微专题 抽象函数中函数的基本性质的应用【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

微专题 抽象函数中函数的基本性质的应用 知识点1：周期函数的定义 1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 知识点2：函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 知识点3：函数对称性与周期性的关系 1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； 3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 知识点4：函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1、①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 2、①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 3、①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 4、①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 考点一　抽象函数单调性的判断 1．（25-26高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 2．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；对于，为正；证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 3．（25-26高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2) 证明：，且，则， 显然，，所以，又，所以， 因为当时，，所以，即， 所以在定义域上是增函数． (3) 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可； 【详解】（1）解：因为，， 所以令，可得，得． （2）略 （3）解：因为函数的定义域为，所以解得． 由，得等价于， 而，所以，所以，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 4．（25-26高一上·四川广元·期中）已知函数对任意的，都有，，且当时，. (1)计算： (2)求证：是上的增函数； (3)解不等式. 【答案】(1)3； (2)证明： 设，则，由当时，，于是， 因此， 所以函数是上的增函数. (3). 【分析】（1）根据给定的函数等式，赋值计算得解. （2）由已知条件，利用函数单调性的定义推理得证. （3）由（1）的结论，将不等式化为，再利用单调性求解不等式. 【详解】（1）由对任意的，都有，， 得. （2）略 （3）由（1）知，，不等式， 由（2）得，，即，解得， 所以原不等式的解集为. 5．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）将代入，即可得； （2）根据已知得在上单调递增，再由已知得，则有，最后应用单调性解不等式求范围. 【详解】（1）对任意，有， 令，得， ； （2）设，由，得，即， 在上单调递增， 令，则，即． 由，得，即， ，解得， 的取值范围是 考点二　抽象函数奇偶性的判断 6．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 7．（25-26高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【分析】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 9．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 10．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2) 令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. (3) 【分析】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）略 （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 考点三　抽象函数单调性与奇偶性综合 11．（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. (2) ，则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. (3). 【分析】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义证明即可. （2）根据给定的等式，利用增函数的定义证明即可. （3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 12．（第五章函数的创新问题专题三抽象函数微点5抽象函数问题（五）【培优版】）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对于奇偶性，利用赋值法找到与关系； （2）证明单调性根据定义设，，比较与大小； （3）解不等式先利用已知求出，再结合函数单调性求解. 【详解】（1）令，得，． 令，则， 即， ， 即函数是奇函数； （2）设，，， 在上是增函数； （3），， ， 由单调性得，解得．故不等式解集为 13．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) 证明：由函数的定义域为，关于原点对称， 因为对任意，， 令，可得，可得， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数. (2)为单调递减函数； (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得，结合奇函数的定义，即可得证； （2）根据函数单调性的定义与判定方法，证得为定义域上的单调递减函数，由 ，且为奇函数，求得，把不等式转化为，再由为单调递减函数，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （3）由（2）知，函数为递减函数，得到最大值为，根据题意，转化为在恒成立，设，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：任取，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 所以，即， 所以为定义域上的单调递减函数， 因为，且函数为奇函数，可得， 则， 不等式，可化为， 因为函数为奇函数， 可得， 则不等式即为， 又因为函数为单调递减函数，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数， 所以函数在上的最大值为， 要使得对所有，恒成立， 则满足恒成立，即在恒成立， 设，则在恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若时，， ①求证：在上单调递减； ②若，求实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）应用赋值法结合偶函数定义证明； （2）①应用赋值法结合单调性定义证明；②应用单调性及偶函数性质化简，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）令，则； 令，则.         令，得，     又， 故为偶函数. （2）①任取， 则，所以，         则， 即， 故在上为减函数.         ②由（1）知，因为， 所以，即. 由上可知是偶函数，且在上为减函数， 故， 所以或，         由，即，解得或； 由，即，解得；     综上所述：实数的取值范围是 考点四　抽象函数中构造的问题 16．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 17．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性求解出解集. 【详解】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 18．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. 19．（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 20．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 考点五　抽象函数中对称性的问题 21．（2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级6月联考数学试题）已知函数的定义域是，满足，且，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由和即可推出周期，又即可求解. 【详解】由有，又， 得，即，所以， 所以，所以函数是周期为的周期函数， 由，，， 所以， 故选：B. 22．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（    ） A．2 B． C．4 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】解：是偶函数，是奇函数, . . . 的周期为4. 是R上的奇函数, . 故选：A. 23．（25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】 为偶函数，, 又 是定义域为的奇函数， ,且 , , , , , 是一个周期为20的周期函数, , . 故答案为：. 24．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 25．（2017高三·全国·专题练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为__________. 【答案】 【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果. 【详解】因为是偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 所以，， 又在上是增函数，且，故. 故答案为：. 1．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 2．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 3（25-26高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据单调性和奇偶性分析内层函数值大小关系，然后再根据外层函数的单调性直接比较大小即可. 【详解】由题意可知，在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增； A：因为，但的符号无法确定， 所以大小关系不确定，故A错误； B：由条件可知，，又因为，且在上单调递增， 所以，故B正确； C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确； D：因为在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：A. 4．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 【答案】C 【分析】A选项，由为奇函数可判断选项正误；B选项，由为偶函数可判断选项正误；C选项，由AB分析结合在上单调递增可判断选项正误；D选项，由AB选项分析可判断选项正误. 【详解】A选项，由题，因为奇函数，则， 令，得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，则为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在上单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C错误； D选项，由AB选项，，又， 则， 则， 即函数是周期为8的函数，故D正确. 故选：C 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，原不等式可转化为，利用已知条件和函数单调性的定义判断的单调性，结合给出的特殊点求解即可. 【详解】因为对于，且，有成立， 不妨设，则， 不等式可转化为 令，任取且， 因为，即， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以的解集为， 故选：A 7．