3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

第 2 课时　直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系及判定 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 __ Δ＞0 相切 __ Δ＝0 相离 __ Δ＜0 2 1 0 直线与椭圆的位置关系的判断 判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想的运用．　　 1．直线与椭圆相交弦长的求法 (1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 点差法 利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系 解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，且可从图中看出B、D中的直线被椭圆截得的弦长都大于8，故选A、C. 答案：AC　 解决直线和椭圆综合问题的注意点 (1)根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．　　 内化素养 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十五)” (单击进入电子文档) 39 一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得一个一元二次方程. 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系： (1)点P在椭圆上⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1； (2)点P在椭圆内部⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＜1； (3)点P在椭圆外部⇔eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＞1. 2．弦长公式 设直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|. 答案：C　 1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1的位置关系是 (　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,x2＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．故选C. 2．直线x＋2y＝m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1只有一个交点，则m的值为 (　 ) A．2eq \r(2) B．±eq \r(2) C．±2eq \r(2) D．±2 解析：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y＝m，,x2＋4y2＝4，)) 消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0， 得m2＝8.∴m＝±2eq \r(2).故选C. 答案：C　 3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为________． 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))得x2＋2x－6＝0. 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦长MN＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝eq \r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)4＋24)＝eq \r(35). 答案： eq \r(35) ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 直线与椭圆的位置关系的判断 —————————————————————————————————— [典例]　(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是 (　 ) A