暑假几何提升专题讲义 第六讲 半角模型2025-2026学年北师大版七年级数学下册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第六讲 全等三角形 —— 半角模型 第6讲 讲 半角模型 一、知识讲解 模型解读 常见模型与证法 结论 结论 二、例题精析 【例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　 　（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． (1) 答案：EF=BE+FD 解析： 延长 FD 至 G，使 DG=BE，连接 AG。 ∠B=∠ADG=90°，AB=AD，BE=DG，△ABE≌△ADG (SAS)。 得到 AE=AG，∠BAE=∠DAG。 ∠BAD=100°，∠EAF=50°，∴ ∠BAE+∠DAF=50°。 ∠GAF=∠DAG+∠DAF=50°，∴ ∠EAF=∠GAF。 又 AE=AG，AF=AF，△AEF≌△AGF (SAS)，EF=GF。 GF=DG+FD=BE+FD，∴ EF=BE+FD。 (2) 结论：仍然成立，EF=BE+FD 证明： 延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG。 ∵ ∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，∴ ∠B=∠ADG。 AB=AD，BE=DG，∴ △ABE ≌ △ADG (SAS)。 ∴ AE=AG，∠BAE=∠DAG。 ∵ 2∠EAF=∠BAD，∴ ∠EAF=1/2∠BAD。 ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF。 ∴ ∠EAF=∠GAF。 又 AE=AG，AF=AF，∴ △AEF ≌ △AGF (SAS)。 EF=GF=DG+FD=BE+FD，即 EF=BE+FD。 (3) 答案：14 解析：正方形边长为 7，半角模型，∠EBF=45°，可得 EF=AE+CF。 △DEF 周长 = DE+EF+DF=DE+AE+CF+DF=(DE+AE)+(CF+DF)=AD+DC=7+7=14。 【例2】．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：； （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． (1) 证明： 延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG。 ∠B=∠ADG=90°，AB=AD，BE=DG，△ABE≌△ADG (SAS)。 AE=AG，∠BAE=∠DAG。 ∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF。 △AEF≌△AGF (SAS)，EF=GF=DG+FD=BE+FD。 (2) 答案：60° 解析：利用将军饮马，分别作 A 关于 BC、CD 的对称点，连线交 BC、CD 得到 E、F；结合大角 120° 半角关系，可得∠EAF=60°。 (3) 答案：5 解析：正方形半角模型，EF=BE+DF=3+2=5。 【例3】如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． (1) 答案：2 解析： △BDC，BD=CD，∠BDC=120°，得∠DBC=∠DCB=30°；△ABC 等边，∠ABC=∠ACB=60°，故∠ABD=∠ACD=90°。 延长 AC 到 E，使 CE=BM，连接 DE。可证△DBM≌△DCE。 DM∥AC，结合角度推导，BM=CN；△AMN 周长 = AM+MN+AN=AB+AC−(BM+NC)=2。 (2) 证明： ∵ △BDC 等腰，∠BDC=120°，∴ BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°。 △ABC 等边，∴ ∠ABC=∠ACB=60°，∴ ∠ABD=∠ACD=90°，∠DCE=90°。 延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE。 在△DBM 与△DCE 中 DB=DC ∠DBM=∠DCE=90° BM=CE ∴ △DBM ≌ △DCE (SAS)。 ∴ DM=DE，∠BDM=∠CDE。 ∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴ ∠BDM+∠NDC=60°。 ∠CDE+∠NDC=∠NDE=60°，∴ ∠MDN=∠NDE=60°。 在△MDN 与△EDN 中 DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN ∴ △MDN ≌ △EDN (SAS)。 ∴ MN=NE。 NE=NC+CE=NC+BM，∴ MN=BM+NC。命题得证。 【例4】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N （1）求证：EF＝BE+DF 为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程． （2）若BE＝2，DF＝3，请求出正方形ABCD的边长． （3）请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系 (1) 证明： 延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG。 正方形 ABCD，∴ AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，∴ ∠ABG=∠D=90°。 在△ABG 与△ADF 中 AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF ∴ △ABG ≌ △ADF (SAS)。 ∴ AG=AF，∠BAG=∠DAF。 ∵ ∠EAF=45°，∠BAD=90°， ∴ ∠BAE+∠DAF=45°。 ∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°，∴ ∠GAE=∠EAF=45°。 在△GAE 和△FAE 中 AG=AF ∠GAE=∠FAE AE=AE ∴ △GAE ≌ △FAE (SAS)。 ∴ EF=GE。 GE=GB+BE=DF+BE，∴ EF=BE+DF。 (2) 答案：6 解析： 由半角结论，EF=BE+DF=2+3=5。 设正方形边长为 x，则 EC=x−2，FC=x−3。 △ECF 为直角三角形，由勾股定理： EC²+FC²=EF² (x−2)²+(x−3)²=5² x²−4x+4+x²−6x+9=25 2x²−10x−12=0 x²−5x−6=0 解得 x₁=6，x₂=−1（舍去）。正方形的边长为 6。 (3) 答案：MN²=BN²+DM² 解析：半角模型二级结论，通过旋转构造直角三角形，得到勾股关系。 课后作业 1．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． (1) 答案：EF=BE+FD (2) 结论：成立，EF=BE+FD 证明： 延长 FD 至 G，使 DG=BE，连接 AG。 ∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，∴ ∠B=∠ADG。 AB=AD，BE=DG，△ABE≌△ADG (SAS)。 AE=AG，∠BAE=∠DAG。 ∵ 2∠EAF=∠BAD，∠EAF=1/2∠BAD。 ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF。 △AEF≌△AGF (SAS)，EF=GF=DG+FD=BE+FD。 (3) 说明：E 或者 F 落在线段延长线上； 结论：EF=|BE−FD|。 2．【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　． 【探索延伸】 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　 　． 【问题背景】答案：EF=BE+FD 【探索延伸】结论仍然成立 EF=BE+FD 证明同作业 1 第 (2) 小问。 【学以致用】 答案：5 解析： 过 C 作 CF⊥AD 交 AD 延长线于 F；AD∥BC，∠B=90°，AB=BC=6，得到正方形 ABCF。 正方形半角模型，∠DCE=45°；BE=2，AE=6−2=4。 设 AD=x，DF=6−x；DE=BE+DF=2+(6−x)=8−x。 Rt△ADE 中，AE=4，AD=x，DE=8−x。 由勾股定理得 x²+4²=(8−x)² x²+16=64−16x+x² 16x=48，x=3。 DE=8−3=5。 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑假提升专题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第六讲全等三角形一 半角模型 第6讲 半角模型 1 暑假提升专题 一、知识讲解 模型解读 解题要点剖标 所谓半角模型，就是在平面图形中，一个角与另一个角共顶点，且该角的大小是另一个 角大小的一半.半角模型是平面几何中一个最常见的图形，此类题目通常用“旋转的观点” 看待图形的几何变换，即将这个半角绕顶点旋转或通过截长补短的方法，使得两个分散的 角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等或相似. 常见模型与证法 基础模型 类型 90°含45° 120°含60° 2a含a 90° A60° 2a 图示 450 120R B B D D C BD E ∠BAC=90°，AB= ∠BAC=120°，AB= ∠BAC=2,AB=AC, 条件 AC,∠DAE=45° AC,∠DAE=60° ∠DAE= A 60 变形 B D B D E BD E 将△ABD绕点A逆 将△ABD绕点A逆 将△ABD绕点A逆 时针旋转90° 时针旋转120° 时针旋转2a 结论 2 暑假提升专题 ◆》模型拓展 拓展方向：四边形中的半角模型（中考常考四边形中的半角模型） 类型 90°含45° 120°含60° 120 45 图示 B E B E 120 60 D 在正方形ABCD ∠BCD=90°，∠ECF在菱形ABCD中，∠BAD∠BDC=120°，BD= 条件 中，∠EAF=45 =45°，BC=DC =120°，∠EAF=60 CD,∠EDF=60° D A 60° 变形 B E B 将△ADF绕点A顺 将△BCE绕点C顺 将△BDE绕点D顺 时针旋转90° 时针旋转90° 将△BEA绕点A逆时 时针旋转120° 针旋转120° 结 论 3 暑假提升专题 二、例题精析 【例1】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=100°，∠B=∠ADC= 90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数 量关系. 小明同学探究的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论是 (直接写结论， 不需证明)； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上 的点，且2∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明 理由； (3)如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长. G 0 、D Q 图1 图2 图3 4 暑假提升专题 【例2】.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90,，E,F分别是BC,CD上的点， 连接AE,AF,EF. (1)如图①，AB=AD,∠BAD=120°，∠EAF=60°.求证：EF=BE+DF; D aD B E 图① 图② 图③ (2)如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数； (3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠B1F=4”,若BE=3,DF=2,请求出线段EF的长度. EF 5 暑假提升专题 【例3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以 点D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上. (1)如图①，当MN∥BC时，则△AMN的周长为； (2)如图②，求证：BM+NC=MN. M M B B D D 图① 图② 6 暑假提升专题 【例4】如图，在正方形ABCD中，点EF分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，分别连 接EF、BD,BD与AKAE分别相交于点MN (1)求证：EF=BE+DF 为了证明“EF=BE+D”，小明延长CB至点G,使BG=DF,连接AG,请画出辅助线 并按小明的思路写出证明过程 (2)若BE=2,DF=3,请求出正方形ABCD的边长. (3)请直接写出线段BN、MW、DM三者之间的数量关系 0 7 暑假提升专题 课后作业 1.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=LD=90°，E,F分别是边BC, CD上的点，且∠E4=B4D,请直接写出线段EF,BE,FD之间的数最关系： D D E 图① 图② 备用题 备用题 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC, CD上的点，且<B4FBD,4)中的结论是吞仍然成立？请写出证明过程： (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在 暑假提升专题 直线上的点，且∠EAF=2∠BMD.请画出图形（除图②外），并直接写出线段EF,BE, FD 之间的数量关系， 2.【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E、F分 别是边BC、CD上的点，且∠EAP=60°，试探究图中线段BE、EFD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使GD=BE,连结AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AE≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EA仁 ∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 9 暑假提升专题 【学以致用】 如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD),∠B=90°，AB=BC=6,E是边 AB上一点，当∠DCE=45°，BE=2时，则DE的长为 G D D A D 万 B E C B 图1 E 图2 B 图3 10