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称， 所以函数在上为减函数，故B错误； 对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数， 所以，故C错误； 对于D，由于， 因为函数在上为减函数，且， 所以，即，故D正确. 故选：AD 8．（25-26高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 9．（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 10．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】由已知等式，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】在中，令，且， 所以， ， ， 因为函数是定义在上的减函数， 所以有， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ (1)求，的值； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，则，解得；令，可得，解得； （2）对任意x恒成立对任意恒成立，先探讨的取值范围，原不等式等价于：在恒成立，进而分离参数，通过基本不等式求解即可. 【详解】（1）令，则， 解得：或 又当时，，所以， 令，可得，即； （2）对任意恒成立对任意x恒成立， 令，以下探讨的取值范围． 令可得， 当时，，则， 时， 原不等式等价于：在恒成立， 即 ，当时取等号． 12．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用赋值法即可求，的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式. 【详解】（1）令，则，， 令，则， 又，； （2）任取，且， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 所以在上单调递增． （3）由， 即， 也就是， 即，因为在上是增函数， 所以， 可得不等式解集为或. 【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式. 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，，，，且当时，. (1)求的值. (2)证明：是上的减函数. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 证明：设，，且，则. 因为， 所以. 当时，，所以， 所以， 则是上的减函数. (3). 【分析】（1）赋值法计算即可； （2）运用定义法证明单调性； （3）运用单调性解不等式即可. 【详解】（1）解：令，得， 则. （2）略 （3）令，得. 令，，得. 因为，所以， 所以， 则不等式等价于不等式. 由（2）可知是上的减函数，则 解得，即不等式的解集为. 14．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. (3) 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为 【分析】（1）利用赋值法可求、； （2）利用奇函数的定义可证为上的奇函数； （3）利用函数单调性的定义可证为上的减函数，从而可得，再就的不同取值分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）由题设有，， . （2）略 （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故，即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故，即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 15．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) 令，得，所以． 令，得， 所以， 所以， 所以是奇函数． (2) 设，且． 由 ， 因为，所以， 因为时，， 所以，即， 即，所以， 所以是上的减函数． (3) 【分析】（1）令代入已知等式求，再令结合的结果，变形验证满足奇函数的定义. （2）设，将用的公式变形，结合时的条件，判断差值的正负，证明的减函数性质. （3）利用的公式对不等式变形，结合求出，将不等式转化为，再借助减函数的单调性转化为一元二次不等式求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由， 得， 即， 即， 即 即． 因为，所以， 又，所以， 所以． 由（2）知，是上的减函数， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 抽象函数中函数的基本性质的应用 知识点1：周期函数的定义 1、周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 3、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 知识点2：函数的对称性 1、函数对称性的常用结论 （1）若，则函数图象关于对称； （2）若，则函数图象关于对称； （3）若，则函数图象关于对称； （4）若，则函数图象关于对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系 （1）若函数满足，则其函数图象关于直线对称， 当时可以得出，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数满足，则其函数图象关于点对称， 当，时可以得出，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 知识点3：函数对称性与周期性的关系 1、若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 2、若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； 3、若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 知识点4：函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 1、①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 2、①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 3、①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为. 4、①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为. 其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。 考点一　抽象函数单调性的判断 考点二　抽象函数奇偶性的判断 考点三　抽象函数单调性与奇偶性综合 考点四　抽象函数中构造的问题 考点五　抽象函数中对称性的问题 考点一　抽象函数单调性的判断 1．（25-26高一上·重庆渝中·期中）定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 2．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 3．（25-26高一上·江西·期末）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 4．（25-26高一上·四川广元·期中）已知函数对任意的，都有，，且当时，. (1)计算： (2)求证：是上的增函数； (3)解不等式. 5．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有． (1)求的值； (2)如果，求的取值范围． 考点二　抽象函数奇偶性的判断 6．（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 7．（25-26高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 9．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 10．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 考点三　抽象函数单调性与奇偶性综合 11．（25-26高一上·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 12．（第五章函数的创新问题专题三抽象函数微点5抽象函数问题（五）【培优版】）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 13．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 14．（25-26高一上·上海金山·期末）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，；③当时，． (1)证明：为奇函数； (2)判断的单调性，并求解不等式； (3)若对所有，恒成立，求实数t的取值范围． 15．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知函数的定义域为，且满足. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若时，， ①求证：在上单调递减； ②若，求实数的取值范围. 考点四　抽象函数中构造的问题 16．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 考点五　抽象函数中对称性的问题 21．（2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级6月联考数学试题）已知函数的定义域是，满足，且，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 22．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（    ） A．2 B． C．4 D．0 23．（25-26高二上·湖南·期中）已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则_____． 24．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 25．（2017高三·全国·专题练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为__________. 1．（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3（25-26高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为，若对于，且，有成立，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数 C． D． 8．（25-26高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 9．（2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 10．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知定义在的减函数满足，且，则不等式的解集为___________． 11．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ (1)求，的值； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 12．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知是定义在上的函数，，，，且当时，. (1)求的值. (2)证明：是上的减函数. (3)若，求不等式的解集. 14．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 15．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的定义域为，满足：对，都有，当时，，且． (1)求的值，并证明是奇函数； (2)证明：是上的减函数； (3)解关于的不等式． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $