26.2.3 二次函数 y = ax2＋bx＋c的图象和性质课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)的图象与性质，通过问题“能否用已学顶点式知识研究一般式”导入，引导学生用配方法转化，搭建从具体实例到一般推导的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点是以具体实例（如\(\frac{1}{2}x^2 -6x +21\)配方）引导学生经历推理过程，培养数学思维。通过列表描点发展几何直观（数学眼光），用规范公式强化数学语言表达。采用“问题-探究-总结”模式，助学生构建知识体系，提升转化与逻辑思维，也为教师提供清晰教学流程和实例支持。

我们已经学习了形如 y = a(x-h)2+k 的二次函数的图象和性质，能否利用这些知识来研究二次函数 y = x2-6x+21的图象和性质? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 思考：怎样将 y = x2-6x+21化成 y = a(x-h)2+k的形式? 配方法 26.2.3 二次函数 y = ax2＋bx＋c的图象和性质 第二十六章 二次函数 y = x2-6x+21 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配方后的表达式通常称为顶点式 = (x2-12x)+21 = (x2-12x+62)+21 - ×62 = (x-6)2+3 二次函数 y = x2-6x+21图象的对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 配 方 3．化：化成顶点式． 1．提：提出二次项系数； 2．配：括号内配成完全平方式； 任务：理解y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k 的关系，掌握y=ax2+bx+c 的性质. 活动1：将 化成y=a(x-h)2+k 的形式， 并指出其对称轴和顶点坐标. y = x2-6x+21 可以通过配方法将 转化为 ． 先画出 的图象，再通过平移得到 的图象； 问题1：你能画出　　　　　　 的图象吗？ 平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位． 注意：平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变. 问题2：如何直接画出　　　　　　 的图象？ 可按如下步骤进行： 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是(6，3)，对称轴是 x = 6． (x-6)2+3 配方 x … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 先利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到 的图象（如图）． 5 10 x y 5 10 O 问题3：结合二次函数 的图象，说出它的性质. 5 10 x y 5 10 x = 6 O 开口_______， 对称轴是_________， 顶点坐标是_________. 向上 直线x=6 (6, 3) 当x<6时，y随x___________； 当x>6时，y随x___________. 增大而减小 增大而增大 解：配方得 y = -2x2-4x+1 =-2(x2+2x)+1 =-2(x2+2x+1)+2+1 = -2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点. 1.先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y = -2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 交流讨论：用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质 开口向下， 对称轴是 x = -1， 顶点坐标是 (-1, 3). 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时， y随x增大而减小. 描点、连线，画出这个函数的图象. y=-2x2-4x+1 y=ax²+bx+c 步骤： 1.“提”：提出二次项系数； 2.“配”：括号内配成完全平方式 (一次项系数绝对值一半的平方)； 3.“化”：化成顶点式. 活动2：用配方法将一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k，并说出它的对称轴和顶点坐标. 一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是 顶点是 抛物线与y轴的交点为(0,c) （1） （2） x y O x y O 如果a＜0，当 x＜ 时，y随x的增大而增大；当 x＞ 时，y随x的增大而减小． 如果a＞0，当 x＜ 时，y随x的增大而减小；当 x＞ 时，y随x的增大而增大． 最小值 最大值 由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限得4a－2b＋c＜0，故③正确； 解析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x＞－1得2a－b＜0，故②正确； 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2． 其中正确的个数是（　　） A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 D 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③ c = 0⇔经过原点；c＞0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c＜0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； ④当 x = 1时，y的值为a＋b＋c，当x = -1时，y的值为 a-b+c．   y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 顶点坐标 对称轴　 直线x＝ 开口方向 向上 向下 增减性　 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大； 当x＞ 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝ 时，y有最小值 当x＝ 时，y有最大值 针对本课关键词“二次函数 y=ax2+bx+c 的图象及性质”，说说学到了哪些知识？ y=ax2+bx+c（a ≠0)(一般式) (顶点式) 配方法 15 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ). A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 D 2.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： （1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26； 开口向下，对称轴为直线x=2， 顶点为(2, 9). 开口向上，对称轴为直线x=3， 顶点为(3, -10). y= -3(x-2)2+9 y= 4(x-3)2-10 （3）y=2x2+8x－6； （4）y=x2－2x －1. 开口向上,对称轴为直线x=-2, 顶点为(-2, -14). 开口向上,对称轴为直线x=2， 顶点为(2, -3). y= 2(x+2)2-14 y= (x-2)2-3 3. 已知二次函数 y = x2 − 4x − 1． (1) 将函数 y = x2 − 4x − 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出该函数图象的顶点的坐标； (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y = x2 − 4x − 1与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A，求四边形 OABC 的面积． 解：(1)y = x2 − 4x − 1 = (x − 2)2 − 5， 该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2，−5). (2)如图，令 x = 0，则 y = −1，∴ OC = 1. ∵ B (2，−5)，∴ OA = 2，AB = 5. ∴ S四边形OABC = $