26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和性质，通过复习顶点式$y=a(x-h)^2+k$，引导学生用配方法将一般式转化为顶点式，搭建从平移变换到一般式性质探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以配方法为核心，结合描点法与平移法画图象，通过性质表格系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标等关键要素，培养学生的数学思维和数学眼光。例题与分层练习（如配方转化、平移应用）帮助学生掌握模型意识，既提升学生运算与抽象能力，也为教师提供结构化教学资源。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 2026年8月3日 人教版九年级上册26.2.2第3课时 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=a(x-h)^2+k（a≠0）$是二次函数的顶点式完整版，是前两课时上下平移、左右平移的综合运用。该函数由基础抛物线$y=ax^2$先进行左右平移、再进行上下平移得到，图象形状、开口大小、开口方向均与$y=ax^2$完全相同，仅顶点与对称轴位置发生变化，是本章二次函数图象性质、平移变换的核心重点。 函数核心图象参数：顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。平移规律综合“左加右减、上加下减”：$h$控制左右平移，$h>0$右移，$h<0$左移；$k$控制上下平移，$k>0$上移，$k<0$下移。相较于基础函数，该抛物线顶点不再局限于坐标轴上，可出现在平面直角坐标系任意象限，适用性更广。 函数增减性与最值由$a$的符号和对称轴共同决定。当$a>0$时，抛物线开口向上，顶点$(h,k)$为最低点，函数有最小值$k$；当$x<h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x>h$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a<0$时，抛物线开口向下，顶点$(h,k)$为最高点，函数有最大值$k$；当$x<h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x>h$时，$y$随$x$的增大而减小。 参数作用总结：$a$决定开口方向与宽窄，$h$决定对称轴横坐标与左右平移距离，$k$决定顶点纵坐标与上下平移距离。熟练掌握顶点式，可快速解决图象判断、平移变换、最值计算、函数值大小比较、解析式求解等高频题型，是后续二次函数综合题的基础。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=2(x-1)^2+3$的顶点坐标是（） A.$(1,3)$ B.$(-1,3)$ C.$(1,-3)$ D.$(-1,-3)$ 2. 将抛物线$y=3x^2$向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得解析式是（） A.$y=3(x+2)^2+1$ B.$y=3(x-2)^2+1$ C.$y=3(x-2)^2-1$ D.$y=3(x+2)^2-1$ 3. 对于抛物线$y=-(x+2)^2-4$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴为直线$x=2$ C. 最大值为$-4$ D. 最小值为$-4$ 4. 抛物线$y=4(x-3)^2+2$在对称轴右侧的增减性是（） A. $y$随$x$增大而增大 B. $y$随$x$增大而减小 C. 保持不变 D. 无法确定 5. 下列抛物线中，顶点在第三象限的是（） A.$y=(x-1)^2+2$ B.$y=(x+1)^2+2$ C.$y=(x+1)^2-2$ D.$y=(x-1)^2-2$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=-3(x+4)^2+5$的开口方向是________，对称轴是________。 2. 抛物线$y=(x-2)^2-5$是由$y=x^2$先向________平移2个单位，再向________平移5个单位得到。 3. 对于抛物线$y=2(x+1)^2-3$，当$x=$________时，函数取得最小值________。 4. 已知抛物线$y=a(x-2)^2+1$经过点$(3,5)$，则$a=$________。 5. 点$P(2,y_1)$、$Q(4,y_2)$在抛物线$y=-(x-3)^2+2$上，则$y_1$________$y_2$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线$y=5(x-3)^2+2$的顶点为$(3,2)$，开口向上。（） 2. 二次函数$y=-2(x+1)^2+4$的最大值为4。（） 3. 将$y=x^2$左移3个单位、下移2个单位得$y=(x-3)^2-2$。（） 4. 抛物线$y=4(x-2)^2-1$的对称轴是直线$x=2$。（） 5. 当$x<-3$时，$y=3(x+3)^2+1$中$y$随$x$增大而增大。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=-2(x+2)^2+4$。 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）求函数的最值，并说明增减性规律； （3）说明该抛物线由$y=-2x^2$经过怎样的平移变换得到。 2. （11分）已知抛物线$y=a(x-h)^2+k$经过点$(1,1)$、$(2,4)$，且对称轴为直线$x=3$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）求当$x=3$时，函数的对应值。 3. （12分）已知抛物线$y=3(x-1)^2+m$。 （1）若抛物线顶点在直线$y=-2$上，求$m$的值； （2）若抛物线向上平移2个单位后最小值为5，求$m$的值； （3）比较点$A(0,y_1)$、$B(2,y_2)$的函数值大小。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 二、填空题：1.向下，直线$x=-4$；2.右，下；3.$-1$，$-3$；4.$4$；5.