目录 120 14.(2026·江苏省扬州市期中)已知直线，半径为2的圆与 相切，圆 心在轴上且在直线 的右上方. （1）求圆 的方程； 【答案】设圆心，因为圆在直线的右上方，令，得 ，故 ， 由，解得或 （舍去）， 故圆的方程为 . 返回目录 121 （2）若直线上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为, ，若 ，求实数 的取值范围； 【答案】如图D 2.2-5，连接，因为,与圆相切，且 ， 图D 2.2-5 所以在中，， ， 返回目录 122 所以，所以问题转化为点到直线 的距离不大于 . 由，得，即 . 所以的取值范围为 . 返回目录 （3）过点的直线与圆交于,两点在轴上方，问在 轴正半轴上是否存 在定点，使得轴平分 ？ 【答案】如图D 2.2-6，若直线斜率存在，设直线 ， 图D 2.2-6 将直线方程与圆方程联立，得 返回目录 124 消去，整理得 . , 设，，则， . 返回目录 假设存在点使得轴平分，则对 恒成立， （求解本题的关键转化） 所以，则 ， 即 ， 所以 ， 整理得对恒成立，则，故 . 若直线斜率不存在，则,均在轴上，也可以认为轴平分 . 综上，在轴正半轴上存在定点，使得轴平分 . . . 返回目录 126 C 培优练丨能力提升 15.新情境 传统文化 古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千 多年前，我国的墨子才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思是说：圆有一个圆 心，圆心到圆周的长都相等.现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一点 ，若的值与,无关，则实数 的取值范围是 ___________. 返回目录 127 【解析】由已知可得点所在圆的方程为 . 设,故可看作点 到直 线与直线 距离之和的5倍. 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上 的位置无关. 返回目录 128 图D 2.2-7 圆心到直线的距离为,所以圆与直线 相离，如图D 2.2-7所示，只有当圆在两直线之间，即直线 与 圆相切或相离时，无论点 在圆上哪个 位置，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离.所以 ,解得（舍去）（时， 在圆的下 方，不满足圆在两直线之间） 或，所以实数的取值范围为 . . . 返回目录 129 $