专题02 知识点9：函数的概念 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数三要素为核心，通过定义辨析-方法提炼-题型突破的逻辑链条，系统构建函数概念理解与解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|2定义|传统与近代定义对比|从变量关系到集合对应，构建函数本质认知| |三要素|3要素+5约束|定义域约束条件法|定义域为基础→对应关系为核心→值域由前两者确定| |概念辨析|3辨析点|同一函数双要素判断法|通过符号、区间等概念深化函数定义理解| |抽象函数|2类问题|换元法与不等式组|从具体到抽象，提升数学思维迁移能力| |高考题型|7类题型|代入法/逆推方程等|覆盖基础到中档，对应高考高频考点，强化应用意识|

知识点9：函数的概念 一、核心概念 1. 函数的定义 传统定义：在一个变化过程中，有两个变量 、，如果对于 在某一范围内的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 是 的函数， 叫做自变量。 近代定义：设 、 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 2. 函数的三要素 函数的定义域、值域和对应关系，统称为函数的三要素，缺一不可。 二、三要素详解 1. 定义域 定义：自变量 的取值范围叫做函数的定义域。 求定义域的依据（常见约束条件）： · 分式的分母不等于零 · 偶次方根的被开方数不小于零 · 对数式的真数必须大于零 · 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1 · 实际问题中的函数还要保证实际问题有意义 说明：如果只给出解析式 而没有指明定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合。 2. 对应关系 对应关系 是函数的核心，它是联系 与 的纽带。等式 表明，对于定义域中的任意 ，在"对应法则 "的作用下，即可得到 。对应法则 不一定用解析式表示，也可以采用图表、图像或文字描述等其他方式。 3. 值域 定义：函数值的集合 叫做函数的值域，显然值域是集合 的子集。 规律：值域可由定义域和对应关系唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同。 三、重要概念辨析 1. 同一函数（相等函数） 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数（或称为相等函数）。 判断要点：① 表达式相同；② 定义域一致，两点必须同时具备。 2. 函数符号 即" 是 的函数"的数学表示，不是表示" 等于 与 的乘积"。 与 的区别： 是 的函数，在通常情况下它是一个变量； 表示自变量 时所得的函数值，是一个常量。 3. 区间 区间分类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。 四、抽象函数与复合函数 1. 抽象函数的定义域 · 已知 的定义域为 ，求 的定义域：由 ，解得 的取值范围。 · 已知 的定义域，求 的定义域：由 的取值范围求出 的值域，即为 的定义域。 2. 复合函数 复合函数是指一个函数的自变量被另一个函数替代而形成的函数，在高考中常与单调性、奇偶性结合考查。 五、高考高频考点与题型 题型 核心方法 难度 函数关系的判断 对照定义域与对应法则 基础 具体函数的定义域 列出使函数有意义的约束条件 基础 抽象函数的定义域 换元法与不等式组 中档 求函数值 代入法 基础 已知函数值求参数 逆推方程 中档 同一函数判断 对比定义域与对应关系 基础 区间的表示 集合与区间互化 基础 六、课标变化提示 一些基本函数类（如一元一次函数、反比例函数、一元二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的背景、概念和性质：掌握 → 理解 七、核心口诀 函数三要素，定义域是基础，对应关系是核心，值域随之前定。 实战演练 一、单选题 1.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 2.已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 3.若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，则实数的值为（ ） A．1　　　B．2　　　C．3　　 D．4 5.在平面直角坐标系中，直线 与函数 的图象的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或1或2 6.