$=$ 三、判断题：1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）$a=-2<0$，开口向下，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标$(-2,4)$；（2）函数最大值为$4$，无最小值；当$x<-2$时，$y$随$x$增大而增大，当$x>-2$时，$y$随$x$增大而减小；（3）由$y=-2x^2$向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到。 2. 解：（1）由对称轴$x=3$得$h=3$，解析式为$y=a(x-3)^2+k$，代入$(1,1)$、$(2,4)$，解得$a=-3$，$k=13$，解析式为$y=-3(x-3)^2+13$；（2）当$x=3$时，$y=13$。 3. 解：（1）抛物线顶点$(1,m)$，代入$y=-2$得$m=-2$；（2）平移后解析式$y=3(x-1)^2+m+2$，最小值$m+2=5$，解得$m=3$；（3）抛物线对称轴为$x=1$，$A$、$B$关于对称轴对称，故$y_1=y_2$。 本套习题整合二次函数顶点式全部考点，重点突破综合平移变换、顶点性质、最值与函数值比较，衔接前两课时知识点，题型循序渐进，适配课时巩固、课后作业与单元前置复习。 从简单的二次函数 y=ax2 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 y=a(x-h)2+𝑘的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数y=ax2＋bx＋c 转化为  y=a(x-h)2+𝑘 .这样，就可以利用 y=a(x-h)2+𝑘 的图象和性质来研究二次函数y=ax2＋bx＋c  的图象和性质. 思考：对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗？ 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     思考： 还有其他平移方法吗？ 把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 思考： 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 画二次函数  的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 画二次函数  的图象的方法 (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 1. 返回 用配方法将二次函数y＝x2－8x－3化成y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x＋4)2－3 B．y＝(x＋4)2－7 C．y＝(x－4)2－13 D．y＝(x－4)2－19 D 举一反三 10 返回 2. 若y＝ax2＋bx可配方为y＝－2(x－2)2＋8，则a＝______，b＝______． －2 8 举一反三 返回 3. 抛物线y＝ x2＋5x－3的对称轴是直线______，顶点坐标为________． x＝5 举一反三 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：(1) ， ∴该二次函数图象的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点坐标是(1,5) . 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线   y=-2x2+4x+3是由抛物线 y=-2x2 经过怎样的平移得到的； 解：(2) 列表如下： x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯  y=-2x2+4x+3 ⋯ −3 3 5 3 −3 ⋯ 描点、连线，二次函数 y=-2x2+4x+3的图象如图所示. 将抛物线 y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线 y=-2x2+4x+3. 例1 解：(3)当x>1时，y随x的增大而减小. 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当  取何值时， 随  的增大而减小？ 探究：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3，其图象如图所示. 将抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象. 抛物线y=-2x2-4x+1的开口向下，顶点为(-1，3)，对称轴为直线x=-1. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y取最大值，最大值是3. 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 系数 字母的符号条件 图象的特征 补充说明 a a>0 开口向上 抛物线开口方向的唯一决定因素 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为 y 轴（直线 x=0） 对称轴公式：x=− ab>0（a,b 同号） 对称轴在 y 轴左侧 a,b 同号时，−<0 ab<0（a,b 异号） 对称轴在 y 轴右侧 a,b 异号时，−​>0 c c=0 图象过原点 (0,0) 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点为 (0,c) c>0 与 y 轴正半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴上方 c<0 与 y 轴负半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴下方 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系 简记为 “左同右异” 返回 4. 二次函数y＝x2＋2x＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 返回 5. B 举一反三 [邯郸峰峰矿区期中]如果二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，那么c的值为(　　) A．2 B．4 C．－2 D．