已知 是一次函数，，且 ，函数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 的定义域为 ，则实数 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.已知定义在 上的函数 满足对于任意实数 均有 ，且 ，则 （ ） A. 677 B. 1354 C. 2027 D. 4054 二、多选题 9.已知函数 满足 ，则（ ） A. B. 的值域为 C. 的定义域为 D. 10.已知函数 的值域为 ，则常数 可以是（ ） A. -1 B. 1 C. 7 D. -7 11.已知函数 的定义域为 ，若对任意 ，存在正数 ，使得 成立，则称函数 是定义在 上的“有界函数”。则下列函数是“有界函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.函数 的值域为 ，则集合 ______。 13.已知函数 的定义域为 R，且 ，。写出满足条件的一个函数解析式 ______。 14.已知函数 ，，若 ，总 ，使 成立，则实数 的取值范围是______。 四、解答题 15.求下列函数解析式： (1) 函数 满足 ; (2) 函数 对任意的 都有 ; (3) 函数 是一次函数且满足 . 16.已知函数 的图象过点 和点 。 (1) 求实数 的值; (2) 求函数 的值域. 17.已知函数 . (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域. 18.已知函数 的值域为 ，求 的值. 19.一日，龟兔约定赛跑。已知赛程为400米，它们从同一起点同时出发，乌龟速度为0.1米/秒，兔子速度为2米/秒。太阳当头照，22秒后，骄傲的兔子回头，不见乌龟的影子，擦了把汗，倚着大树做起了美梦。乌龟依旧前行，又过了66分钟，刚睡醒的兔子还是没见乌龟的影子，跑到了终点，却发现乌龟已在那儿…… (1) 试建立乌龟所经路程 (米) 与时间 (秒) 的函数关系式，并写出定义域； (2) 当乌龟遇到正在睡觉的兔子时，兔子已经睡了多少秒？ (3) 兔子到终点时总用时多少秒？ 参考答案 一、单选题 1. 答案：B 解析：分式分母 + 二次根式双重限制： 定义域为 。 2. 答案：B 解析：集合 是函数 的自变量 的范围： 即 。 集合 是该函数的函数值 的范围： 即 。 所以 。 3. 答案：A 解析： 的定义域为 ，令 ： 所以 的定义域为 。 4. 答案：B 解析：函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以1,2为方程的两根，所以． 5. 答案：C 解析：函数定义：一个 只能对应唯一 。 若 在定义域内，直线 与图像有 1 个交点；若 不在定义域内，无交点；不可能有 2 个交点。故选 0 或 1。 6. 答案：A 解析：设一次函数 ，则 当 时：，，舍去； 当 时：，，故 。 7. 答案：A 解析：定义域限制： 已知定义域为 ，说明不等式 的分界点为 和 ，且 。 8. 答案：B 解析：赋值法：令 ，则 ，设 ，则 ，为正比例函数。 代入 ： 所以 ，则 。 二、多选题 9. 答案：BD 解析：令 ，则 ，，即 。 A： 错误； B：， 时单调递增，最小值为 0，值域 ，正确； C： 要求 ，错误； D：，,正确。 10. 答案：AC 解析：令 ，整理得 ，，则 ： 值域 ，则方程 的两根为 和 。 韦达定理： 当 时，；当 时，。故选 AC。 11. 答案：BC 解析：有界函数：函数值存在上下界， 恒成立。 A：， 时分母趋近 0，函数趋向 ，无界； B：，值域 ，有界； C：分母 ，，有界； D：令 ，则 ，， 时 ，无界。 三、填空题 12. 答案： 解析：，值域为 ① ② 定义域 。 13. 答案：示例：（指数函数均可） 解析：指数函数满足 ，满足 。 14. 答案： 解析：第一步：，，； 题意： 的值域 是 值域的子集。 分 、、 讨论： ：，； ：，； 四、解答题 15.解： (1) 换元。令 所以 。 (2) 方程组法。 得： 所以 。 (3) 设 。 当 时：，； 当 时：，。 16.解： (1) 代入两点： 当 时： 当 时： 联立 ，解得 ，。 (2) 当 时，； 当 时，，，故 ； 值域为 。 17.解： (1) 同 15(1)： (2) ，对称轴 最小值 ；最大值 值域为 。 18.解： 令 ，整理得 ，： 值域 ，则方程 的两根为 1 和 9。 韦达定理： 解得 ，。 19 解：已知：总路程 400 米，乌龟速度 ，兔子跑步速度 。兔子先跑 22 秒，睡觉 66 分钟 = 秒。 (1) 乌龟路程：匀速运动： 乌龟到终点总时间 秒，定义域 。 (2) 兔子前 22 秒跑路程： 米，相遇即乌龟走到 44 米时： 兔子睡觉时长： 秒。 (3) 兔子睡醒时刻： 秒 此时乌龟路程： 米，剩余 米 兔子跑完剩余路程用时： 秒 兔子总用时： 秒。 学科网（北京）股份有限公司 $