8 返回 6. B 举一反三 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①b<0; ②c>0; ③a+b+c>0; ④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0 抛物线与y轴正半轴相交→c>0 观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0 C 例2 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 (1)根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； (2)根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； (3)最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 返回 7. 若点(2，5)，(6，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(　　) A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4 D 举一反三 返回 8. [深圳一模]已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为 常数)的图象经过点(0，－3)，(－1，0)． (1)b＝________，c＝________； (2)该二次函数图象的顶点坐标为________； (3)在如图所示的直角坐标系中画出该二次函数的图象； (4)当－1<x<2时，y的取值范围是________． －2 －3 (1，－4) 解：如图所示． －4≤y<0 举一反三 返回 9. [南通中考]将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为(　　) A．(－4，－1) B．(－4，2) C．(2，1) D．(2，－2) D 举一反三 29 返回 10. 将抛物线y＝(x＋1)2＋1平移后得到抛物线y＝x2＋6x＋6，则需将原抛物线先向左平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度． 2 下 4 举一反三 30 11. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 返回 举一反三 31 返回 12. [安徽中考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．2a＋b<0 C．2b－c<0 D．a－b＋c<0 C 举一反三 32 13. [广州中考]在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝ax2－2ax(a>0)上，则下列结论中正确的是(　　) A．当x1<0且y1·y2<0时，0<x2<2 B．当x1<x2<1时，y1<y2 C．当x1<0且y1·y2>0时，0<x2<2 D．当x1>x2>1时，y1<y2 A 返回 举一反三 14. 【新考法 整体思想】将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________． 返回 2 举一反三 15. 如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)． (1)求a的值． 返回 解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3， 得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2. 举一反三 (2)点Q(m，n)在该二次函数图象上． ①当m＝2时，求n的值； ②若点Q到y轴的距离小于2，直接写出n的取值范围． 解：∵a＝2，∴y＝x2＋2x＋3. 把x＝2代入y＝x2＋2x＋3，得y＝11， ∴当m＝2时，n＝11. 返回 解：2≤n＜11. 举一反三 16. 【新考法 分类讨论思想】[北京中考]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)． (1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； 返回 解：把a＝1代入y＝ax2－2a2x，得y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)． 举一反三 (2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，求a的取值范围． 解：由题意，得抛物线的对称轴是直线x＝ 当a>0时，如图①，此时3a<3，解得a<1.又∵a>0，∴0<a<1； 当a<0时，如图②，此时－a>4， 解得a<－4.又∵a<0，∴a<－4. 综上所述，a的取值范围为0<a<1或a<－4. 返回 举一反三 类型1　抛物线的对称性与对称轴 方法指导：若抛物线上不重合的两个点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1＝y2，则A，B两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线x＝ 微专项1 抛物线对称性的应用 返回 举一反三 1. 已知A(2，m)，B(－4，m)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上两点，则抛物线的对称轴为(　　) A．y轴 B．直线x＝1 C．直线x＝－1 D．直线x＝－2 返回 C 举一反三 返回 2. 已知点A(－2，a)在抛物线y＝x2－4x－10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为(　　) A．(0，2)　 B．(5，2)　 C．(6，0)　 D．(6，2) D 举一反三 类型2　函数值大小比较 方法指导：对于y＝a(x－h)2＋k. 当a>0时，若h－x1>x2－h，则y1>y2　当a<0时，若h－x1>x2－h，则y1<y2 举一反三 返回 3. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝x2－2x－5上，且|x1－1|>|x2－1|，则y1，y2的大小关系是________． y1>y2 举一反三 返回 4. 已知点A(－2，a)，B(－1，b)，C(5，c)是二次函数y＝mx2－2mx＋n(m＜0)图象上的点，则a，b，c的大小关系为________． c＜a＜b 举一反三 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大 开口方向 ，开口向上 ，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS － －＝a. . $